初中九年级数学：圆的对称性

专题18圆的对称性

阅读与思考

圆是一个对称图形.

首先，圆是一个轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴，圆的对称轴有无数条：同

时，圆又是一个中心对称图形，圆心就是对称中心，圆绕其圆心旋转任意角度，都能够与本身重合，这

是圆特有的旋转不变性.

由圆的对称性引出了许多重要的定理：垂径定理及推论；在同圆或等圆中，圆心角、圆周角、弦、

弦心距、弧之间的关系定理及推论.这些性质在计算和证明线段相等、角相等、弧相等和弦相等等方面

有广泛的应有.一般方法是通过作辅助线构造直角：角形，常与勾股定埋和解直用「角形相结合使用.

熟悉以下基本图形和以上基本结论.

我国战国时期科学家墨翟在《墨经》中写道：“圆，一中间长也古代的美索不达米亚人最先开始

制造圆轮.日、月、果实、圆木、车轮，人类认识圆、利用圆，圆的图形在人类文明的发展史上打下了

淡深的烙印.

例题与求解

【例1】在半径为1的。。中，弦月从4C的长分别为6和J5,则N/MC度数为.

（黑龙江省中考试题）

解题思路：作出辅助线，解宜角三角形，注A8与AC有不同位置关系.

由于对称性是圆的基本特性，因此，在解决圆的问题时，若把对称性充分体现出来，有利于圆的问

题的解决.

【例2】如图，在三个等圆上各自有一条劣弧AB,CD,EF.如果A3+CD=EF,那么A8+C。

与£尸的大小关系是（）

A.AB+CD=EFB.AB+CD>EF

C.AB+CDcEFD.AB+CD与EF的大小关系不能确定

（江苏省竞赛试题）

解题思路：将弧与弦的关系及三角形的性质结合起来思考.

【例3】⑴如图1,己知多边形4BQEC是由边长为2的等边三角形ABC和正方形BOEC组成，

。。过A,D,E三点、,求。。的半径.

（2）如图2,若多边形/WOEC是由等腰△48c和矩形8OEC组成，AB=AC=BD=2,。。过A,D,

E三点，问。。的半径是否改变？

（《时代学习报》数学文化节试题）

解题思路：对于⑴，给出不同解法；对于⑵，。的半径不改变，解法类似（D.

等边三角形、正方形、圆是平面几何图形中最完美的图形，本例表明这三个完美的图形能合成一个

从形式到结果依然完美的图形.

三个完美图形的不同组合可生成新的问题，同学们可参照刻意练习.

［例4］如图，已知圆内接中，AH>AC,D为6AC的中点，DErAii于E.求证：

（天津市竞赛试题）

解题思路：从化简待证式入手，将非常规几何问题的证明转化为常规几何题的证明.

圆是最简单的封闭曲线，但解决圆的问题还要用到直线形的有关知识和方法.同样，圆也为解决直

线形问题提供了新的途径和方法，善于促成同圆或等圆中的弦、弦心距、弧、圆周角、圆心角之间相等

或不等关系的互相转化，是解圆相关问题的重要技巧.

【例5】在△ABC中，M是48上一点，且AM2+8M2+C/=2AM+28W+2cM—3.若P是线段AC

上的一个动点，。。是过户，M,C三点的圆，过尸作PO〃AB交。。于点。.

（1）求证：M是A/3的中点；

（2）求P。的长.（江苏省竞赛试题）

解题思路：对于（1）,运用配方法求出AM,BM,CM的长，由线段长确定直线位置关系；对于（2）,

促成圆周角与弧、弦之间的转化.

【例6】已知4。是。。的直径，AB,AC是弦，且/W=AC.

⑴如图1,求证：直径A0平分N8AC

⑵如图2,若弦BC经过半径。A的中点E,厂是C。的中点，G是的中点，。。的半径为1,

求弦rG的长；

（3）如图3,在⑵中若弦8C经过半径。4的中点E,P为劣弧上一动点，连结物，PB,PD,PF,

PA+PF

求证:的定值.

PB+PD

（武汉市调考试题）

解题思路：对于⑶，先证明以=N/»F=3（）°,ZBP/9=60°,这是解题的基础，由此可导出下列解

题突破口的不同思路：①由N8加==/QPF=30°,构建直角三用形；②构造%+PF,P8+尸。相关线段；

③取台。的中点M,连结尸M,联想常规命题；等等.

本例实质是借用了下列问题：

⑴如图1,a+PB=6PH；⑵如图2,必+PB=PH；

a

⑶进一步，如图3,若/APB=a,PH平分/APB,则PA+PB=2PHcos一为定

2

能力训练

A级

1.圆的半径为5cm,其内接梯形的两底分别为6cm和8cm,则梯形的面积为cm2.

2.如图，残破的轮片上，弓形的弦48长是40cm,高CD是5cm,原轮片的直径是cm.

第2题图第3题图（第4题图）

3.如图，已知为半圆的直径，48_LCO于B.设乙4。8=0，则丝•心nq=_______.

BD2

（黑龙江省中考试题）

4.如图，在用△ABC中，ZC=90°,AC=>/2,BC=\,若BC=1,若以。为圆心，C8的长为半径

的圆交/W于P,则AP=.（江苏省宿迁市中考试题）

5.如图，A4是半圆O的直径，点〃从点O出发，沿（％—A6—40的路径运动一周.设长为

5,运动时间为3则下列图形能大致地刻画s与1之间的关系是（）

（太原市中考试题）

6.如图，在以。为圆心的两个同心圆中，大圆的弦A8交小圆于C,D两点，AB=\Ocm，CD=6cm，

那么4c的长为（）

（第6题图）（第7题图）（第8题图）

7.如图，A6为。O的直径，C。是弦.若A8=10cm,CD=8cm,那么A,6两点到直线CD的距离

之和为（）

A.12cmB.10cmC.8cmD.6cm

8.如图，半径为2的。。中，弦AB与弦C。垂直相交于点P,连结OP.若OP=1,求

的值.（黑龙江省竞赛试题）

9.如图，AA/是。。的直径，过。O上一点8作8N_LAM于M其延长线交。。于点C弦CD交

人何于点£

（1）如果CO_L4B,求证：EN二NM；

（2）如果弦CD交人8于点产，且CO=/W,求证：CE^=EF・ED；

（3）如果弦C。，4B的延长线交于点F,且CQ=AB,那么⑵的结论是否仍成立？若成立，请证明；

若不成立，请说明理由.

（重庆市中考试题）

10.如图，。。的内接四边形/1BMC中，AB>AC,用是3。的中点，MHLAB于点H.求证：BH=-

2

{AB-AC）.

（河南省竞赛试题）

（第10题图）

11.⑴如图1,圆内接△ABC中，AB=BC=CA,OD,OE为。。的半径，OO_LBC于点尸，OE±AC

于点G.求证：阴影部分四边形。FCG的面积是8c面积的1.

3

⑵如图2,若NQOE保持120°角度不变，求证：当NQOE绕着。点旋转时，由两条半径和△ABC

的两条边围成的图形（图中阴影部分）面积始终是△ABC的面积的一.

3

图1图2

12.如图，正方形的顶点人，。和正方形JKLM的顶点K,L在一个以5为半径的。。上,

点J,M在线段BC上.若正方形A8CO的边长为6,求正方形4CLM的边长.

（上海市竞赛试题）

（第12题图）

B级

1.如图，AB是。。的直径，C。是弦，过A,B两点作C。的垂线，垂足分别为E,F.若4B=10,

AE=3,BF=5,则EU.

（第2题图）

2.如图，把正三角形/WC的外接圆对折，使点4落在8C的中点4上，若BC=5,则折痕在△A8C

内的部分DE长为.（宁波市中考试题）

3.如图，已知。0的半径为R,C,。是直径同侧圆周上的两点，AC的度数为96°,的度

教为36。.动点尸在A8上，则CP+PQ的最小值为.

（陕西省竞赛试题）

4.如图，用3个边长为1的正方形组成一个对称图形，则能将其完全覆盖的圆的最小半径是（）

5>/r7

A.V2B.正D.——

216

5.如图，AB是半圆。的直径，C是半圆圆周上一点,M是AC的中点，MALL/W于N,则有（

）

13V3

A.MN=-ACB.M』ACC.MN=-ACD.MN=—AC

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（武汉市选拔赛试题）

第4题图第5题图

6.已知，为。。的直径，。为AC的中点，于点已且OE=3.求AC的长度.

7.如图，已知四边形A8CD内接于直径为3的。O；对角线AC是直径，对角线AC和8D的交点

为P,AB=BD,且尸C=0.6,求四边形A8CQ的周长.

（全国初中数学联篓试题）

8.如图，已知点A,B,C,。顺次在。。上，AB=BD,8W_LAC于M.求证：AM=DC+CM.

（江苏省竞赛试题）

（第8题图）

9.如图，在直角坐体系中，点4C在x轴的负半轴上，点4在y轴的负半轴上，以AC为直径的

圆与A8的延长线交于点。，C7）=A0,如果A8=10,AO>8O,且A0,8。是x的二次方程/+丘+48=0

的两个根.

（1）求点。的坐标；

（2）若点P在直径AC上，且4P=LAC,判断点（-2,10）是否在过D,P两点的直线上，并说明理

4

由.