高考数学一轮复习 二项式定理与杨辉三角

第二节二项式定理与杨辉三角

1.二项式展开式的特定项、特定项的系数问题

（1）二项式定理

定义：一般地，对于任意正整数n,

都有：（〃+〃）”=C%〃+C,++（24-方++C»”（〃£N"）,这个公式所表示的定理叫做二

项式定理，等号右边的多项式叫做（。+与“的二项展开式.式中的做二项展开式的通项，用

却表示,即通项为展开式的第r+1项：,其中的系数C；r=0,l,2,•,〃）叫做二项

式系数.

（2）二项式（〃+〃）”的展开式的特点：

①项数:共有«+1项，比二项式的次数大1；

②二项式系数:第r+1项的二项式系数为C：,最大二项式系数项居中；

③次数:各项的次数都等于二项式的基指数〃.字母。降哥排列，次数由〃到0；字母人升

幕排列，次数从0到〃，每一项中，a,b次数和均为〃；

④项的系数:二项式系数依次是C：,C：,C：,…，C：,如的系数是。与〃的系数

（包括二项式系数）.

（3）两个常用的二项展开式：

①（Q_/?）"=C”-C4-%++（-l）r-C/"-7/++

@（1+x）n=1+C>+C>:+•-+C：/+・,,+x”

（4）二项展开式的通项公式

二项展开式的通项：*=，"'-7/（〃=。,1,2,・一,〃）

公式特点：①它表示二项展开式的第r+1项，该项的二项式系数是C：；②字母人的次数和组

合数的上标相同;③a与b的次数之和为〃.

rnrr

注释：①二项式（〃+〃）”的二项展开式的第r+1项Cna-b和（〃+〃）"的二项展开式的第

rnrr

r+1项Cnb-a是有区别的，应用二项式定理时，其中的。和b是不能随便交换位置的.

②通项是针对在(。+〃)”这个标准形式下而言的，

如(a-b)n的二项展开式的通项是(只需把-〃看成h代入二项式定理).

2.二项式展开式中的最值问题

(1)二项式系数的性质

①每一行两端都是1,即C：=C：；其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即

1/1=5十5.

②对称性每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即c：=c：f.

③二项式系数和令a=b=\,则二项式系数的和为C>c>c；++C：+,・,+C：=2”，

变形式C：+C：+…+C：+…+C：=2"-1.

④奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和：在二项式定理中，

令=,则c,—C：+Cj—C：+,，+(—l)〃C：=(l—l)“二O,

从而得至C；+c：+c：+c：「+=c；+c：++c尸.

n

⑤最大值:如果二项式的事指数〃是偶数，则中间一项Tn的二项式系数C?最大；如果二项式

-2+1

ir-1nt-1

的累指数n是奇数，则中间两项的二项式系数C7，CJ相等且最大.

———+]

22

(2)系数的最大项

求(。+法)“展开式中最大的项，一般采用待定系数法.设展开式中各项系数分别为4，42,…，

A>A

Ai,设第r+l项系数最大，应有/+，~/，从而解出r求.

ME>儿2

3.二项式展开式中系数和有关问题

(1)含变量的恒等式:是指无论变量在已知范围内取何值，均可使等式成立，所以通常可对变量赋予

特殊值得到一些特殊的等式或性质.

(2)二项式展开式与原二项式呈恒等关系，所以可通过对变量赋特殊值得到有关系数：或二项式系

数)的等式.

(3)常用赋值举例:

A.设(a+Z?)"=Cb"+C/T%+C：a"%2+,+c，r，y++C；»〃，二项式定理是一个恒等式,

即对a,b的一切值都成立，我们可以根据具体问题的需要灵活选取a,b的值.

①令a=b=\,可得：2'=C；+C：++C：

②令。=1力=-1,可得：o=c；：—C；+Cj-C：+(-1)nc;;,

即:C：+C；++C：=C；+C：+…+C7(假设n为偶数)，

再结合①可得:c：+c：++c：=c：+c：+…+c：-'=2-'.

nx2

B.若f(x)=anx+an_xx^+dn_2^~++4%+q)，则①常数项：令犬=0，得g=/(0).

②各项系数和:令x=\,得/(1)=旬+%+/++4_]+%.

③奇数项的系数和与偶数项的系数和

a.当〃为偶数时，奇数项的系数和为佝+。2+%+一・q=/0)+/(_1)；

aJ⑴-〃-1)

偶数项的系数和为.+6+%+an-\~r

(可简记为：〃为偶数，奇数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配)

b.当为奇数时，奇数项的系数和为q+%+•••+〃”=”J

乙

偶数项的系数和为%+%+…+%=；.

(可简记为：〃为奇数，偶数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配)

若“同=%+43+〃2工2+-+4.RI+〃/'，同理可得・

注：常见的赋值为X=(),X=[或1=-1,然后通过加减之算即可得到相应的结果.

题型1二项式定理的正用与逆用

二项式定理：(〃+/?)"=O"+C"i》+・・，+C%r，/+・・・+C»”(〃wN")，二项式定理的双向功

(1)正用:将(。+〃)〃展开，得到一个多项式，即二项式定理从左到右使用是展开.对较复杂的式子,

先化简再用二项式定理展开.

（2）逆用:将展开式合并成（〃+〃）"的形式，即二项式定理从右到左使用是合并，对于化简、求和、

证明等问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项哥指数的规律以及各项系数的规律.

例1二项式（工+2丫的展开式为（）

A.x'+6x~+6x+8B.丁+6r+12工+8

C.+12r+6x+8D.V+12r+12x+8

例2化简（x+1）‘一4（x+iy+6（x+l『一4（x+1）+1的结戾为（）

A.X，B.（X-1）C.（x+1）D.X4—1

题型2二项展开式的特定项、项为系数的求解

求二项展开式的特定项问题，一般需要建立方程求k，再将k的值代回通项求解，注意k的取值范

围（2=0,1,2,,/?）.

（1）第m项:此时攵+1=〃?，求出k,代入通项；

（2）常数项:即这项中不含“变元”，令通项中“变元”的幕指数为0建立方程；

（3）有理项:令通项中“变元”的塞指数为整数建立方程.

特定项的系数问题及相关参数值的求解问题等都可依据上述方法求解.

例3（2023•天津）在的展开式中，Y项的系数为一.

例4（2021•北京）在（X3--）4的展开式中，常数项是一.（用数字作答）

x

例5二项式（1+V7）12的展开式中，有理项有（）项

A.5B.6C.7D.8

例6（2021•上海）已知二项式（4+。丫展开式中，X2的系数为80,则a=.

例7已知（2_¥-3『=。0+4（17）+。2（1―力2++线（17）8,则a3=（）

A.224B.-224C.-448D.448

题型3两个二项式乘积的展开式

求多项式积的特定项的方法一一“双通法”

所谓的“双通法”是根据多项式与多项式的乘法法则得到++的展开式中一般项为:

小-&］=［《•优”・⑻(a)［，再依据题目中对指数的特殊要求，确定r与k所满

足的条件，进而求出r,k的取值情况.

例8（2019•新课标III）（1+21）（1+同’的展开式中/的系数为（）

A.12B.16C.20D.24

例9（2020•新课标I）))的展开式中/),3的系数为()

A.5B.10C.15D.20

例10若(l+/?tr)(l-x)5的展开式中不含X3项，则实数m的值为()

A.-2B.-lC.OD.1

例］］若(x+2)=q)+4(x—l)++G(x-1)'+'(工―1)6,。5=

题型4含有三项的二项展开式问题

(4+/7+C)”展开式中特定项的求解方法

(1V

例12在1+X+—的展开式中，常数项为()

kX

k.15B.16C.30D.31

例13(丁+3/+2)3的展开式中X4的系数为()

A.6B.8C.27D.33

题型5二项展开式的系数和问题

求展开式的各项系数之和常用赋值法

根据题目要求，灵活赋给字母不同的值.一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x=0可得

常数项，令x=l可得所有项的系数之和，令x=-\可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差,而当二

项展开式中含负值项时，令x=-l则可得各项系数绝对值之和.

例14（2025北京）己知（1一2工）4=4—24工+4心为2—8%工3+16。/4，则%=；

q+4+。3+4=.

例15（2022•浙江）己知多项式（X+2）（X-1）4=4+%x+々2%2+田/+。4丁+%%5，贝J〃2=

%+四+。3+。4+。5=.

例16在（3-x）（l-x）5展开式中，X的奇数次寤的项的系数和为（）

A.-64B.64C.-32D.32

2（）24

例17（多选）若（2-3"2°”=4+4（17）+生（1一%）2++^2024（1-%），则下列选项正确的有

A.61。~1

2024

B.a]+a2+a3++a2（）23+«2024=2-1

+同+|七|+」+|%）23|+|%）2』=2?2

2023

D.q+2a2+3/+…+2023.23+2024.24=6072x2

题型6二项展开式中的最大项问题

1.二项式系数最大的项的求法

求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质对中的n进行讨论：

（1）当〃为奇数时，中间两项的二项式系数最大；

（2）当〃为偶数时，中间一项的二项式系数最大.

2.展开式中系数最大的项的求法

求展开式中系数最大的项与求二项式系数最大的项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进

行分析.如求（。+区）”（。力£火）的展开式中系数最大的项，一般采用待定系数法.设展开式中各项的系

\A>A.,,

数分别为A），A，4,…,4,且第r+1项最大，应用\rJ解得「，即得出系数最大的项.

[A--A”

例18（多选）关于（x+j）的展开式，下列结论正确的是（）

A.奇数项的二项式系数和为32B.所有项的系数和为243

C.只有第3项的二项式系数最大D.含x项的系数为40

例19已知二项式（〃吠+1）”的展开式中只有第5项的二项式的系数最大，且展开式中X3项的系数为

448,则实数m的值为.

例20已知（3x+^（neN.）的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是1.

（1）求二项展开式中各项二项式系数和；

（2）求二项展开式中系数最大的项.

例21在二项式+1厂J展开式中，第3项的系数和第4项的二项式系数比为3,40.

（1）求〃的值及展开式中的无理项有几项；

（2）求展开式中系数最大的项是第几项.

题型7二项式定理的应用

1.应用二项式定理不仅可以对多项式展开，还可应用于以下几个方面：

（1）证明某些整除性问题或求余数.

（2）证明有关的等式与不等式.

（3）进行近似运算或比大小.

2.各种问题的常用处理方法

（1）整除性问题或求余数问题的处理方法

①解决这类问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式.

②用二项式定理处理这类问题，通常把被除数的底数写成除数（或与除数密切关联的数）与某数的和

或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面（或者是前面）的几项就可以了.

（2）证明等式或不等式问题的处理方法

①解决这类问题，常利用构造恒等式的方法，对恒等式中的数据进行分析、整理.

②在证明过程中常利用如下三种常见变形：

1.(々-3"=0〃+(-1)七”-%++(-l),C/"r++(T)”C»〃；

ii.（m+C：x+C52+，・+c：V+…+C：x〃；

iii.（iTy=c：+（T）k%+.♦+（T）'c;x++（-ir，c：-,^,+（-i）ncx.

（3）近似计算的处理方法

对于二项式（1+。）"，当Q的绝对值与0相差很小且门较大时，常用近似公式（1+々）"勺1+”,

因为这时展开式后面部分C%/+C：/+…+C”很小，可以忽略不计.类似地，有（1一。）“=1一出.

但使用这两个公式时应注意。的条件，以及对计算精确度的要求.要求选取展开式中保留的项，使最后一

项小数位恰好符合要求即可，少了不符合要求，多了无用，且增加麻烦.

例22已知。=79,8=88,。=97,则a,b,c的大小关系为（.）

A.c<a<bB.b<c<aC.b<a<cD.c<b<a

例232452023被3除的余数为（）

A.2B.1C.OD.不确定

题型8二项式定理与杨辉三角

杨辉三角的性质：

（1）每一行都是对称的，且两端的数都是1.

（2）从第三行起，不在两端的任意一个数，都等于上一行中与这个数相邻的两数之和.

例24（2026•模拟）在2026年春晚节目《武BOT》中，机器人完成了后空翻、跳马等高难度动作，

其表演融合了科技与武术元素，也见证了“中国智造”的飞跃速度.若该节目的机器人按杨辉三角队形站

位，第〃（〃£N）行的第r个机器人的动作难度为C：T,则从第3行到第2025行，每行第3个

机器人动作难度之和为（)

AG024-1B.C&024

CJC026nCJ026-1,

例25（2026春•武汉期中•多选）将（。+3”（〃=0,1,2,）按照二项式定理展开后，其各二项式系

数可以形成“杨辉三角”（图1）,将“杨辉三角”中所有的奇数涂成黑色圆，偶数涂成白色圆，就得到

“谢尔宾斯基三角形”（图2）,则下列说法正确的是（）

第0行

第1行I1

第2行121

第3行1331

第4行14641

第5行15101051

第6行1615201561

第31行

第〃行1

A.在“杨辉三角”中，第〃行的所有数字之和为2〃

98

B.在“杨辉三角”中，记第/?（/?>2）行的第n-\个数为%皿），则皿产C