人教版八年级数学上册：乘法公式（讲义+练习）学生版

乘法公式

知识点平方差公式；完全平方公式

教学目标1.理解并掌握公式的结构特征，会用平方差公式，完全平方公式进行运

算C

2.通过创设问题情境，让学生在数学活动中建立平方差公式模型，感受

数学公式的意义和作用。培养学生的数学建模能力与抽象思维能力，

感悟换元的思想方法,在运用公式解决实际问题的过程中培养学生的

化归思想，逆向思维。

3.体验数学活动充满着探索性和创造性,并在数学活动中获得成功的体

验。

1

教学重点1

掌握公式的结构特征及正确运用公式

■1

教学难点公式推导的理解及字母的广泛含义

【教学建议】

本章内容是位于人教版教材八年级上册，第14章《整式的乘法与因式分解》，14.2乘

法公式。根据过往学生的认识过程来看，学生的定向思维就认为两数的和的平方等于两数的

平方和，而且还容易根深带固，那么如何在教学中转变或是加深学生对此公式的正确认识呢？

教材做了合理的安排，较好的方法是“数形结合”，借助面积相等帮助代数恒等式的学习。

【知识导图】

平方差公式

乘法公式

完全平方公式

教学过程

一、导入

【教学建议】

导入是一节课必备的一个环节，是为了激发学生的单习兴趣，帮助学生尽快进入学习状

态。

导入的方法很多，仅举两种方法：

①情境导入，比如讲一个和本讲内容有关的生活现象；

②温故知新，在知识体系中，从学生已有知识入手，揭示本节知识与旧知识的关系，帮学

生建立知识网络。

提供一个教学设计供讲师参考：

知识更习：

1.多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项去乘以另一个多项式的每一项，再把所得

的积相加。

2.计算：(1)(才一3)(户7)(2)(2a+56)(3a-2b)(3)(m—ri)

考点1平方差公式

【教学建议】根据样题，现察算式及运算结果，让学生归纳验证。

计算下列各题

(1)(a-3)(a+3)(2)(l+2x)(I-2x)

(3)(a+3b)(a-3b)(4)(2x+y)(2x-y)

观察以上算式及其运算结果，你有什么发现？并举例计算验证自己的猜想.

平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2

两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.这个公式叫平方差公式

平方差公式的特点：

(1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数;

(2)右边是相同项的平方减去相反相的平方

(3)公式中的a和b可以是单项式，也可以是多项式。

归纳：(a+b)(a-b)=a2-b2098种变化形式

(1)位置变化(b+a)(-b+a)=(a+b)(a-b)=a2-b:

(2)符号变化(-a-b)(a-b)=-(a+b)(a-b)=-(a2-b2)

(3)系数变化(2a+3b)(2a-3b)=(2a)2-(3b)2=4a2-9b2

(4)指数变化(a24-b2)(a2-b2)=(a2)2-(b2)2=a4-b4

(5)增因式变化(a+b)(a-b)(-a-b)(-a+b)=(a2-b2)[(-a)2-b2]

(6)增项变化(a—b—c)(a—b+c)=(a—b)2—c2

(7)连用公式变化(a+b)(a-b)(a2+b2)(a4-b4)=a8-b8

22

(8)逆用公式变化a-b=(a+b)(a-b)

考点2完全平方公式

1.发现、总结

根据乘方的定义，我们知道：a2=a-a,那么(a+»应该写成什么样的形式呢？

(a+b/的运算结果有什么规律？计算下列各式，你能发现什么规律？

(1)(p+1)2=(p+1)(p+1)=；(m+2)2=；

(2)(p-1)2=(p-1)(p-1)=________；(m-2)2=_______；

通过计算，可以得到结果：(1)(p+1)2=(p+1)(p+1)=p2+2p+l

(m+2)2=(m+2)(m+2)=m2+4m+4

(2)(p-1)2=(p-1)(p-1)=p2-2p+l

(m-2)2=(m_2)(m-2)=m2-4m+4

结果中有两个数的平方和，而2P=2・p・1,4m=2・m・2,恰好是两个数乘积的二倍。

(1)(2)之间只差一个符号.

2.结合以上情形，我们得到完全平方公式：(a+b)2=a2-2ab+b2

(a-b)■=a2-2ab+b~

即：两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加(或减)它们的积的2倍.

完全平方公式的特点：公式的左边都是一个二项式的平方，二省仅有一个“符号”不同，右

边都是二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，中间一项是左边二项式

中两项乘积的2倍，二者也仅有一个“符号”不同。

3.注意事项：(1〉完全平方公式：1+1)尸=@2+2@6+1)2或［-1))2=22-2@6+9中的@、b可以是

单项式，也可以是多项式

(2)对于形如两数和(或差)的平方的乘法，都可以应用完全平方公式计算

三、例题精析

类型一平方差公式的应用

例题1

计算：(1)(a-2b)(2b+a)

(2)(3x-2y)(-3x-2y)

(3)(5mn-3mn)(-3mn-5mn)

【答案】

(1)(a-2b)(2b+a)=(a-2b)(a+2b)=a2-4b2

(2)(3x-2y)(-3x-2y)=(-2y+3x)(-2y-3x)=4yJ-9x"

(3)(5mn-3mn)(-3mn-5mn)=(-3mn+5mn)(-3mn-5mn)=9mJn2-25m2n-;

【解析】直接运用平方差公式解答即可。

【总结与反思】平方差公式特征是：字母同，符号有同有异，同前异后平方差。

例题2

【教学建议】本题目在巩固定义的理解上，对于公式在数字类的简便运算中的运用，需要

学生观察仔细，认真思考。

计算：(1)9.8X10.2(2)59.8X60.2

【答案】(1)9.8X10.2=(10-0.2)(10+0.2)=100-0.04=99.96

(2)59.8X60.2=(60-0.2)(60+0.2)=3600-0.04=3599.96

【解析】此类题注意向平方差公式形式转化，写成两个数的和与差的积的形式，使运算简便。

【总结与反思】平方差公式在数字简便运算中的运用，需要把握平方差的结构特征。

类型二完全平方公式的应用

例题1

【教学建议】完全平方公式由多项式乘以多项式得到，属于公式的简便记忆，需要学生掌

括JL本结构及特征c

计算(1)(2x+3)2(2)(a-2b)2

(3)(-x-y)2(4)(3a+2)(-3a-2)

例题2

【教学建议】本题目在巩固定义的理解上，对于公式在数字类的简便运算中的运用，需要

学生观察仔细，认真思考。

计算(1)102?(2)98

类型三乘法公式综合应用

例题1

【教学建议】乘法公式在化简及计算中的应用，需要关注各种变形，注意符号变化，注意

结构特征。

(1)对于任意的正整数n,能整除代数式(3n+l)(3n-l)-(3-n)(3+n)的整数是()

A.3B.6C.10D.9

例题2

【教学建议】完全平方公式有两个，在二倍乘积项，常考分类问题，牢记公式。在两个完

全平方公式中存在两数的和、差、平方和、积，共四个基本部分，知二推二，掌握结构，

牢记公式。

(1)如果X2-2(m»l)x+4是一个完全平方公式，则m=.

,四、课堂运用

1.利用图中图形面枳关系可以解秤的公式是()

A.(a+b)2=aJ+2ab+b'B.(a-b)2=a"-2ab+b'

C.(a+b)(a-b)=a'-b'D.(a+b)(a2-<ib+b3)=a3+b3

2.如图（一），在边长为a的正方形中，挖掉一个边长为b的小正方形（a>b）,把余下

的部分剪成一个矩形（如图（二）），通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了

一个等式，则这个等式是（）

图一图二

A.a2-b2=(t/+Z?)(^-Z?)B.(tz+Z?)2=a2+2ab-\-b2

C.(6Z-/?)2=a2-2ab+b2D.^a+2b)^a-b)=a2-\-ab-2b1

3.计算（x-3y）（x+3y）的结果是（）

A.x2-3y2B.x'-6y2C.x2-9y2D.2x2-6y2

4.在多项式X2+9中添加一个单项式，使其成为一个完全平方式，则添加的单项式可以是

（）

A.xB.3xC.6xD.9x

巩固

1.下列算式能用平方差公式计算的是（）

A.(2a+b)(2b-a)B-(-1+l)(-y-l)

C.(3x-y)(-3x+y)D.(-m-n)(-m+n)

2.已知x、kxy+64『是一个完全平方式，则k的值是()

A.8B.±8C.16D.±16

3.先化简再求值

(2a-b)[b+2a)^b2+4zz2),其中a=—1,b=-2

拔高

1.用乘法公式计算：

①2002、2001X2003；

②(2+1)(22+1)(2*+1)•••(22n+l)

2.阅读下列材料：

一个自然数a恰好等于另一个自然数b的平方，则称自然数a为完全平方数.

已知a=2004?+20042X20052+20052,试说明a是一个完全平方数.

3.观察下列各式：

(X-1)(x+1)=x2-1

(x-1)(x2+x+l)=x3-1

(x-1)(x3+x2+x+l)=x*-1

(x-1)(x'+x'+x[+x+l)=x°-1

①你能否由此归纳出一般性规律：

(x-1)(xn'l+xn"2+xn*：t+*,*+x2+x+l)=

②根据①求出：l+2+2%・・+2,263的结果.

五、课堂小结

1、两个数的和与这两个数的差的枳，等于这两个数的平方差.这个公式叫平方差公式，即

(a+b)(a-b)=a2-b2

平方差公式的特点：

(1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数;

(2)右边是相同项的平方减去相反相的平方

(3)公式中的a和b可以是单项式，也可以是多项式。

2、两数和的完全平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2

两数差的完全平方公式：（a-b）2=a?-2ab+b?

即：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍.

完全平方公式的特点：公式的左边都是一个二项式的平方，二者仅有一个“符号”不同，右

边都是二次二项式，其中有两项是公式左边二项式中每项的平方，中间项是左边二项式

中两项乘积的2倍，二者也仅有一个“符号”不同。

3、完全平方公式：（a+b>=a2+2ab+b?或（a-b）2=a2-2ab+「中的a、b可以是单项式，也可以

是多项式

4、对■于形如两数和（或差）的平方的乘法，都可以应用完全平方公式计算

六、课后作业

1.下列多项式相乘，不能用平方差公式计算的是（）

A.（x—2），）（2y+x）B.（2x-4y）（-x-2^）

C.(-2y-x)(x+2y)D.(-2^-5)(2Z?-5)

2.下列运算中，运用完全平方公式计算正确的是()

A.(^a+hy=a2+b2B.—A>)~=a2—b1

C.[-a+h)2=a2-lab-^-b2