人教版高中数学必修第一册第二章综合测试卷

第二章章末小结

【综合测试】

（限时：120分钟总分：150分）

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给

山的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.已知a>b>0,贝ij（）.

A.ab<b2B,a4-b>2aC.a3<b3D.-<7

ab

2.若“1<x<2”是“不等式（x-a）2<1成立”的充分不必要条件，则实数a的取值

范围是（）.

A.1<a<2B.1<a<2C.1<a<2D.1<a<2

3.若t>1,则关于x的不等式（t—x）（x—>）>0的解集是（）.

A.{x|：VxVt}B.{x[x<：或x>t}

C.{x|x<t或x>；}D.{x|t<x<

Q

4.函数y=x+H（X〉3）的最小值是（）.

A.2B.4C.6D.9

5.已知x>0,y>0,且x4-2y=1.若不等式三+」2m2+7m恒成立，则实数m的

xy

取值范围是（）.

A.—8<m<1B,m<-8或m>1C.-1<m<8D.m<-1或m>

8

6.定义运算“③"：x@y=^^-（x,yER,xy。0）.当x>0,y>0时，x0y+

xy

（2y）0x的最小值为（）.

A.1B,V2C.2D.4

7.已知p：3x>-l,W^Va,若p是假命题，则实数a的取值范围为（）.

A.a>5B.a>6C.a<5D.a<6

8.《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框

架，其中第九卷“勾股”中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门，出

东门十五里有木，问HI南门几何步而见木？”其算法为：东门南到城角的步数，

乘南门东到城角的步数，乘积作被除数，以树距离东门的步数作除数，被除数除

以除数得结果，即出南门X里见到树，则x=，”•若一小城，如图所示，出

东门1200步有树，出南门750步能见到此树，则该小城的周长的最小值为（）.

（注：1里=300步）

A.4VT0里B,6710里C.8A/T0里D.IOVTO里

二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给

出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选

对的得部分分，有选错的得0分）

9.对于任意实数a,b,c,d,下列结论正确的是（）.

A.若a>b,c>d,则ac>bdB.若ac2>bJ,贝1a>b

C.若a>b,则,V；D.若a>b,c>d,贝Ua-d>b-c

ab

10.设a>0,b>0,则下列不等式恒成立的是（）.

A.a24-b24-1>a4-bB.V|a-b|>Va—Vb

11.《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后来

西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数定理都能够通过图形

实现证明，也称之为无字证明.现有图形如图所示,C为线段AB上的点，且AC=a,

BC=b,O为AB的中点，以AB为直径作半圆，过点C作AB的垂线交半圆于点D,

连接OD,AD,BD,过点C作OD的垂线，垂足为E,则该图形可以完成的所有的

无字证明为().

A.Vab(a>0,b>0)B.a24-b2>2ab(a>0,b>0)

C.Vab>in-(a>0,b>0)D.(a>0,b>0)

三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)

12.若P=Ja+7+>/7，Q=Va+34-Va+4(a>0),则P,Q的大小关系为

PQ.(填"V,Ht<”“之”或“=”)

13.已知一l<x+yV4,2<x-y<3,贝以的取值范围是__,3x+2y的取值

范围是____.

14.已知正数a,6满足&+36+'+£=18,贝必+3b的最大值是__.

30

四、解答题(本题共5小题，共77分，第15题13分，第16〜17题

每题15分，第18〜19题每题17分.解答应写出文字说明，证明过程

或演算步骤)

15.解关于x的不等式ax?-(a+l)x4-1<0(aGR).

16.(1)若0Va,b,c<2,求证：(2—a)b,(2-b)c,(2—c)a不能都大于1.

(2)已知x>0,y>0,x+y=1,求证：(1+：)(1+；)N9.

17.某单位要建造一间地面面积为12m2,且背靠墙的长方体小房，房屋正面留有

一扇宽为1m的小门，房屋的墙和门的高度都是3m,房屋正面的单位面积造价为

1200元/n?,房屋侧面的单位面积造价为800元/n?,屋顶的造价为5800元.若不

计房屋背面的费用和门的费用，问：怎样设计房屋能使总造价W(单位：元)最

低？最低总造价是多少？

18.己知不等式(1+k?)x41?+1?+6,其中x,keR.

(1)若x=4,解上述关于k的不等式；

(2)若不等式对任意kWR恒成立，求x的最大值.

19.已知不等式：①|x+3|>2|x|,②,“,③2x2+mx-l<0.

X-5X+2

(1)分别求出不等式①与②的解集；

(2)若同时满足①②的x值也满足③，求实数m的取值范围.

参考答案

1.D【解析】对于A,由不等式的基本性质可得ab>b2,A错误；

对于B,由不等式的基本性质可得a+b<2a,B错误；

对于C,a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)>0,Ma3>b3,C错误;

对于D，80,则Y，D正确.

ababab

故选D.

2.C【解析】由(x-a)2<l,得a-lvxva+l,

・・・“l〈xv2”是“不等式(x-a)2Vl成立”的充分不必要条件，

...且等号不能同时取得

(a+1>2,

解得lWaW2.故选C.

3.A【解析】因为61,所以t3.

原不等式(t・x)Q?>0可化为(x-t)(X-?<0,解得卜x<t,

所以不等式(t-x)(x-?>0的解集为x:VxVt}.

故选A.

4.D【解析】因为x>3,所以y=x+^=(x-3)+^+3、2J(x-3)・专门=6+3=9,

当且仅当x-3="*,即x=6时，等号成立.故选D.

X-3

5.A【解析】Vx>0,y>0,x+2y=l,

.・・'L(x+2y)(率)=^^422悭・X=4+4=8,当且仅当"/，即x=2y1时，等号

xyxyxy\xyxy1

成立.

*.*不等式2m2+7m恒成立，

xy

••・11?+7111<8,解得-8或111忘1.故选A.

6.B【解析】由定义运算知,xEJy-X：；,(2y)E]x-.

因为x>0,y>0,所以xLJy+(2y)[Jx=W^•号y竽2索匕出当且仅当x=&时,

等号成立，所以xZly+(2yLx的最小值是2.

7.C【解析】若p是假命题，则命题:Vx>-l，a^》a为真命题，

X।1

即aW河蛆对Vx>・[恒成立，

则

Ai1

又X+3：+6」X+I)2+：+I+4[(X+1>—1=5,

x+1x+lx+i9)x+1'

当且仅当x+l=W，即X=1时，等号成立，

所以a<5.故选C.

8.C【解析】设GF=x里,EF=y里，由题意知,EB制=4(里),GA端=2.5俚),

9.BD【解析】由-3>-5,1>-4,得・3Xlv・5X(-4),A不正确;

因为ac2>bc2成立，则1>0,所以a>b,B正确；

由2>-3,得>T，C不正确；

因为c>d,所以-c〈-d,又a>b,所以a-d>b-c,D正确.故选BD.

(a.?2+(b.?26>0,

10.ABC【解析】对于A,Va2+b2+1-(a+b)=a2-a+b2-b+1=

...a?+bZ+lAa+b,故A正确;

当且仅当a=b时，等号成立，故B正确;

22ab

对于C,Va>0,b>0,L+l=a+b

当且仅当a=b时，等号成立，故C正确;

对于D,・・・a>0,b>0,・・.(a+b)(*)=2A»2+2F当且仅当空即a=b时，等号

vzababylabab

成立，

・,•五2.故D错误.故选ABC.

11.AC【解析】・.・AC=a,BC=b,NADB=；,

・•・根据图形，在RtAADD中,由射影定理得CD2=AC-CB,・'.CD2=ab,即CD=后,

•・,0D2CD,且0D=?—手,・・・警2M(a>0,b>0),当且仅当a=b时取等号，故A正确;

在RtAOCD中,同理得CD2=DE-OD,/.VCDDE,A扁2

Ol),a+b7

眨=/a>0,b>0),当且仅当a=b时取等号，故C正确.故选AC.

12.<【解析】依题意可知P>0,Q>0,a20,

则P?=2a+7+2卜+7a,Q2=2a+7+2卜+7a+12,

所以PM?2,所以PvQ.

13.LGx+2y-|<3x+2y<y^【解析】・.・-l<x+y<4,2<x-y<3,・••两个不

等式相加可得Y2xv7,解得

设3x+2y=m(x+y)+n(x-y)=(m+n)x+(m-n)y,

_5

,UM二;解得｛二

2,

V-|<^x+y)<10,l<j(x-y)<|,

・•・由不等式的基本性质可得・|<3x+2y<*

14.9+3卞【解析】设t=a+3b,则况=18・t,

所以t(18・t)=(a+3b)(：+?=15+卜+,215+2聆・1=27,当且仅当—=£，即2a=3b时,

等号成立.

所以t2/8t+27WO,解得9-3/WlW9+3m即a+3b的最大值为9+3当且仅当

2a=3b,即a=3+*,b=2F^时，等号成立.

故(a+3b)max=9+316.

15.【解析】原不等式可写为(ax・l)(x・l)〈O.

①当a>0时，原不等式可化为Q-"(x-l)<0,

a

所以当a>l时，解得kx<l；

a

当a=1时，解集为。；

当0<a<l时，解得l<x<L

②当a=0时，原不等式等价于・x+l〈O,即x>l.

③当a<0时入1,原不等式可化为解得x>l或x<X.

aaa

综上所述，当O〈a〈l时，不等式的解集为I

a

当a=l时,不等式的解集为。，

当a,l时，不等式的解集为｛x

当a=O时，不等式的解集为｛x|x>l｝,

当a<0时，不等式的解集为｛x|x<(或x>lj.

16.【解析】(1)假设(2-a)b,(2-b)c,(2-c)a都大于1,

因为0<a,b,c<2,(2-a)b>l,(2-b)c>1,(2-c)a>1,

所以当丝Nj(2-a)b>1晋f2-b)c>1J(2-c)a>1,

三式相加，得Q；+b产：，Q：)+a>3,即3>3,矛盾,

所以(2-a)b,(2-b)c,(2-c)a不能都大于1.

(2)因为x>O,y>O,x+y=l,

所以(1+"(1+”=(1+也)(2+»)=5+2(l*)N5+2X2j*♦:9,当

xyxyxyyxVyx

且仅当/即x=y=/j，等号成立，所以(")(l+?29.

17.【解析】设房屋正面的长为xm,则房屋侧面的长为乌m,

X

因为小房的墙的高度是3m,

所以房屋正面的建造面积为3(x・l)m2,房屋侧面的面积为第2

Xm

因为房屋正面的单位面积造价为1200元/ml房屋侧面的单位面积造价为800元

/m2,

所以W=3600(x-1)+2XY><800+5800

=3600x+2XYX800+2200^28800+2200=31000,

当且仅当3600x=^,Wx=4时，等号成立.