2027年高考数学一轮复习综合检测卷（北京专用）原卷版+解析版

2027年高考一轮复习检测卷（北京卷01）

高三数学

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将白己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

1.若集合4={%6N|2x<4},F={-2,-1,04,2},则4CB=（）

A.{-2,-1,04,2}B.{-2,-1,0,1}C.{0,1}D.{1}

2.已知i为虚数单位，若（l+i）z=l-i,贝“z|=（）

A.yB.V2C.1D.V3

3.已知椭圆9+y2=l上一点4和焦点F.AFi》轴，若双曲线摄一5=1的一条渐近线经过点.4,那么双曲

线的离心率e为（）

A.2>/3B.C.D.

4.已知数列{%}是公差为-1的等差数列，且心是。2与的等比中项，Sn为{即}的前n项和，则56=（）

A.-90B.-45C.0D.15

5.下列函数中，与函数f（x）=2"-5的奇偶性、单调性均相同的是（）.

A.y=exB.y=tanxC.y=x2D.y=x3

6.已知直线Z:kx-y+1-k=0和圆。。:d+y=/①>。），则，午二戊〃是“存在唯一k使得直线I与0。

相以”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

7.已知函数/(%)=23若VXI，X2€R，且%1V%2，则下面结论错误的是()

A./(%i)</(%2)B.f(亨)<一)尸)

C./(X^z)=/(Xi)+/(x2)D./(不+乃)=/(/)/(不)

8.已知/(%)=Asinx-V3cosx(/1>0)的最大值是2,则g(x)=VSsinx+34cosx在R,?］中的最大值是()

A.3V2B.3

9.噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱，定义声压级”=20xIgJ其中常数po(Po>

Po

0)是听觉下限阈值，p是实际声压，下表为不同声源的声压级:已如在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽

车10m处测得实际声压分别为pi，p2，P3，则()

声源与声源的距离/m声压级/dB

燃油汽车1060-90

混合动力汽车1050-60

电动汽车1040

A.pi<3P3B.p2>10pi

C.P3=1000p0D.p2<P]<100p2

10.在等腰直角三角形48。中，48=2,M为斜边的中点，以M为圆心，M4为半径作祀，点,P在线段BC

上，点Q在/上，则|而+而|的取值范围是()

A.[0,V10]B.[0,2+V2]C.[2-V2,V10]D.[2-V2,2+V2]

第二部分(非选择题共110分)

二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分.

11.已知点4(0,5),过抛物线%2=12%上一点即作y=-3的垂线,垂足为5,若|PB|=|P川,则

|P6|=.

5xx4xx21

12.若(％—2)=a5(—+«4(—I)+«3(-(~I)+%(%—I)+a0,则%+做+的+

a4+as=,a3=；(用数字作答)

13.在平面直角坐标系xOy中，隹a与角0均以。x为始边，它们的终边关于y轴对称，若sina=；,则

sin/?=,cos(a-.

14.如图，正方体48co—41B1GO1，则下列四个结论中：

①点P在直线BQ上运动时，直线AP与直线AD所成角的大小不变；

②点P在直线上运动时，直线4P与平面4CD］所成角的大小不变；

③点P在直线Bg上运动时，二面角P-皿一C的大小不变；

④点P在直线Bg上运动时，三棱锥A-OiPC的体积不变.

所有正确结论的序号是.

\x+m\,x<0,

15.设函数/(%)=_回«无>0给出下列四个结论：

、2

①当m=0时，函数/"(%)在(-8,+8)上单调递减：

②若函数f(%)有且仅有两个零点，则m>0；

③当mvO时,若存在实数a,b,使得f(a)=f(b),则|Q-b|的取值范围为(2,+8)；

④已知点P(-m,0),函数f(x)的图象上存在两点。101，%),(22。2，力)(%1<x2<0),QLQZ关于坐标原点。

的对称点也在函数f(%)的图象上.若IPQ1I+IPQ2I=苧,则m=l.

其中所有正确结论的序号是.

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步或证明过程.

16.(13分)在△力8C中，Q8sB+Lb=c,b=2.

⑴求〃；

(2)再从下列三个条件中选择一个作为已知，使△力BC存在且唯一确定，求8c边上的高.

条件①：cosB=-|条件②：sinB=条件③：△48。的面积为苧.

注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得。分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解

答计分.

17.（13分）如图，已知菱形4BC0的边长为6,/-BAD=60°,4CClBD=0.将菱形48CD沿对角线/C折起,

使80=3V2,得到二棱锥3-ACD.

（I）若点M是棱8c的中点，求证:OM〃平面4BD；

（II）求二面角力-BD-。的余弦值：

（HI）设点N是线段80上一个动点，试确定N点的位置，使得CW=4鱼，并证明你的结论.

18.（14分）为测试4、8两款人工智能软件解答数学问题的能力，将100道难度相当的数学试题从1到100

编号后随机分配给这两款软件测试.每道试题只被一款软件解答一次，记录结果如下：

A软件B软件

试题类别

测试试题数量正确解答的数量测试试题数量正确解答的数量

函数试题30242018

几何试题20163020

⑴估计8软件能正确解答数学问题的概率;

⑵小明决定采用这两款软件解答3道类似试题（假设其难度和测试的100道题基本相同），其中函数2道，

几何1道；使用4软件解答2道函数试题，使用8软件解答1道几何试题；每道试题只用其中一款软件解答

一次.假设用频率估计概率，且每次解答相互独立.用X表示3道类似试题被正确解答的个数：求X的分布

列与数学期望；

⑶小明准备用这两款软件来解决其次数学测试中的第12题（假设其难度和测试的100道题基本相同），但

该题内容还未知，从已往情况来看，该题是函数题的概率为?几何题的概率为;.假设用频率估计概率，试

说明小明用哪款软件正确解答这道试题的概率大？(结论不要求证明)

19.(15分)已知椭圆婚+'=l(Q>b>0)的左焦点为Fi(一封0),且点(点3在椭圆C上.

⑴求椭圆C的方程；

(2)已知M(-l,0),N(l,0),点尸为椭圆。上一点.

(»)若点产在第一象限内，N〃延长线交y轴于点Q,〃与△MNQ的面积之比为1：2,求点〃坐标；

(ii)设直线PM与椭圆C的另一个交点为点氏直线PN与椭圆C的另一个交点为点。.设丽=小丽,丽=

入2布，求证：当点尸在椭圆C上运动时，入+的为定值.

20.(15分)已知函数/'(%)=axlnx+(1-Q)%

⑴当a=1时，求曲线y=/(0在点(1,/(1))处的切线方程；

(2)当a<0时，求/(%)的极值;

⑶当时，判断fCO零点个数，并说明理由.

21.(15分)已知无穷数列｛4｝满足0n=max｛%+i，0n+2｝-min[%+i，0n+2｝(n=1,2,3,—)，其中max｛x,y]

表示x,y中最大的数，min｛%,y｝表示x,y中最小的数.

⑴当％=1,口=2时,写出口的所有可能值;

⑵若数列｛%｝中的项存在最大值，证明：0为数列｛斯｝中的项；

(3)若斯>05=1,2,3,…)，是否存在正实数使得对任意的正整数〃，都有即WM?如果存在，写出一

个满足条件的M；如果不存在，说明理由.

2027年高考一轮复习检测卷（北京卷01）

高三数学

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

4.答卷前，考生务必将白己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

5.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡匕写在本试卷上无效。

6.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）

一'选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

1.若集合A={%EN|2x<4},8={-2,—则4nB=()

A.{-2,-1,0,1,2}B.{-2,-1,0,1}C.{0,1}D.{1}

【答案】C

【详解】因为力={xeN|2*<4}={0,1},

所以4n8={0,1}.

故选：c

2.已知i为虚数单位，若(l+i)z=l-i,则|z|=()

A.yB.V2C.1D.V3

【答案】C

【详解】因为z=*=猊匿=m=-i,

所以|z|=l,

故选：C.

222

3.已知椭圆5+产=1上一点力和焦点尸乂尸上》轴，若双曲线/一与二1的一条渐近线经过点4那么双曲

线的离心率e为（）

A.2>/3B.I。.彳0.|

【答案】C

【详解】根据椭圆方程可知，焦点坐标为(±1,0)，不妨设焦点F为右焦点(1,0),

因为RFJ.无轴，4在椭圆上，假设A点在第一象限，所以4点坐标为(1,苧).

由题可知，双曲线的渐近线方程为丫=±3心

又因为双曲线的一条渐近线经过点A,所以代入y=-%可知g=与

所以双曲线的离心率为e=；=m=彳.

故选：C.

4.已知数列｛即｝是公差为-1的等差数列，且是。2与的等比中项，Sn为｛斯｝的前九项和，则S6=()

A.-90B.-45C.0D.15

【答案】D

【详解】解：由题意可得点=。2%，公差d=-l,

(a]+3d尸=(%+d>(a14-4d)

代入数据可得(出-3)2=-DQL4),

解得%=5,

:55=6al十d=15.

故选：D.

【点睛】本题考查等差数列的求和公式和通项公式，属于基础题.

5.下列函数中，与函数/"a)=2x-最的奇偶性、单调性均相同的是().

A.y=exB.y=tanxC.y=x2D.y=x3

【答案】D

【详解】函数/(x)=2*-/的定义域为R,定义域关于原点对称，

由/(t)=2-x-言二去-2"=-fW，所以函数/⑴为奇函数，

因为函数y=2、为R上的增函数，函数y=会为R上的减函数，

所以函数/Xx)为R上的增函数，

对于A,设g(x)=e1，函数g(x)=e"的定义域为R,定义域关于原点对称，

因为g(l)=e,g(—1)=%

因为9(1)。一9(一1),所以函数、=6》不是奇函数，A错误；

对于B,设h(%)=tan%,则h(0)=/i(it)=0,

故函数、=匕口不是其定义域上的增函数，B错误；

对于C,设9(%)=/,函数w(x)=%2的定义域为R,定义域关于原点对称，

因为*(一无)=(一%)2=Y=0(%),所以函数仪无)=Y为偶函数，C错误；

对于D,设尸(%)=炉，则FQ)=/的定义域为R,定义域关于原点对称，

又F(-x)=(-x)3=-x3=-F(x),所以函数尸(%)=%3为奇函数,

又函数F(©=%3为R上的增函数,D正确;

故选：D.

6.已知直线2:kx-y+l-k=0和圆。0:x2+y2=r2(r>0),则"r=应”是"存在唯一上使得直线/与0。

相切”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】r=&时，］认％-丫+1-1=0到。0:/+3/2=2的距离为卢彗=加，

y/1+k1

故1—2k+d=2+2k2,解得k=-1.

满足存在唯一上使得直线/与。。相切”，充分性成立，

l'.kx-y+l-k=0经过定点

若r=l,00:x2+y2=1,若k=此时直线，:y=l,

直线2：y=l与。。相切，另一条切线斜率不存在，

故满足存在唯一k使得直线/与C。相切”，

2

当在OO-.x+y2=r2(r)0)±,满足存在唯一k使得直线/与O0相切，

故/=1+1=2,

又r>0,解得r=VL必要性不成立，

故"r=&"是"存在唯一上使得直线I与。。相切〃的充分不必要条件.

故选：A

7.已知函数/(%)=23若V%I，X2€R，且％1<%2，则下面结论甯误的是()

B/(X1+X2)<、打)+/(*2)

A./(Xi)</(X2)

C./(%逐2)=/(%l)+f(X2)D./(与+%2)=/(/)/(%2)

【答案】C

【详解】由指数函数的单调性可知/。)在R上单调递增，

又勺<无2，所以/(%1)</(工2)，故A正确；

因为2勺>U,2'2>U,

所以_20；2”工72X1.2了2=2^4^=/，

又占<%2,所以上式取不到等号，所以八吗(八)>/(空｝故B正确；

/■。逐2)=2力”2,/(%])+/(冷)=2力+2>2,

VX!，X2eR,Xj<x2,/(必必)Hf(#i)+f@2)，故C错误;

Xl+X3XiX1+X2

fQi+x2)=2,f(xi')f(x2')=2-2*2=2=/(xj+AT2)»故D正确.

故选：C.

8.已知fO)=Asinx-V3cosx(/I>0)的最大值是2,则g(x)=、Gsinx+34cosx在标,弓]中的最大值是()

A.3V2B.3

3企+连

L，-—D.2V3

【答案】C

【详解】解：根据辅助角公式可得/(%)=Asinx-V3cosx=V/l2+3^-?==sinx--7==cosx)

=Vzl2+3sin(x-8),其中tan</)=曰.

A

由/(%)的最大值为2可得，=2(A>0),解得4=1.

=V3sinx+3cosx=2^3Qsinx+jcosx)

=2V5sin(%+三).

n3n..K_f7n13n

7%G,4，T.,.・'+=后，五

.••当％+”工，即％=即寸，g(%)取得最大值.

故g(X)max=2>/3sinQ+^)

=26又与X曾吟=亭

故选:c.

9.噪声污染问题越来越受到重视用声压级来度量声音的强弱，定义声压级”=20x1g卫，其中常数po（p。＞

0）是听觉下限阈值，p是实际声压，下表为不同声源的声压级:已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽

车10m处测得实际声压分别为pi，p2，P3，则（）

声源与声源的距离/m声压级/dB

燃油汽车1060-90

混合动力汽车1050-60

电动汽车1040

A.pi<3P3B.P2>10pi

C.P3=lOOOpoD.p2<P]<100p2

【答案】D

„9

【详解】由题意得，604201g"£90,所以lOOOpo<piWiMp,

Po

500201g空工60,所以10第0424lOOOpo，

Po

201g^=40,p3=100p0,故C错误；

贝丁有3P3=3OOpo,

9

因为3P3=300Po<1000p0<Pi<102p,

可得Pl>3P3，故A错误；

5911

因为105Po<P2<1000p0,1000p0<Px<102p,则10000p0<10p]<105p,

所以P2<WOOpo<lOOOOpo<lOpj,故B错误；

95

Pl<lOzpo=l°0X102p0<100,2，

所以P2WPlW10印2，故D正确.

故选:D.

10.在等腰直角三角形4BC中，力8=2,时为斜边8。的中点，以M为圆心，M4为半径作元'，点,P在线段BC

上，点Q在祀上，则|Q+丽|的取值范围是（）

A.[0,V10]B.[0,2+何C.[2-V2,V10]D.[2—a,2+@

【答案】A

【详解】以M为圆心，以M4MC为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

由于48=AC=2,所以BC=2五,BM=CM=0

由于点Q在坛，不妨设Q(&cos6,&sin。)，。6［。,引，

4(0,⑨,P(a,O),其中一或MaSVL

存+的=(a,—⑨+(V2cos。,鱼sinb)=(a+鱼cosa-V2+/sin。)，

所以|而+~MQ\=J(a+V2cos0)24-(-V2+V2sin0)\

J(a+V2cos0)24-(-V2+esinBp可看作是配上的点Q(&cos。,鱼sin。)到点R(-a,⑨的距离,

由于点R(-Q,⑨在线段y=V2(-V2<x<戊)上运动，

故当点R(-a,&)运动到点E(-加,&)时，此时距离最大，为CE=〃1尸2+次=J(鱼『+眨&)2=同,

当点R(-a,旬运动到点4(0,⑨时，此时距离最小为0,

综上可知：|而+

故选：A

第二部分(非选择题共110分)

四、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分.

11.已知点4(0,5),过抛物线d=i2y.上一点。作y=-3的垂线，垂足为8,若|PB|=|P川，则

I。即=•

【答案】7

设P(%,y),\PB\=\PA\t

可得y+3=y/x2+(y-5)2,

x2-16y+16=0,

由，=12y,带入可得：y=4,

所以|PB|=y+3=7,

故答案为：7.

54321

12.若Q-2>=as(x-l)+a4(x-I)+a3(x-I)+a2(x-l)+ax(x-l)+a0,则由+a24-a3+

+Qs=,a3=；(用数字作答)

【答案】110

55x321

【详解】由(无-2)=a5(x-I)+a4(-+。3(%—I)+-I)+fli(x-I)+Q0,

令％=1得a。=-1,

令X=2得的++。2+。3+。4+=0,+。2+。3+。4+=1.

(x-2)5=[(x-1)-I]5,所以为=Cl•(-1)2=10.

故答案为：1;10

13.在平面直角坐标系xOy中，隹a与角£均以。工为始边，它们的终边关于y轴对称，若sina=g则

«3

sin/=,cos(a—0)=.

【答案】|

【详解】•・•角a与角0的终边关于卜轴对称，

a+/?=(2k+l)7i,kEZ,

sin/?=sin[(2/c+1)TT—a]=sin(n—a)=sina=

又|cosa|=V1-sin2a=浮=|cos/?|,且cosa=-cos^,

«5

2^27

/.cos(a-/?)=cosacos/?+sinasin/?=千x

J学+*9

故答案为：I；—

14.如图，正方体则下列四个结论中:

①点P在直线BQ上运动时，直线4P与直线40所成角的大小不变；

②点P在直线BC】上运动时，直线AP与平面/CD1所成角的大小不变；

③点P在直线Bg上运动时，二面角P-AD1-C的大小不变；

④点P在直线Eg上运动时，三棱锥4-O]PC的体积不变.

所有正确结论的序号是.

【答案】③④

【详解】如图，以。为原点，建立如图空间直角坐标系.不妨设力B=2.

则0(0,0,0)/(2,0,0),8(2,2,0),C(0,2,0),Cj(0,2,2),。式0,0,2).

所以标二(-2,0,0),^C=(-2,2,0),AD1=(-2,0,2)

因点P在宜线8Q上运动，那么前=4西，则P(2—2a,2,22).

则而=(-242,2/1)

对①：因为c网而的=黯=公扁=.不是定值，故①错误；

对②：易知函=(222)为平面AC小的法向量，cos(西,而)=嵩焉=不号汞Q——^^=不是定

值，故②错误；

对③：设平面PADi的法向量为:五=(%y,z).

则俨1.=伊.亚=0(x,y,z)­(-2,0,2)=0一屋n=o，令*=1，婀=(101),

'Inl^PI五.而=0(x,y,z)•(-2九2,24)=0

又平面4C%的法向量为西=(2,2,2),所以二面角P-AD.-C的大小不随P点在Bg上的运动而改变，故

③正确：

对④)：因为匕1-D1PC=Vp_4D[C，因为△/W]C的面积为定值，

又BCJ/ADi，BgC平面A。1u平面4。。1，所以BC"/立面

所以当点P在直线8g上运动时，点P到平面的距离，即三棱锥P-的高不变，所以三梭抽4-D.PC

的体积不变，故④正确.

故答案为：③④

【点睛】方法点睛：建立空间直角坐标系，利用空间向量分析角、距离，应该是最容易想到的方法.

\x+m\,x<0,

15.设函数f(%)=1_回e％>o给出下列四个结论：

①当m=0时，函数/(%)在(-8,+8)上单调递减；

②若函数f(x)有且仅有两个零点，则m>0；

③当mV0时,若存在实数见从使得f(a)=f(b),则|。-m的取值范围为(2,+8)；

④已知点P(-m,0),函数/(%)的图象上存在两点。1(%1，%),。2(小,，2)(巧<x2<0),关于坐标原点。

的对称点也在函数八%)的图象上.若|PQ】l+|PQ2l=乎，则血=1.

其中所有正确结论的序号是.

【答案】②③④

【详解】当m=0时，x工0时，/(%)=0,故在(一8,+8)上不是单调递减，①错误；

对于②，当m=0显然不成立，故m00,

当无之0时，令/'(X)=0,即一罟«=0,得％=0,x<0,|无+m|=0=%=-m,要使/(无)有且仅有两

个零点，则一mVO,故TH>0,②正确，

m,x<0,

对于③，当m<0时/(x)=此时f(x)在(一8,0)单调递减，在[0,+8)单调递增，如图:

x>0/

若/(a)=f(b)，由一m=--«=x=2,故|a—b|>2,所以|a—b|的取值范围为(2,+8)：③」E确

对于④，由①③可知：mWU时，显然不成立，故m>。，

要使。1(%1，月),。2(%2，丫2)(X1VX2V0)，Q1，Q2关于坐标原点。的对称点也在函数/(%)的图象上，

则只需要x>0,y=-|x-M的图象与3>OJ(x)=一字返有两个不同的交点，如图：

故勺<-m<x2<0,

|PQil+IPQ2I二y/2\—m—xj+X/2|X2+m\=—\[2（rn.+/）4-近（x?+m）==应一=|，

由对称可得/(一%D=-亨/=-|-%1-m\=xl+m,

化简可得m+等尸石=0,故(尸■行尸-空尸石-m=0=>尸石=2.4一

-x-

/（-乃）=-率V2=-Ix2-m\=-x2-m,化简得（V-M）2+等yj-x2-m=0

所以.一%2二

2

^~+J^m2+4m

由于一修,一工2均大于0，所以^一勺=

2，

（遮；IJ"2+dm

因此T2—勺=(尸石)2-(尸石)2=

2

由「m>0,/(m)=］血4+4/为(0,+8)单调递增函数，且/'⑴=5,

此时%2-M=苧+47n3=因此m=l,④正确,

故答案为：②③④

【点睛】方法点睛：函数零点问题常用的方法和思路

（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决：

（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.

五、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步或证明过程.

16.（13分）在△48C中，QCOSB+gb=c,b=2.

（1）求乙4；

⑵再从下列三个条件中选择一个作为已知，使AABC存在且唯一确定，求BC边上的高.

条件①：cos8=V；条件②：sinB=条件③：△48c的面积为学.

注：如果选择的条件不符合要求，笫（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解

答计分.

【答案】（1）4=60。

（2）答案见解析

【详解】（1）方法一：在△ABC中，因为QCOSB+gb=c,

所以由正弦定理可得sin/lcos^+-sinB=sinC.

因为A+B+C=n,所以sinC=sinQ4+B）=sinAcosB+cosAsinB.

所以JsinB=cosAsinB.

在△/IBC中，sinBH0,

所以cos力=g所以力=60°.

方法二：在△48C中，因为acosB+：b=c,

由余弦定理COSB=E^

222

ZMa+c-b1,

得。•F7-+#=c,

整理得+b2-a2=be

所以cos/l=所以4=60°.

Zbc2

（2）选条件②：由（1）知0。<8<120。

因为在△48C中，sinB=",所以8=45。

又4+8+C=7T,所以。=75°

所以sinC=sin(45°+30°)=sin45°cos300+cos45°sin30°

V3V21

=--X—+---X-

2222

石+企

=-4-

设8C边上高线的长为山则

h=bsinC=2x^=^.

42

选条件③：

因为S4/i8c=^bcsinA=csin60°=yc=

所以c=1+V3,

由余弦定理得次=b2+c2-2bccosA=4+4+273-2x2x(1+V3)cos60°=6

所以Q=V6.

设BC边上高线的长为山则

,2s△Me3+V3V6+V2

h.=----------=————=------------

aV62

17.（13分）如图，已知菱形力BCD的边长为6,48/4。=60°,4COB。=。.将菱形48CD沿对角线4c折起,

使BD=3a,得到三棱锥B-4CD.

（I）若点M是棱BC的中点,求证:OM〃平面ABD；

（II）求二面角A-BD-。的余弦值；

（HI）设点N是线段8D上一个动点，试确定N点的位置，使得CW=4或，并证明你的结论.

【答案】（I）见试题解析；（H）/（III）存在.

【详解】试题分析：（I）要证。M〃平面4BD,可先证OM〃4B；（II）由。4,OB,。。两两垂直，可建立

空间坐标系，求出平面力8。的法向量为元=(1,75,百)，平面B。。的法向量为%=(1,0,0),再利用cos(而，用

求得二面角力一8。一。的余弦值为?：(HI)设N(Xi，y],Z]),由丽=A前及CN=4四,可求得五

试题解析：(I)证明：因为点0是菱形48。。的对角线的交点，

所以。是AC的中点.又点M是棱BC的中点，

所以0M是△4BC的中位线，OM/A4B.

因为0M仁平面48。，48(=平面48〃，

所以0M〃平面

(II)解：由题意，。8=。。=3,

因为BD=3V2,

所以z80。=90°,OB10D.

又因为菱形/8CD,所以。81/1C0D1AC.

建立空间直角坐标系。一孙z,如图所示.

力(375,0,0),D(0,3,0),8(0,0,3).

所以油=(-36,0,3),瓶=(-3/3,3,0)

设平面48。的法向量为元=(x,y,z),

则有四,五=°,即卜3妤+3z=0：

令《=1,则y=V5,z=K,所以元=(1,遮百).

因为AC_L08,4C_L。。，所以/1C_L平面8。。.

平面平面8。。的法向量与平行，

所以平面B0D的法向量为而=(1,0,0).

c°s(而，五)=磊=点=9'

因为二面角4—BD—。是锐角,

所以二面角4-BD-。的余弦值为圣

(III)解：因为N是线段AC上一个动点，设NOi，yi，zD，丽=人力,

(xi.y^Zi-3)=A(0,3,-3),%i=0,yt=3Azi=3-3A

所以N(0,3尢3-3A),CW=(36,34,3-3A)

由CN=4&得J27+9乃+(3-3/1)2=4夜,即N(0,3/l,3—32),

解得4=料U=p

所以N点的坐标为(0,1,2)或(0,2,1).

考点：1.空间中线面位置关系；2.二面角.

18.(14分)为测试A、8两款人工智能软件解答数学问题的能力，将100道难度相当的数学试题从1到100

编号后随机分配给这两款软件测试.每道试题只被一款软件解答一次，记录结果如下：

4软件B软件

试题类别

测试试题数量正确解答的数量测试试题数量正确解答的数量

函数试题30242018

几何试题20163020

⑴估计B软件能正确解答数学问题的概率;

(2)小明决定采用这两款软件解答3道类似试题(假设其难度和测试的100道题基本相同)，其中函数2道，

儿何1道；使用力软件解答2道函数试题，使用8软件解答1道儿何试题；每道试题只用其中一款软件解答

一次.假设用频率估计概率，且每次解答相互独立.用X表示3道类似试题被正确解答的个数，求X的分布

列与数学期望；

⑶小明准备用这两款软件来解决其次数学测试中的第12题(假设其难度和测试的100道题基本相同)，但

该题内容还未知，从已往情况来看，该题是函数题的概率为:，几何题的概率为"假设用频率估计概率，试

说明小明用哪款软件正确解答这道试题的概率大？(结论不要求证明)

【答案】⑴成

(2)分布列见解析；期望为黄

⑶答案见解析

【详解】(1)记B软件能正确解答数学问题为事件8,

结合题中数据以及古典概型的概率公式可得P(B)=缪=卷

(2)解法一：使用A软件解答函数试题正确的概率为胃

使用8软件解答几何试题正确的概率为案=

JUO

X的可能取值为0、1、2、3,

p(x=o)=(i-i)2x(i-1)=l,

P("D=axRT)x(】*)+(】Y)X*

2

P(X=2)=Cjxix(14)x|+a)x(l-1)=^

P(X=3)=C2X(02X|=||,

用&、X2分别表示这2道函数试题与1道几何试题被正确解答的个数,

因为X1〜B(2,JX2〜8(1,|),

Xi012

1816

p

252525

X?01

12

P

33

X=X1+X2的可能取值为0、1、2、3,

P(X=0)=±xi=±,P(X=l)=±x1+^xl=^

P(>=2)=gx?+竺=%，0(X=3)=竺=%

1725325375k725375

则其分布列为:

X0123

1103232

P

75757575

由二项分布的期望公式可得E(X])=2x^=1,E(X2)=1X^=

OOJ

因为X1，>2相互独立，则

E(X)=E(Xi+X2)=E(XD+F(X2)=[+[=,

(3)小明应该使用8软件来解决这道试题.

记S软件能正确解答这道题〃为事件E,"B软件能正确解答这道题〃为事件凡

“该题为几何题”为事件G.

则P(G)=gP(G)=I，P(E|G)=g

JJo

P(E|G)=4=5P(F|G)=1P(F|G)=V，

由全概率公式可得

P(E)=P(G)P(E|G)+P(G)P(E|G)=|x1+|x|=|.

P(F)=P(G)P(/|G)+P(G)P(尸|G)=那+：x。=葛

因为P(F)>P(E),所以B软件能够正确解决这道试题的概率更大,

故小明应该使用B软件来解决这道试题.

19.(15分)已知椭圆嘘+'=l(a>b>0)的左焦点为片(一打0),且点(次在椭圆C上.

⑴求椭圆C的方程；

(2)己知M(—l,0),N(l,0),点P为椭圆。上一点.

(i)若点Q在第一象限内，NP延长线交y轴于点Q,AONP与aMPQ的面积之比为1：2,求点P坐标;

(ii)设直线PM与椭圆C的另一个交点为点B,直线PN与椭圆C的另一个交点为点D.设丽=入而，同=

入2而，求证：当点。在椭圆C上运动时，入+/12为定值.

【答案】⑴f+y2=i

⑵生目），证明见解析

【详解】（1）由题意知，C=g，则。2=3=。2一629,

又因点（心3在嗒+3=l（Q>b>0）±,

R1…_（Q2一按=3

所以宏+京=1②，联立①、②式可得巨+_L=1，

>a24d2

解之可得。2=4,反=1,所以椭圆方程为9+y2=1.

（2）（i）由题意知，直线NP的斜率一定存在，

设其方程为y=H%-l）,根据题意可知kVO,如图所示,

令《=0,则y=-k,即Q点坐标为（0,-k）,

设点。到直线NP的距离为九，

又因。是NM的中点，所以点M到直线NP为2儿

又因△MPQ的面积之比为1：2.

所以然=5所以IPN|=|PQI，

即点P是NQ的中点，所以可得P点坐标为弓,一3。，

又因点P在椭圆J+y2=i上，所以4_+?=1,

解之可得々二一平，所以P点坐标为乎）；

（ii）设P（&,yo）,8（%1，月）,。（42，、2），直线PM的方程为％=£y-1，

其中t=则/+4弁=4,

yo

（X=ty—1

联立］x221»可得（产+4）y2-2ty-3=0,

（v+r=1

3

因为=A丽,

根据韦达定理可,知%丫1=-百，

所以(一1一劭,一yo)=用以1+1,月)，所以-%=A/i，

2_yo_、，(t2+4)y_(«2+4)y^

4-一7一一y。.0-，

设直线PN的方程为x=my+1,其中m=四二，

yo

同理可得;(「一氏二隼邈，

所以;t]I%=(飞)屏I(叱.[(黑)2I4I普于I4

=%.12(舄+1)+8j=y12(4-441)+叫=X,

20.(15分)已知函数/(%)=Qxlnx-+(1-Q)》.

(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(l,f(l))处的切线方程：

(2)当aVO时，求/'(%)的极值；

(3)当;工。工1时，判断f(x)零点个数，并说明理由.

【答案】(l)y=

⑵/(%)极大值=1-a,无极小值

⑶当a=:时/■(%)有一个零点，当g<a41时/O)无零点

【详解】(1)当a=1时/(工)=xlnx—则/(1)=一；，/'(%)=inx+1—%,

所以/''⑴=0,

所以曲线y=/(%)在点(1,f(1))处的切线方程为y=-1.

(2)函数/(%)的定义域为(0,+8),且f'a)=alnx+a-x+(1—Q)=alnx-x+1,

令g(x)=/(x)=alnx-x+1，则g(%)=^-1=

因为QVO,所以g'COvO恒成立，所以g(x)在(0,+8)上单调递减，

即f(x)在(0,+8)上单调递减，

又"1)=0，

所以当0V%<1时;"'(%)>0,当x>1B'j/'(x)<0,

则“%)在(U,l)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，

所以/•(%)在％=1处取得极大值f(x)极大值—0无极小值.

(3)令/(%)=(),B[Jaxlnx-1x2+(1-a)x=0,

因为4>0,所以alnx-1X+(1-Q)=0,

令F(x)=alnx-+(1—a),