2025-2026学年河南省信阳市高二（下）期末数学试卷（含答案）

2025-2026学年河南省信阳市高二(下)期末数学试卷

一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。

1.已知数列｛〃“｝的前〃项和公式为S0=+则44=()

A.9B.10C.11D.12

2.若复数：(；i)((i-2i)(u€为纯虚数，则a=()

A.-4B.-12C.11D.6

3.已知向量袋*=Cx,2,-1),了1=(1,1,1),且不*J■石，则尸()

A.-2B.-1C.0D.1

4.曲线/(x)=N+lnx在点(1,/(I))处的切线方程为()

A.y=3x-1B.尸2x-HC.产2x-lD.产3x-2

5.若随机变量.¥-〃(!),：)，则E(12¥)=()

<5

A.-5B.-6C.6D.7

6.某数学建模活动小组为测量郑州市寿圣寺双塔塔尖之间的距离，构

建了如图所示的几何模型(点时，N分别代表两座塔的塔尖位置).

若1。\历米，8050米，4MC4=45°,乙MC8=60°,

△MCN=12(T,则塔尖MV之间的距离为()

A.SO米

B.B0米

C.处币米

D.”\所米

02

7.已知椭圆C：奈+患=1(。乂>0)的左、右焦点分别为为，尸2,且后为抛物线炉=2px(p>0)的焦点.

设抛物线与C在第一象限的交点为P,若|。石|-JlFiFJ,则。的离心率为()

1c.逛

A.・

92

8.已知函数/G)=0"-ln(x+2)+2吁3,若/(x)20对任意x>-2恒成立，则实数〃?的取值范围可能为

()

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A.(-3C,-]B.(二J"2,+X)c.(-8,2]D.[2,+°0)

二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。

9.为了解某款新型“智能手环”的销售状况，创新实践小组对该产品上半年的销售情况进行了调查，部分

数据为：1月份销量1.0万件，2月份销量1.2万件，3月份销量1.4万件.已知第二季度销量比第一季度多

0.6万件.设月份为x,销量为y(万晔)，经过回归计算得到线性回归方程为y=|).Lr+a，则下列说法正确

的有()

A.a=0.95

B.该组数据的线性相关系数为().1,故相关性很弱

C.根据回归方程，推测4月份销量为L35万件

D.I月份销量的残差为0.05

10.已知儿〃是概率均不为0的随机事件，下列说法正确的有〔)

A.若尸(AUB)=P(A)+P(B),则事件彳与事件8互为对立事件

B.若P(川8)=P(即)，则P(A)=P(8)

C.若P⑺=P(B),则P(Ab)=P(1B)

D.若P(A)1P(B|A)■:1,P(/?-|/l)1,,则P(B)-1

«54«5

11.声音的合成在音乐、信号处理中十分常见.纯音的数学模型是函数产4sino)x,我们日常听到的声音通常由

多个纯音叠加而成，记/“")3心\\3〃：5…•+(I严J疝〃〃/(〃WN)则下列说法

正确的有()

A.力(x)的最小正周期为兀

B/(x)在区间[0,2兀]上恰有3个零点

C.fn(x)的图象关于点(2E,0)(kez)中心对称

D.1(x)的最大值为当2+g

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.(3+2x)(1-x)3的展开式中好的系数为_.

13.已知圆M经过点C(0,3),D(4,1),旦圆心在直线上，则圆M的方程为一.

14.在边长为4的菱形44CO中，/-BAD]沿对角线8。招ZU。。折起得到三棱锥H-8CD,若

«5

15.而=()，则三棱锥4-8CZ)外接球的表面积为一.

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四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.（本小题13分）

已知｛〃”｝是等差数列，｛瓦｝是等比数列，且m=8=3,42+44=2岳，。同3=心

（1）求｛如｝和｛儿｝的通项公式;

（2）记数列伍几｝的前〃项和为£,求满足£<2（）26的最大正整数〃.

16.（本小题15分）

在正三棱柱力8C-小81a中，底面边长48=2,侧棱/由=6,点尸在侧棱上，且满足

BB\11

（l）是否存在实数N，使得4P18C?若存在，求出R的值；若不存在，说明理由;

（2）当—2时,求平面0小G与平面21G所成的锐二面角的余弦值.

17.（本小题15分）

已知椭圆+£

」（a>b>0）的焦距为九个，且椭圆上的点到两个焦点的距离之和为4.

a262

（1）求椭圆C的标准方程;

（2）设椭圆C的左、右顶点分别为4B,点P（1,0）,过点尸的动直线/与椭恻。交于M,N两点

CM,N均不同于4B）,直线4H与4N交于点。，求证：点0在定直线上，并求出该定直线的方程.

18.（本小题17分）

某学校举办书法比赛，共有〃幅作品.评委首先按质量从高到低排序，最优者为第1名，次优者为第2

名，…，最差者为第〃名.一周后，评委遗忘之前排序，再次对这〃幅作品按质量排序.设第一次排序中排

名为i的作品在第二次排序中的名次为a（。1,。2，…，斯是1,2,…，〃的一个排列）.定义X=|1M|+|2-

。2|+|3-词+…+|〃”|用以衡量两次排序的偏离程度.

（1）当〃=3时，若评委两次排序完全随机（即所有排列等可能），求X的所有可能取值集合；

（2）取〃=4,假设评委仅凭随机猜测排序，且各轮测试相互独立.

①求X的分布列与数学期望E（X）；

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②若某评委在连续三轮测试中，每次都有XW2,计算这一事件发生的概率.根据该概率，能否认为该评委

具有较好的质量鉴别能力？请说明理由.

19.(本小题17分)

已知函数/(x)=eSg(x)=ax2+x+l(aER),h(x)=/(x)-g(x).

(I)讨论〃(x)在(0,+8)上的单调性；

(2)若任意x>0都有力(#>0恒成立，求实数。的取值范围；

(3)已知数列｛。“｝满足册其前〃项和为S“，利用(2)中的结论，证明：对任意正整数，

n

都有11H-).

41〃+1

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1.【答案】B

2.【答案】A

3.【答案】B

4.【答案】D

5.【答案】A

6.【答案】C

7.【答案】D

8.【答案】B

9.【答案】AC

10.【答案】CD

II.【答案】BCD

12.【答案】3

13.【答案】(x-2)2+(y-2)2=5

14.【答案】247t

15.【答案】an=3n,btl=3"

4

1w

16.【答案】存在，〃=；,取力C的中点O,连接40,则40L/1C,

1/

以。为原点，加为工轴正方向，刀苫为y轴正方向，过点O作平行力小的直线为z轴，建立空间直角坐

z

由题意48=2,JJi=6,贝［A(-1,0,0),B(1,0,0),「(()•《,())，Ai(-1,0,6),

G(优H,6),©(1,0,6),设P(1,0,z),

山丽“而丽(0,0,6)»乔(0,0,:)>

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6।*

得二=-,即。(1，0,-)，

I•

所以审=(2M,--6),派-

若.41P1B1C,则卡・而=2x(-1)+UX{+(?-6)X(-6)=0,

IV1Q

得〃行，满足“行>1,符合，

1717

［、

所以，存在〃=”，使得小尸_L8C

1i

yjo

~2(r

17.【答案】亍+『=1

证明：易知直线/的斜率存在，

设直线/的方程为x=〃?y+l,M（xi，yi）»N（不，yi）>

'x-my+1

2

联立《X9「消去x并整理得（加+4）产+2〃吁3=0.

T+旷=1

14

2m3

由韦达定理得知♦如

汨2火〃/+4'

因为力（-2,0）,B（2,0）,

所以直线4M的方程为"在…①

问理得直线8V的方程为〃=占(工一2),②

联立①②，

M殂t-2jn（-2）-2y＞（2Ti+2）

解得项=见3一2）-8但+2）

因为X|=〃W+1,X2=W^2+1»

L〃助胆一2仍+6加

所以

yi+3如

2m3

因为V卜孙Jihlh

nr+4加+4

所以』2m

y\yi

3®+加）

即in

2yly2

七〃加犯-2皿+66

因为J(厂

y\+3如

»nyi!/22yi+6y26（例+粗）-2yl+（）i/2

所以/(厂

2/1+3的!/1+:如2

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则点。的横坐标为4,

故点。在定直线x=4上

18.【答案】｛0,2,41

①X的分布列为

②0.0046,该可能性非常小，根据概率的实际推断原理，这样的小概率事件在试验中几乎不可能发生,

从而我们认为该评委具有较好的质量鉴别能力

19.【答案】当〃<:时，h'（X）在（0,+8）上单调递增；当〃>:时，h1（x）在（0,ln2t/）上单调

递减，在（ln2o,+8）上单调递漕

（-X,

由（2）知，当〃:时，对任意x>0,h（x）>0恒成立，则

令上=：（*€，▽）,得>>1+'+击，

两边取对数，得>殒+；+2：J

1

因为।1R十

所以［力，（I

A

对于Q1,2,3,…，

u”n

求和得s“£石＞£仇(1+工)+£儿(1+2A-(A-+I)1

k=lAk=l'k=\

1

'(〃+I)+£E(I+2k(kTl)}t

i=i

下面证明当x>（）时,有仇(1+x)＞工—

设it(