相似三角形的判定（第2课时）导学案

27.2.1相似三角形的判定(第二课时)导学案

学习目标

1.了解“三边成比例的两个三角形相似"和''两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定定理的证明过

程，能运用这两个判定定理证明两个三角形相似.

2.垢合全等三角形的SSS和SAS的证明方法，会用类比、转化的思想证明以上两个相似三角形的判定定

理.

3.通过对相似三角形两个判定定理的学习，会用已知条件证明三角形相似并解决一些简单的问题.

重点难点突破

★知识点1：相似三角形判定定理3：三边成比例的两个三角形相似.

★知识点2：相似三角形判定定理4：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.

核心知识

一、相似三角形判定定理3：三边___________的两个三角形相似.

二、相似三角形判定定理4：两边旦的两个三角形相似.

复习巩固

【提问1］简述相似三角形的概念？

【提问2］如何判断两个三角形是否相似呢？

【提问3】结合之前所学，判定两个一:角形全等有几种方法？

新知探究

【问题一】类比三角形全等的判定方法(SSS),我们能不能通过三边来判定两个三角形相似呢？

【动手操作】画△ABC和aDEF,使得差=左=m=匕度量这两个三角形的角，它们分别相等吗？你觉得

△ABC和aDEF相似吗？

【证明一】在AABC和△A'B'C'中，如果粤=段=空，求证：△ABCS/XA'B'C'.

典例分析

例I判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由.

【针对训练】

1.已知△48。的三边长分别是2,5,6,尸的三边长如以下四个选项所列，若要使△ABCsaQE凡则

△DEr的三边长分别是（）

A.3,6,7B.18,6,15C.3,8,9D.10,12,8

2.下列四个三角形中，与图中的三角形相似的是（）

新知探究

【问题三】类比三角形全等的判定方法（SAS）,我们能不能通过三边来判定两个三角形相似呢？

【动手操作】画AABC和ADEF,使得/B=NE,整=需=M量出它们的第三组对应边AC和DF的长，它们

D匕Er

的比等于k吗？你觉得△ABC和ADEF相似吗？

【问题二】改变k的大小，以上结论还成立吗？你发现了什么？

【证明二】在△ABC和△△'B'U中，如果NA-NA',"，求证；△ABCSZ^A'B'C'.

A，B，A，C，

【小组讨论】分别画4ABC和△0£得使得NB=NE,差=令，这样的两个三角形相似吗？

典例分析

例2如图，在AABC与4ADE中，ZBAC=ZI）,要使aABC与4ADE相似，还需满足下列条件中的（）

.ACABACBC「ACABACBC

A.——=——Bn.—=——C.—=—In).—=——

ADAEADDEADDEADAE

【针对训练】

1.如图，已知怨=丝，若使△ABCS^ADE成立（只添一种即可）.

ABAC

BE

2.如图，在aABC与△ADE中，/BAC=ND,要使△ABC与△ADE相似，还需满足下列条件中的（）

3.如图，点P在AABC的边AC上，要判断△ABPs^ACB,添加一个条件，不正确的是（）

A.ZABP=ZCB.ZAPB=ZABC

「APABABAC

C.­=-Dn.—=—

ABACBPCB

4.如图，每个小正方形的边长均为1,则下列图形中的三角形（阴影部分）与ZL4]B]G相似的是（）

例3如图，在AABC中，点D是AB上一点，且AI）=1,AB=3,AC=VI

求证：/XACDS/XABC.

【针对训练】

1.如图，AB・AE=AD・AC,且N1=N2,求证：AABC^AADE.

2.如图，在2XABC中，AB=6,AC=8,点D、E分别在线段AB、AC上，BD=2,CE=5,求证：AAED^AABC.

A

E

D

C

3.如图所示，在四边形ABCD中，CA是/BCD的角平分线，且AC?=CD•BC,求证：△ABCs/\DAC.

例4如图,D,E分别是△,晚的边AC,AB上的点'AEE.5,AO2,BO3,且枭=：,求DE的长.

课堂小结

1.通过本节课的学习，你学会了哪些知识？

2.简述判定两个三角形相似的方法？

【参考答案】

|新知探究|

【问题一】类比三角形全等的判定方法(SSS),我们能不能通过三边来判定两个三角形相似呢？

【动手操作】画△ABC和△0］下,使得黑=^=M=k,度量这两个三角形的角，它们分别相等吗？你觉得

△ABC和4DEF相似吗？相等、相似

D

ACBA=32.06°AB=6.43厘米ZDEF=32.06°DE=11.63厘米

厘米

ZS4C=45.27°8c=4.68厘米ZEDF=45.27°EF=8.47

/8C4=102.67°4c=3.50厘米ZEFD=102.67°。尸=6.32厘米

ABBCAC

宝=°553=。-55而=0.55

【问题二】改变k的大小，以上结论还成立吗？你发现了什么？

△ABC与4DEF相似

【证明一】在AABC和△A'B'C'中,如果篇=^=第,求证：△ABCs^A'B'C'.

证明：在线段AB（或它的延长线）上截取AD=A*B',过点D作DE//BC,交AC于点E,

根据前面的定理可得ZXABC^AADE嗡啜噫

..ABBCAC

•-----=--------=---------,AD=A'B',

A，B，

BC_JBC_AC_AC

DEB，C，'AE-A，C，

・・・AE=AC,DE=B'C

••.△ADEdA'B'C

.,.△ABC^A.-VB*C*.

典例分析

例l判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由.

好1曲图可知.

在△ABC中.AB>BC>CA

在△DEF中.DE>EF>FD

.DE_£FFD

*'”='BC^TA

：.△/W'S

【针对训练】

1.已知△力BC的三边长分别是2,5,6,△/）£1尸的三边长如以下四个选项所列，若要使△48C~ADEF,则

△DE尸的三边长分别是（B）

A.3,6,7B.18,6,15C.3,8,

2.下列四个三角形中，与图中的三角形相似的是（

新知探究

【问题三】类比三角形全等的判定方法（SAS）,我们能不能通过三边来判定两个三角形相似呢？

【动手操作】画4ABC和aDEF,使得NB=NE,黑=黑=k,量出它们的第三组对应边AC和DF的长,它们

DEEF

的比等于k吗？你觉得△ABC和ADEF相似吗？等于、相似

D

/C8A=25.27°48=9.9211米ED=14.19Jf*ZB4C=32.22:Z8CA=122.5Z'

“E0=25.27"8c=6.2711米£尸=8.97星米NEDF=3222"NEFD=122.52,

AC=5Q2|■米DFn7.18«*

ABBCAC

面=0.70苕=070-57=0.70

【问题二】改变k的大小，以上结论还成立吗？你发现了什么？

△ABC与ADEF相似

【证明二】在AABC和4A'B'C中，如果NA=ZA\普=空,求证：△ABCs/XA'B'C.

证明:在线段AB（或它的延长线）上截取AD=A*B，过点D作DE//BC,交AC于点E,

根据前面的定理可得AABCS^ADE二煞=装=需

ADAEDE

••ABACAF\Q，n，BCBCACAC

•=1♦AL）—AD.:・—=-----9—=---------

A®A/C/'DEB，OAEA心

•••AE=AC,DE=B'Cr而NA=NA'

/.△ADE^AA*B'C

:.AABC^AA*B'C'.

【小组讨论】分别画△ABC和△DEF,使得NB=NE,芸，这样的两个三角形相似吗？不一定相似

AD

ZCBA=31.90°AB=7.76厘米DE=8.60厘米

/FED=31.90°AC=4.22蜃米DF=4.67JI米

。斤=4.67厘米

ABACAC

立=0.90-^=0.90苏=0.90

典例分析

例2如图，在△ABC与AADE中，ZBAC=ZD,要使AABC与AADE相似，还需满足卜列条件中的（C）

.ACABACBCACABACBC

A.——=—nB.—=—C.—=——D.—=—

ADAEADDEADDEADAE

【针对训练】

1.如图，已知缘=登，若使△ABCs/XADE成立乙DAE二4BAC（只添一种即可）.

ABAC------------------

2.如图，在aABC与中，ZBAC=ZD,要使AABC与4ADE相似，还需满足下列条件中的（C）

.ACABACBC人ACAR.ACBC

A.—=—Bn.—=—C.—=—\r）.—=—

ADAEADDEADDEADAE

D

B

3.如图，点P在AABC的边AC上，要判断△ABPs/iACB,添加一个条件，不正确的是（D）

A.ZABP=ZCB.ZAPB=ZABC

「APABABAC

Dn.—=—

C•布=族BPCB

4.如图，每个小止方形的边长均为1,则卜列图形中的三角形（阴影部分）与』4为。］相似的是（B）

/X

例3如图，在AABC中，点D是AB上一点，且AI)=1,AB=3,AC=V3.

求证：△ACDS/\ABC.

证明：,•,AD=I,AB=3,AC=V3

AC_V3AD__1__V3

AC_AD又

AB-T*AC--TAB-ACVZA=Z.A

AACD