2026年浙江省苏教版高中数学第3章函数性质习题集

2026年浙江省苏教版高中数学第3章函数性质习题集一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=x^2-2x+1，则当x<0时，f(x)的表达式为（）A．x^2+2x+1B．-x^2-2x-1C．x^2-2x-1D．-x^2+2x-1解析：由奇函数性质f(-x)=-f(x)，当x>0时f(x)=x^2-2x+1，则x<0时f(x)=-f(-x)=-((-x)^2-2(-x)+1)=-(x^2+2x+1)，故选B。2.函数f(x)=|x-1|+|x+2|在区间[-3,3]上的最小值为（）A．1B．2C．3D．4解析：分段函数f(x)可化为：f(x)={3-x,x∈[-3,-2]{3,x∈[-2,1]{x+1,x∈[1,3]}在区间[-3,3]上，最小值为f(-2)=3，故选C。3.若函数f(x)=x^3+ax^2+bx+c在x=1处取得极值，且图象过点(0,1)，则a+b+c的值为（）A．-1B．0C．1D．2解析：由f'(1)=3+2a+b=0，f(0)=c=1，又f(x)在x=1处极值，需f''(1)=6+2a>0，解得a=-3，b=3，c=1，则a+b+c=-3+3+1=1，故选C。4.函数f(x)=ln(x^2+1)-ax在(0,+∞)上单调递减，则实数a的取值范围是（）A．a≥1B．a≤1C．a>1D．a<1解析：f'(x)=2x/(x^2+1)-a，由f(x)在(0,+∞)单调递减需f'(x)≤0恒成立，即2x/(x^2+1)≤a，当x→+∞时，2x/(x^2+1)→0，故a≥0，又当x=1时f'(1)=1-a≤0，得a≥1，故选A。5.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-2,3]上的零点个数为（）A．1B．2C．3D．4解析：f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)，令f'(x)=0得驻点x=0,2，f(-2)=-16，f(0)=2，f(2)=-4，f(3)=0，由零点定理，函数在[-2,3]上恰有3个零点，故选C。6.函数f(x)=e^x-ax在x=0处取得极值，则a的值为（）A．1B．2C．eD．e^2解析：f'(x)=e^x-a，由f(x)在x=0处极值需f'(0)=1-a=0，得a=1，验证f''(0)=e>0，故极值存在，a=1，故选A。7.函数f(x)=x^2lnx在x=1处的切线方程为（）A．y=x-1B．y=2x-2C．y=x+1D．y=2x+2解析：f'(x)=2xlnx+x，f'(1)=2，f(1)=0，切线方程为y-0=2(x-1)，即y=2x-2，故选B。8.若函数f(x)=x^3+px^2+qx+1在x=1和x=-1处取得相同的最小值，则p+q的值为（）A．-1B．0C．1D．2解析：f'(x)=3x^2+2px+q，由f(1)=f(-1)得1+p+q+1=(-1)+p-q+1，解得q=0，又f(x)在x=1处极小，需f'(1)=3+2p+q=0，得p=-3/2，则p+q=-3/2，故选A。9.函数f(x)=|x^3-2x|在区间[-2,2]上的极值点个数为（）A．2B．3C．4D．5解析：令g(x)=x^3-2x，g'(x)=3x^2-2，令g'(x)=0得驻点x=±√(2/3)，又g(-2)=-4，g(-√(2/3))=4√(2/3)，g(√(2/3))=-4√(2/3)，g(2)=4，故f(x)在[-2,2]上极值点为x=0,±√(2/3)，共3个，故选B。10.函数f(x)=sinx+cosx在[0,2π]上的最大值为（）A．√2B．1C．√3D．2解析：f(x)=√2sin(x+π/4)，当x=π/4或5π/4时取得最大值√2，故选A。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=x^2-4x+3在区间[1,4]上的最大值为______参考答案：5解析：f'(x)=2x-4，驻点x=2∈[1,4]，f(1)=0，f(2)=5，f(4)=7，最大值为f(4)=7。2.若函数f(x)=x^3+px^2+q在x=1处取得极大值，且f(0)=1，则p+q的值为______参考答案：-3解析：f'(1)=3+2p+q=0，f(0)=q=1，得p=-4，q=1，p+q=-3。3.函数f(x)=ln(1+x)-ax在x→+∞时趋于______参考答案：-∞解析：当x→+∞时，ln(1+x)→+∞，若a>0则f(x)→+∞，若a=0则f(x)→+∞，若a<0则f(x)→-∞，故a<0时趋于-∞。4.函数f(x)=x^3-3x^2+2在x=2处的曲率为______参考答案：1解析：f''(x)=6x-6，f''(2)=6，f'(2)=-2，曲率k=|f''(x)|/[(1+f'(x)^2)^(3/2)]=6/[1+(-2)^6]^(3/2)=1。5.函数f(x)=|x-1|+|x+2|在x=1处的左导数为______参考答案：3解析：f(x)=3-x,x∈(-∞,1)，f'(1-0)=lim(h→0-)(f(1+h)-f(1))/h=lim(h→0-)(3-(1+h)-2)/h=lim(h→0-)(-h)/h=-1，故左导数为3。6.若函数f(x)=x^3+px^2+q在x=1处取得极小值，且f(0)=1，则p______，q______参考答案：p=-3，q=1解析：f'(1)=3+2p=0，f(0)=q=1，得p=-3，q=1。7.函数f(x)=e^x-ax在x=0处取得极值，则a______参考答案：a=1解析：f'(0)=1-a=0，得a=1。8.函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-1,3]上的零点个数为______参考答案：3解析：f'(-1)=0，f'(-1)=-6，f(0)=2，f(1)=0，f(2)=-4，f(3)=0，由零点定理，零点为x=-1,1,3。9.函数f(x)=sinx+cosx在[0,π/2]上的最大值为______参考答案：√2解析：f(x)=√2sin(x+π/4)，当x=π/4时取得最大值√2。10.函数f(x)=x^2lnx在x=1处的切线方程为______参考答案：y=x-1解析：f'(1)=2，f(1)=0，切线方程为y-0=2(x-1)，即y=2x-2。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若函数f(x)在区间I上单调递增，则f(x)在I上处处可导。（×）解析：反例f(x)=|x|在(-1,1)上单调递增但x=0处不可导。2.函数f(x)=x^3-3x在x=0处取得极值。（×）解析：f'(0)=0但f''(0)=0，需f'''(0)≠0，此处f'''(0)=6≠0，故极值存在。3.若函数f(x)在x=c处取得极大值，则f'(c)=0。（×）解析：驻点处f'(c)=0，但拐点处f'(c)=0也可能无极值。4.函数f(x)=e^x在R上处处凹。（√）解析：f''(x)=e^x>0，故处处凹。5.函数f(x)=ln(1+x)在x=0处取得极小值。（√）解析：f'(0)=1/(1+0)=1>0，f''(0)=1/(1+0)^2=1>0，极小值存在。6.函数f(x)=|x|在x=0处可导。（×）解析：左导数-1≠右导数1，故不可导。7.函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-1,3]上至少有一个零点。（√）解析：f(-1)=-2，f(0)=2，由零点定理存在零点。8.函数f(x)=sinx+cosx在[0,2π]上的最大值为√2。（√）解析：f(x)=√2sin(x+π/4)，最大值为√2。9.函数f(x)=x^2lnx在x=1处的导数为1。（×）解析：f'(x)=2xlnx+x，f'(1)=2+1=3。10.函数f(x)=x^3-3x在x=1处取得极小值。（√）解析：f'(1)=0，f''(1)=-6<0，极小值存在。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.简述函数单调性的判定方法。答：若f'(x)≥0在区间I上恒成立，则f(x)在I上单调递增；若f'(x)≤0在区间I上恒成立，则f(x)在I上单调递减。需注意f'(x)=0的点不改变单调性。2.函数极值与最值的区别是什么？答：极值是局部性概念，仅与邻域内函数值比较；最值是全局性概念，是整个区间上的最大或最小值。最值可能为极值，也可能在端点取得。3.函数凹凸性的定义是什么？答：若f''(x)>0在区间I上恒成立，则f(x)在I上凹；若f''(x)<0在区间I上恒成立，则f(x)在I上凸。4.函数f(x)=x^3-px+q在x=1处取得极大值，且f(0)=1，求p,q的值。答：f'(1)=3-1+p=0，得p=-2；f(0)=q=1，故p=-2，q=1。5.函数f(x)=x^2lnx在x=1处的切线方程是什么？答：f'(x)=2xlnx+x，f'(1)=3，f(1)=0，切线方程为y=3(x-1)，即y=3x-3。6.函数f(x)=|x-1|+|x+2|在区间[-3,3]上的最大值和最小值分别是多少？答：分段函数f(x)={3-x,x∈[-3,-2]{3,x∈[-2,1]{x+1,x∈[1,3]}最大值为f(-3)=6，最小值为f(-2)=3。7.函数f(x)=e^x-ax在x=0处取得极值，求a的值。答：f'(0)=1-a=0，得a=1。8.函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-1,3]上的零点分布情况。答：f'(-1)=-6，f(0)=2，f(1)=0，f(2)=-4，f(3)=0，零点为x=-1,1,3。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.求函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-2,3]上的最大值和最小值。解：f'(x)=3x^2-6x，驻点x=0,2，f(-2)=-16，f(0)=2，f(2)=-4，f(3)=0，最大值为f(3)=0，最小值为f(-2)=-16。2.求函数f(x)=x^3-px+q在x=1处取得极小值，且f(0)=1，求p,q的值及极小值。解：f'(1)=3-1+p=0，得p=-2；f(0)=q=1，f''(1)=6-2p=10>0，极小值f(1)=1-1-1=-1，故p=-2，q=1，极小值-1。3.求函数f(x)=sinx+cosx在[0,π/2]上的最大值和最小值。解：f(x)=√2sin(x+π/4)，当x=π/4时取得最大值√2，f(0)=1，f(π/2)=1，最小值为1。4.求函数f(x)=x^2lnx在x=1处的切线方程及与x轴的交点。解：f'(x)=2xlnx+x，f'(1)=3，f(1)=0，切线方程为y=3(x-1)，即y=3x-3，与x轴交点为(1,0)。5.求函数f(x)=|x-1|+|x+2|在区间[-3,3]上的零点个数。解：分段函数f(x)={3-x,x∈[-3,-2]{3,x∈[-2,1]{x+1,x∈[1,3]}零点为x=-2,1,3，共3个。6.求函数f(x)=e^x-ax在x=0处取得极值，求a的值及极值类型。解：f'(0)=1-a=0，得a=1，f''(0)=1>0，极小值f(0)=1。7.求函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-1,3]上的零点分布情况。解：f'(-1)=-6，f(0)=2，f(1)=0，f(2)=-4，f(3)=0，零点为x=-1,1,3。8.求函数f(x)=ln(1+x)-ax在x→+∞时趋于正无穷、负无穷或有限值，求a的取值范围。解：当a>0时趋于-∞，a=0时趋于+∞，a<0时趋于+∞，故a<0时趋于负无穷。【标准答案及解析】一、单项选择题1.B2.C3.C4.A5.C6.A7.B8.A9.B10.A二、填空题1.52.-33.-∞4.15.36.-3,17.18.39.√210.x-1三、判断题1.×2.×3.×4.√5.√6.×7.√8.√9.×10.√四、简答题1.单调性判定：f'(x)≥0则