勾股定理 同步提升练习-2026-2027学年湘教版八年级数学下册

5.2.1勾股定理

刷基础

知识点勾股定理及简单应用

1在AABC中,NC=90。若44=M，则AB2+8c的值为（）

A.2B.4C.2&D.4V2

2如图所示，在数轴上点A所表示的数为a,则a的值为（）

-3-2-102

A.-y/S5.-1-v5

Cl-vSD.-l+vS

3如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形若正方形A,B,C.D

4如图，△ABC的顶点A,B,C均在由边长为1的小正方形组成的网格的格点（小正方形的顶点称为格点）上，

则AC边上的高为

.v5o8V5「方r\4V5

A-DB-CTD-

5如图，在^ABC中小8=10人©=13人口_18（：,垂足为D,M为AD上任意一点，则MC2-

6在RSABC4J.ZACB=90°,AB=10cm,AB边上的高为4cm则RsABC的周长为cm.

7如图，在RtAABC^,ZC=90°,ZCDB=30°,8。=晶。,且8C=/.求AB的长度

8学习勾股定理之后，同学们发现证明勾股定理有很多方法.某同学提出了一种证明勾股定理的方法：如图（1）,

点B是正方形ACDE的边CD上一点，连接AB,得到直角三角形ACB,三边分别为油©将4ACB裁剪拼接至△A

EF的位置，如图（2）所示,该同学利用图（I）、图（2）的面积不变证明了勾股定理请你写出用该方法证明勾股定理的

过程.

图（1）图（2）

刷易错

易错点没有明确已知边是哪条边而忽视分类讨论致错

9AABC的三边长分别是a,b,c,且满足口二十S-6）2=0,则当然时，△ABC是直角三角彩

刷提升

1如图.在长方形ABCD中,AB=3cm,AD=9cm,将此长方形折叠，使点D与点B重合，点C的对应点为C,

折痕为EF狈ikABE的面积为)

A.3cm2B.4cm2

C.6cni2D.12cm2

（第1题图）（第2题图）

2如图，阴影部分表示以直角三角形各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，已知加+§2=9,，且AC+BC=

10,则AB的长为（）

A.4B.6C.7D.8

3我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅弦图，后人称其为“赵爽弦图”弦图由四个全等的直角三

角形按如图所示方式围成正方形ABCD,然后分别过较长直角边的中点作垂线,围成面积为S的小正方形EFGH.

已知AM为RSABM较长的直角边，若AM=24EF,则正方形ABCD的面积为（）

A.I4SB.lISC.I2SD.13S

（第3题图）（第4题图）

4如图，在△ABC中CE平分NACB,CF平分/ACD,且EF〃BC交AC于点M.若CM=3,则。片十。尸的值为

5如图.等腰△ABC+,AB=AC,ZBAC=120°,^P在^ABC夕卜,连接AP.BP,CP.若PA=2,.P8=2侪,NBPA=60。,

则PC的长为.

A

(第6题图)

6如图在RSABC中,AC=3,BC=4,NACB=90。,点P.Q分别是边AB和BC上的动点.始终保持AP二BQ.连接A

Q.CPJJAQ+CP的最小值为.

7如图.已知△ABC中,NC=90\AC=8cm.BC=6cm,P.Q是4ABC边上的两个动点，点P从点A开始沿A-C方

向运动，且速度为1cm/s,点Q从点C开始沿C-B-A方向运动，且速度为2cm/s,它们同时出发,设运动的

时间为⑸

⑴当t=2时，求PQ的长.

(2)求运动几秒时,△APB是等腰三角形.

(3)当点Q在边BA上运动时，求能使^CBQ成为等腰三角形的运动时间.(直接写答案)

刷基础

1.B【解析】如图.EM8C是直角三角开"DC=90,AB=所以B^+AC^AB2,

力解=小了=2.所以8c2+4c2=/82=2,所以。AB2+BC2+AC1=AB:+AB2=2+2=4.^[^B.

2.B【解析】由勾股定理得40=百而"逐所以8力=8。=0.因为点B所表示的数为-1,且点A在点B的

左侧，圻以点A所表示的数方-1-优•故选B.

3.C

4.B【解析】根据题图可得S加c=3x4-；xix2-1X2X4-1X2X3=4^C=V?77=V5所以AC边上的高为匕粤

=,=g逐.故选B.

5.69【解析】因为AD_LBC,所以在RsABD中，BD^AB?-AD?,在RtAADC中.CD2=AC2-AD2^.RtA

BDM中，BMJBN+Mb2■在RtACDM41,MC2=CD2+MD2^XBM?=AB2-AD2+MD2.MC2=AC2-AD2+MD2^fi^

2222222

MC-yfB=（AC-AD+MD）-（AB-AD+M。?尸力2T）=[32.©=69故答案为69

6675+10【解析】如图，CD是AB边上的高.由勾股定理得.由三角形的面积公式可知g

ACQBC=C匚CO=20,所以2ACBC=80.所以（力。+8。）2=/。2-8（3+2力。180180.解得％C+BC=6两负值已

舍去），所以RtZkABC的周长为4C+8C+48=6v5+10.故答案为6仔H0.

7.【解】因为NC=90o,NCDB=30°,所以BD=2802vl所以CD=U_4c2=3.因为4D=所以AD=2,所

以AC=AD+CD=5,所以＜d+Bd;固=2

8.【证明】如图，连接BF.因为AC=b.所也方形ACDE的面积为b?.因为CD=DE=AC=b,EF=BC=a，所以BD

=CD-BC=b-a,DF=DE+EF=a+b.因为NCAE=9()。,所以NBAC+NBAE=90。.因为NBAC=NEAF,所以NEAF+NBAE

=90。，所以△BAF为等腰直角三角形，所以四边形ABDF的面积为疗+；0_a)Q+b)=1+(&-/).因为正方形

ACDE的面积与四边形ABDF的面积相等，所以Z?=1e2+所以“=/+/2_疗所以疗+疗=2所

以^+廿=研

刷易措

9.10或2#【解析】根据题意可得a-8=0,b-6=0.,解得a=8,b=6.所以当△ABC是直角三角形E寸,c2=a2+b2=62

+8?=100或c'a1-/=82-62=28,,所以c=10或2小

刷提升

1.C【解析】因为将长方形ABCD折叠,使点D与点B重合,所以BE=ED.因为AD=AE+DE=AE+BE=9cm,

所以.BE=(9-AE)cm.由勾股定埋可知AB2+AE2=BE2^32+AE2=(9~/康，所以.AE=4cm,所以.匚力夕碓J面积为

3x4+2=6(c〃*).古嬷C.

222

2.D【解析】由勾股定理，得力不+台不力公.因为$+S2=9,所以；/传)+；汴管)+#CD8C-》X(T)“=9,

所以ACBC=

18因为AC+BC=10,所以J^2=JC2+^C2=01C+8C)2-24C[8C=l()0—36=64.所以AB=8.故选D.

3.D【解析】如图,在图中标出P,Q.设AM=2a,BM=AQ二b,则AP=g<M=a,

所以AB=J4序+8宓=J(2a)2+/，=J4a2+〃2,所以正方形ABCD的面积为4a2+h2.

易得.EF=MQ-2PQ=(AM-AQ)-2(AP-AQ)=(2a-b)-2(a-b)=b.

因为AM=所以2a=266,

即方/6.因为小正方形EFGH的面积为S，所以属=S，所以正方形ABCD的面积为4a?+/,2=4(V3/>)2+62=13

/=13S故选D.

4.36【解析】因为CE平分口/1CB,CF平分NACD,所以DACE=[BCE=；CACB,QACF=CDCF=^UACD^

以ZECF=；(EMC8+□力CO)=90，所以△EFC为直角三角形.又因为EF〃BC,所以NECB=ZMEC=ZECM,Z

DCF二/CFMnNMCF.所以CM=EM二MF=3,所以EF=6.在RQECF中，由勾股定理可知(：?+(2产=£口=36.

5.6【解析】如图，把△ABP绕点A逆时针旋转120。得到△ACD.因为AB=AC,所以此时点B与点C重

合.连接PD过点A作AE_LPD于点E.由旋转得AD=AP=2、DC=PB=2水，匚P4D=120QC=NAPB=60。,所以NA

DE=ZAPE=30°,因为NAED=90。,所以力笈=；力。=1,所以DE二我方-心动因为AD=AP,AE_LPD.所以

(『+(何故答案为

PD=2DE=2/.因为NADC=6(r,NADE=30。,所以NPDC=90。,所以PC=VD^+DC1=]2622=6.

6.

6V34【解析】如图，作BM_LAB,使得BM=AC,连接MQ,AM.所以NABC+NCBM=90。.因为/ACB=90。.所以

AC=BM,

ZCAB+ZABC=90°,所以□C//4=Z1C8W.在「4C呼口匚4A/Q中，｛QCAP=3CBM,

AP=BQ,

所以.DJCPD口8“。(边角边)，所以CP=MQ,所以.AQ+CP=AQ+MQ,,所以A,Q,M三点共线时，AQ+MQ

的最小值为AM的长.因为.AC=3,BC=4,[JCB=90，所以J^=/1C24-J?C2=V32+42=5.

在,nJ^V/=90、BM=AC=3,

所以炉+加炉=%2+32=商所以AQ+CP的最小值为VR故答案为V34.

M

PQ=Jch+CG=

7.【解】⑴当t=2时，AP=t=2,CQ=2t=4,则CP二AC-AP=8・2=6.在放口。夕。中，由勾股定理得

%2+4?=2而，即当t=2