有理数的乘法与除法（知识清单）解析版

有理数的乘法与除法

口知识点一有理数的乘法

i.有理数乘法法则：

①两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积；

②任何数同o相乘，都得0;

③几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：负因数的个数是偶数时,

积是正数，负因数的个数是奇数时，积是负数。

2.有理数乘法运算律：

①乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换乘数的位置，积不变。

即：ab=ba(>

②乘法结合律：一般地，有理数乘法中，三个数把乘，先把前两个数相乘，或者先

把后两个数相乘，积不变。即：abc=(ab)c=a(bc)o

③乘法分配律：一般北，有理数乘法中，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数

分别与这两个数相乘，再把积相加。即：a(b+c)=ah+aco

□特别提醒

①当用字母表示乘数时，“X”号可以写为“•”或省略；

②在遇到多数相乘的时候，注意寻找乘数为“0”或者互为倒数的因数，往往会起到事

半功倍的效果。

□知识点二倒数

1.倒数：乘积是1的两个数互为倒数。

2.倒数的性质:

①倒数是成对出现的，单独一个数不能称为倒数;

②0没有倒数。

③互为倒数的两个数的乘积一定是1,即互为倒数，贝ljaxb=l；反之亦然。

3.求一个非零有理数的倒数，把它的分子和分母颠倒位置即可：

①非零整数可以看作分母为1的分数后再求倒数；

②带分数一定要先化成假分数之后再求倒数。

口特别提醒

①注意是乘积为1,要与相反数的概念区分开来；

②互为倒数的两个数的符号一定是相同的；

③倒数等于本身的数有：1、-1。

□知识点三有理数的除法

1.有理数除法法则1：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。即：Q+b=

三3手0).

2.有理数除法法则2：两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的

绝对值除以除数的绝对值的商。

3.0除以任何一个不等于0的数，都得0。

4.有理数的乘除混合运算：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结

果。

5.有理数的加减乘除混合运算：乘除混合运算要“从左到右”运算，有括号的先算

括号里面的，分数可以理解为分子除以分母。

6.有理数的和、差、积、商仍然是有理数。

易错点1多个非零数相乘，负因数个数判符失误

•错例：(-2)x(—3)x(—4)=24

•错因：数错负因数个数，三个负因数为奇数个，积应为负数，误判为正数

•规避方法：多个非零数相乘，逐一清点负因数个数，奇负偶正，先确定最终符

号，再计算所有数绝对值的乘积

易错点2混淆倒数与相反数概念

•错例：认为一2的倒数是2,3的倒数是一3

•错因：混淆核心定义，相反数是和为0、符号相反，倒数是乘积为1、符号相同

•规避方法：牢记定义：互为倒数=乘积为1、符号相同；互为相反数0和为0、符

号相反，严格区分二者

易错点3除法变乘法时，漏变除数为倒数

•错例：6^(-2)=6x(-2)=-12

•错因：违背除法法则，除以一个数等于乘它的倒数，误将除数直接相乘，未取倒

数

•规避方法：除法转乘法两步走：除号变乘号，除数变为自身倒数，被除数保持不

变

易错点4有理数混合运算违背从左到右运算顺序，随意结合

•错例：24+4X2=24+(4x2)=3

•错因：乘除同级运算无括号时，必须从左到右依次计算，不能随意加括号结合

•规避方法：同级乘除运算，无括号严格从左至右计算，如需简便运算，必须先统

一转化为乘法再分组

易错点5乘除混合运算符号遗漏、混乱

・错例：(-4)x2+(=-16

•错因：多个符号参与运算，漏判负号个数，符号判断错误

•规避方法：所有除法统一转为乘法后，数清负因数个数，按“奇负偶正”定符

号，再计算数值

题型一：有理数的乘法运算

□方法技巧

1.符号规则：同号得正，异号得负，任何数乘0得0；

2.多个数相乘：奇数个负数结果为负，偶数个负数结果为正，再乘绝对值；

3.简便运算：活用乘法交换律、结合律、分配律，优先凑整、约分；

4.特殊值：1乘任何数得原数，-1乘任何数得原数相反数。

I.(25-26九年级上•广东清远•期末)计算：(-2)x(-3)=()

A.-6B.6C.-5D.5

【答案】B

【分析1本题主要考查有理数的乘法，掌握其运算法则是关键，根据两个负数相乘，结果

为正数即可求解.

【详解】解：(-2)X(-3)=2x3=6,

故选:B.

2.计算：-4X(-2024)X(-0.25)=.

【答案】-2024

【分析】本题考查了有理数的乘法，熟练掌握有理数的乘法法则是解题的关键.

根据有理数的乘法法则即可求解.

(详解】解：-4x(-2024)x(-0.25)

1

=—4x2024x-

4

=-2024

故答案为:-2024.

3.计算：

(1)(-3)x^x(-|)x(-l)；

(2)(-5)x6x(_g)x

【答案】⑴-彳

O

(2)6

【分析】本题考查有理数的乘法法则，熟练掌握运算法则“多个有理数相乘，符号由负因数

个数决定，当负因数个数是奇数时，结果为负；当负因数个数是偶数时，结果为正”.

(1)根据有理数乘法法则求解即可；

(2)根据有理数乘法法则求解即可.

【详解】⑴解：(-3)x*x(-9、(一3

=-3x-x-x-；

654

9

二一不

(2)解：(-5)x6xx：

L/41

=5x6x-x-.

54

=6.

4.计算：(：一，+台乂(-36).

【答案】-18

【分析】利用有理数乘法分配律进行计算即可，注意不要漏乘，不要弄错符号.

【详解】解:原式=：x(―36)—亮x(—36)+3x(—36)

=-27+30-21

=-18.

题型二：有理数乘法的应用

口方法技巧

1.先定正负：增长、上升、收入为正，减少、下降、支出为负；

2.核心逻辑：单一变化量x变化次数/数量，列出乘法算式；

3.计算后结合实际场景解释结果含义。

1.(25-26七年级上•河南平顶山•期末)人体的血液的质量约占人体的7%至8%之间.已知

小红的体重为35kg,则她体内的血液质量可能为()

A.2kgB.2.4kgC.2.7kgD.3.1kg

【答案】C

【分析】本题考查了有理数的乘法运算的应用.分别计算35x7%与35x8%,即可知道小

红体内血液质量所处的范围，根据选项即可作出判断.

【详解】解：由题意知，小红体内血液质量位于35x7%=2.45(kg)至35x8%=2.8(kg)

之间，

由四个选项知，小红体内的血液质量可能为2.7kg；

故选：C.

2.某玩具商店周年店庆，全场八折促销，持会员卡可在促销活动的基础上再打六折.某电

动汽车原价300元，小明持会员卡购买这个电动汽车需要花元.

【答案】144

【分析】根据折扣的含义，先算出全场八折后的价格，再在此基础上算出持会员卡打六折

后的最终价格，通过乘法运算即可得到结果.

【详解】解：300x0.8x0.6=144（元）

答：小明持会员卡购买这个电动汽车需要花144元.

3.（25-26七年级上•黑龙江大庆♦期末）为节约用电，某市实行阶梯电价：每月用电不超过

180度,每度0.5元;超过180度,超出部分每度0.6元.

⑴小明家12月用电150度，应交电费多少元？

⑵小红家12月用电220度，应交电费多少元？

【答案】⑴75元

⑵114元

【分析】（1）因为150Vl80,所以利用每度0.5元进行计算即可;

（2）因为220>180,所以先计算180度电的静用，再计算超过180度电的留用.

【详解】（I）解：因为150Vl80,

所以应交电费150x0.5=75（元），

答：应交电费75元；

（2）解：因为220>180,

所以应交电费180x0.5+（220-180）x0.6=114（元）,

答：应交电费111元.

4.（25-26六年级上•山东烟台・期末）某食品厂计划每天生产100（）袋食品，实际每天生产

量与计划量相比有出入，下表是某周的生产情况（超产为正，减产为负）：

星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期FI

+50-30-60+110-90+80+90

（1）这周产量最多的一天比最少的一天多生产袋食品；

（2）已知本周生产的食品全部在本周售出，生产这些食品的总成本为30000元，食品售价为

8元/袋，且需缴纳本周销售总额10%的交易税，求本周的收益总额.

【答案】（1）200

（2）本周的收益总额为21480元

【分析】本题考查了正负数的意义，有理数的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的

关键.

（1）理解题意，找出这周产量最多的一天，这周产量最少的一天，再列式计算，即可作

答.

（2）先求出本周总产量，再结合食品售价为8元/袋，且需缴纳本周销售总额10%的交易

税，进行列式计算，即可作答.

【详解】（1）解：依题意，110-（-90）=200（袋），

・•・这周产量最多的一天比最少的一天多生产200袋食品；

（2）解：本周总产量为：1000x7+50-30-60+110-90+80+90=7150（袋）.

•・•食品售价为8元/袋，且需缴纳本周销售总额10%的交易税，

则7150x8x（1-10%）-30000=21480（元）.

因此本周的收益总额为21480元.

题型三：有理数的除法运算

□方法技巧

1.核心法则：同号得正，异号得负，除以一个不为0的数，等于乘它的倒数；

2.运算步骤：先定符号，再将除法转化为乘法，约分计算；

3.特殊规则：0除以任何非0数得0,0不能作为除数。

1.计算2+□得一4,则□是（）

A.2B.-3C.-D.--

22

【答案】D

【详解】解：2+2=1,2+（—3）=—32+；4,2+（—3=—4,

故口是-

2.口算：（—3）+（—；）=-

【答案】6

【详解】解：（-3）+（-今

=（一3）x（-2）

=6.

3.计算：（一15习+（-5）=.

【答案】31

【详解】解：(一15分+(-5)

=[-15+(-|)]x(-l)

=_15x(_l)+(_1)x(_l)

=34

=3上

7

4.(25-26六年级上.上海松江.期末)计算：仁-;W

【答案】

【分析】本题考杳了有理数的混合运算，先把除法化为乘法，再运用乘法运算律进行简便

运算，即可作答.

【详解】解：(I呻制

=(1-34

212312

=3XT_4X_5-

_89

———

55

1

=—.

5.(25・26七年级上.广西崇左•期末)计算:

⑴-若耳；

(2)(-8)-(-1.25)：

4

(3)-24-+(-R)；

(4)24

【答案】(1)-702

喈

(3培

(4)-248

【分析】本题考查有理数的除法运算：

（1）变除法为乘法，再约分化简即可；

（2）变小数为分数，再变除法为分数乘法，最后约分化简;

（3）变带分数为假分数，变除法为乘法，再约分化简即可;

（4）变带分数为假分数，变除法为乘法，再约分化简即可.

【详解】（1）解：一与1=?二一手X；=—702：

（2）解：（―8）+（―1.25）=8+?=8X'=

455

（3）解：-24-（-8）=――X-=—；

5V75810

（4）解：24：+（-.）=?x（-10）=-248.

题型四：有理数除法的应用

□方法技巧

1.适用场景：平均分、求单位量、求变化速率、均分差值；

2.核心公式：单位量=总变化量+数量/次数；

3.先定总量正负，再列式计算,最后解释实际意义,

1.甲跑100米用15秒，乙跑8U米用13秒，则甲的速度比乙的速度（）

A.快B.慢C.一样快D.无法判断

【答案】A

【分析】根据速度公式分别计算甲乙两人的速度，比较大小后即可得出结论.

【详解】解：•・・速度公式为〃=

・••甲的速度"甲=詈"6.67米/秒，

乙的速度«6.15米/秒.

V6.67>6.15,即叫乙,

，甲的速度比乙快.

2.（2026•黑龙江佳木斯•一模）龙东地区推进老旧小区改造，某小区计划铺设健身步道，若

甲工程队单独铺设需10天完成，乙工程队单独铺设需15天完成，两队合作铺设需

________天完成.

【答案】6

【详解】解：设工作总量为1,甲队效率为卷，乙队效率为*则两队合作效率为高+2=

1

£

故合作需1+：=6天.

3.某冷冻厂的一个冷库现在的温度是-2。&一批食品需要在-28久下冷冻保存，如果该冷

库每小时能降温4。口那么需要几小时才能降到这批食品所需的保存温度？

【答案】需要6.5h才能降到这批食品所需的保存温度

【分析】本题主要考查有理数除法的应用，解题的关键是理解题意；因此此题可根据题意

直接列式进行求解即可.

【详解】解：由撅煮得：［一2-（-28）］+4=26+4=6.5h：

答：需要6.5h才能降到这批食品所需的保存温度.

题型五：有理数的加减乘除混合运算

□方法技巧

1.运算顺序：先乘除，后加减；有括号先算括号内（小一中一大）；

2.同级运算：从左到右依次计算，不可跳步、乱序；

3.优先简便运算：合理使用运算律，约分、凑整简化计算。

1.计算：g+lSx（—七）得（）

【答案】B

【分析】根据有理数混合运算的法则求解即可;

【详解】解：原式=一卜.乂',

1

一-125,

2.计算：g.5+5+g

【答案】「

【分析】先将除法转化为乘法，分别算出两部分的结果后再相加即可得到最终答案.

【详解】解：标5+5甘

519

=9X5+5X5

1

=9+9

82

-V*

3.计算：［3.2+(：-§x4.81+1.8.

【答案】2

【详解】解：原式=(3.2+：x4.8-：x4.8)+1.8

=(3.2+3.6-3.2)+1.8

=3.6+1.8

=2.

4.计算：

⑴㈢+(-»(-/

⑵1+(2)Xa

⑶G+H5)X(-24)；

(4)12^+(-0.25)-(-4?+|-3-^|.

【答案】(1)一,

喈

(3)-19

(4)20

【分析】(1)根据有理数加减混合运算法则计算即可；

(2)先计算括号的减法，再从左到右计算乘除法即可;

(3)根据乘法分配律计算即可；

(4)根据有理数加减混合运算法则计算即可.

【详解】(1)解：J

121

=-------k-

632

143

=-------1--

666

2

=--

6

1

~~3：

⑵解：1W)x,

12

=1'8X5

2

=8x-

J

16

=T;

(3)解：Q+；+^X(-24)

\468/

113

=-x(-24)+-x(-24)+-x(-24)

46o

=—6—4—9

=-19：

(4)解：12|+(-0.25)-(-4；)4-|-3-；|

3111

=12---+4-+3-

4444

=20.

题型六：有理数加减乘除混合运算的应用

□方法技巧

1.通用步骤：定正负T梳理数量关系T列混合算式T规范计算T作答；

2.常见模型：分段计费、涨跌变化、总量均分、收支结余问题；

3.复杂问题拆分：先算乘除（倍数、均分），再算加减（累计变化）。

I.（25-26七年级上•河南洛阳•期末）最近几年，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其在我

国、新能源汽车产量都大幅增加.阳阳家把家中的燃油车换成了一辆新能源纯电汽车，他

连续7天记录了每天行驶的路程如下表，以50km为标准，多于50km的部分记为正，不足

50km的部分记为负，刚好50km的记为零.

第〃天1234567

路程/

-12-12-16-8-22-30-33

km

(1)这7天里第3天走的路程是_km,路程最多的一天比最少的一天多走_km；

(2)请求出阳阳家的新能源汽车这七天共行驶了多少km?

【答案】⑴34；25

⑵217km

【分析】(1)用表格中第3天对应的数加上50,可求出第3天走的路程；用表格中最大的

数减去最小的数，可求出路程最多的一天比最少的一天多走的路程；

(2)用表格中的数之和再加上50x7,可以求出这七天共行驶的路程.

【详解】(I)解：这7天里第3天走的路程是：

-16+50=34(km)；

最多的一天比最少的一天多走的路程为：

-8-(-33)=-8+33=25(km)；

(2)解：阳阳家的新能源汽车这七天共行驶的路程为：

50X7+[(-12)+(-12)+(-16)+(-8)4-(—22)+(-30)+(-33)]

=350+(-133)

=217(km).

答：阳阳家的新能源汽车这七天共行驶了217km.

2.(25-26七年级上•江苏扬州•期末)某种篮球的标准质量是600g,检查5个这种篮球的质

量，把超过标准质量的克数记作正数，不足的克数记作负数，检查结果如表：

篮球的编号12345

与标准质量的差(g)+4+7-3—8+10

(1)最接近标准质量的是号篮球;

(2)求这5个篮球的平均质量.

【答案】(1)3

⑵这5个篮球的平均质量为602g.

【分析】本题考查了绝对值、有理数四则运算的应用.

(1)根据超过标准质量的克数记作正数，不足的克数记作负数，绝对值最小的最接近标

准，可得最接近标准质量的球；

(2)先求出这5个篮球的总质量，再除以5即可求解.

【详解】(I)解：•••|+4|=4,|+7|=7,|-3|=3,|-8|=8,|+10|=10,3<4<7<

8<10,

••・3号篮球质量最接近标准质量，

故答案为:3；

(2)解:(600X5+4+7-3-8+10)+5=602(g)

答：这5个篮球的平均质量为602g.

3.(25-26七年级匕浙江宁波•期末)近年来，我国的新能源汽车产销最大幅增加.王老师

购置了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程(如下表).以40km为标

准，多于40km的记为“+”，不足40km的记为“一”，刚好40km的记为“0”.

第一天第二天第三天第四天第五天第六天第七天

路程/km-7-4+100-13+19+15

(1)这7天里路程最多的一天比最少的一天多行驶km.

⑵若该新能源汽车每行驶100km耗电量15度，每度电为0.56元，求王老师这7天开新能

源汽车的电费.

【答案】⑴32

(2)王老师这7天开新能源汽车的电费为25.2元

【分析】本题考查了正负数的应用、有理数减法的应用、有理数四则混合运算的应用，理

解题意，正确列出运算式子是解题关键.

(1)将表格中的最大数减去最小数即可得；

(2)先求出王老师这7天开新能源汽车行驶的总路程，再求出总耗电量，然后乘以每度电

的费用即可得.

【详解】(1)解：+19-(-13)=19+13=32(km),

所以这7天里路程最多的一天比最少的一天多行驶32km,

故答案为：32.

(2)解：[(-7-4+10+0-13+19+15)+40x7]-100x15x0.56

=(20+280)+100x15x0.56

=3004-100x15x0.56

=3x15x0.56

=25.2(元)，

答：王老师这7天开新能源汽车的电费为25.2元.

4.(25-26七年级上•广东汕头・期末)快递员王师傅骑电动车沿某条东西向道路配送快递，

约定向东为正方向.某天王师傅从快递站出发，当天配送快递的行程记录(单位：km)如

下：

-10,—3,+14,—2,—8,+6,-4,+12,+8,-5.

(1)王师傅最后所在的位置在快递站的哪个方向？距快递站多少千米处？

(2)如果电动车行驶1km耗电0.02度，那么这天电动车共耗电宓少度？

【答案】(I)王师傅最后所在的位置在快递站的东边，距快递站8km处

⑵这天电动车共耗电1.44度

【分析】本题主要考查了正负数的应用，有理数的加法的应用，绝对值的性质，

对于(1)，将各数相加根据有理数加法法则计算，并根据结果解答；

对于(2),求各数的绝对值，再相加，然后乘以每公里耗电量得出答案.

【详解】(1)解：-10+(-3)+(+14)+(-2)+(-8)-(+6)+(-4)+(+12)+(+8)+

(-5)=-10-3-2-8-4-5+14+6+12+8=-32+40=8.

答：王师傅最后所在的位置在快递站的东边，距快递站8km处；

(2)解：|-10|+|-3|+|+14|+|-2|+|-8|+|+6|+|-4|+|+12|+|+8|+|-5|=

10+3+14+2+8+6+4+12+8+5=72(km),

0.02x72=1.44(度).

答：这天电动车共耗电1.44度.

5.(25-26七年级上.陕西榆林•期末)某中学食堂一周计划采购大米350千克，平均每天采

购5()千克.实际每天采购量与计划量相比有出入，如表记录了上周的采购情况(超出计划

采购量为正，不足计划采购量为负，单位：千克)：

六

星期—二三四五FI

与计划量相比的差值+5-3-1+12-4+9-6

(1)采购量最多的一天比采购量最少的一天多采购千克；

(2)食堂与大米供应商签订每周采购协议，大米的基础采购成本为每千克4元.若实际采购

量超出计划采购量，超出部分食堂每千克可享受0.5元的优惠：若未完成计划采购量，不

足部分食堂每千克需多支付0.5元的违约金.该食堂上周采购大米的总费用是多少？

【答案】(1)18.

⑵1442元.

【分析】本题考查了正负数的应用，有理数四则运算的应用，解题的关键是正确理解题

意，熟练掌握有理数混合运算法则.

(1)计算采购量最多的一天与采购量最少的一天的差即可；

(2)根据题意求和，再进行计算即可.

【详解】(1)解：由题煮得，+12-(-6)=18(「克),

故答案为：18；

(2)解：50x7+(+5)+(―3)+(―1)+(+12)+(-4)+(+9)+(-6)=362(千克).

故上周实际采购量超出了计划采购量.

362x4-(362-350)x0.5=1442(元).

答：该食堂上周采购大米的总费用是1442元.

题型七：有理数运算中的新定义问题

口方法技巧

1.抓核心：严格照搬题目定义的运算规则，不套用常规运算规律；

2.代入步骤：找准对应字母、位置,将数值代入新公式；

3.按常规有理数混合运算顺序计算，分步解题，不跳步。

1.若定义新运算：a^b=-2ax3b,请利用此定义计算(1*2)*(-3)的值为()

A.116B.-11