天津市河北区2025-2026学年高一年级上册期中质量检测数学试题（解析版）

天津市河北区2025-2026学年高一上学期期中质量检测数学试题

一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.下列选项中描述正确的是（）

A.-n^RB.兵QC.V2GZD.-2WN

【答案】B

【解析】【解答】解：对于选项A：

因为-7TCR,而-7T是圆周率71（无理数）的相反数，仍为无理数，

但属于实数集R（实数包括所有有理数和无理数），

因此—兀GR,故A错误；

对于选项B：因为|GQ,

而Q表示有理数集，定义为可以表示为两个整数之比（分母非零）的数，

在夕，3和7均为整数，且分母非零，

因此属于有理数集，故B正确；

对于选项C：因为&EZ，

而Z表示整数集，包括正整数、负整数和零，V2«1.414是无理数，不是整数，

因此鱼CZ,故C错误；

对于选项D：因为一26N,

而N表示自然数集，在高中数学中通常定义为非负整数集（即0,1,2,3,...）,不包括负数，

因此-2CN,故D错误.

故答案为：B.

【分析】根据各符号表示的集合和元素与集合的关系，从而找出描述正确的选项.

2.若舆合力={0,1,2,3},B={1,2,4},则AnB=（）

A.{04,2,3,4}B.{0,3,4}C.{1,2,3,4}D.{112}

【答案】D

【解析】【解答】解：因为集合A={0,1,2,3}和B={1,2,4）,同时属于4和B的元素只有1和2,

所以4n8={1,2}.

故答案为：D.

【分析】利用交集的运算法则得出集合AdB.

3.设命题p:3n€N,n2>2n-f-5,则p的否定为（）

第1页

A.VnG/V,n2>2n+5B.Vn6/\i\n2<2n4-5

C.BnEN,n2<2n+5D.BnEN,n2=2n+5

【答案】B

【解析】【解答】解：因为命题p：3neN,n2>2n+5»

所以p的否定-ip：Vn€Nfn2<2n+5,

故答案为：B

【分析】由全称命题的否定是特称命题结合题意即可得出结果。

4.设/€R,贝广％<1”是>1”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】【解答】解：因为工=一1VI，但]=一1VI，所以\<1"是)>1”的不充分条件，

当]>1时，必要性满足，

故Z<1”是「的必要不充分条件.

故答案为：B.

【分析】根据已知条件和充分条件、必要条件的判断方法，从而找出正确的选项.

5.下列函数中/(x)与g(x)是同一函数的为()

A./(x)=|x|,Q[X)—B./(x)=y/x2+x，^(x)=Vx+1-y[x

C.=x,g(x)=(«)2D./(x)=x+2,g(x)=X^

【答案】A

【解析】【解答】解：对于选项A,对于/(x)=|x|,定义域为R,

对于9(%)=值，定义域为R，

因此/(乃和g(x)的定义域均为R，且对应关系相同，则两函数是同一函数，故A正确；

对于选项B,因为/•Q)=x/^1W，

由x2+x>0,解得x<一1或%>0,

则定义域为(一8,-1]U[0,+8).g(工)=Vx+1-

由x+1之。且无>0,贝I」%>0,

所以定义域为[0,+8).两者定义域不同，不是同一函数，故B错误；

第2页

对于选项C,对于/(%)=%,定义域为R,

对于9(%)=(々)2,定义域为［0,+8),

则两者定义域不同，不是同一函数，故C错误；

对于选项D,对于/'(x)=x+2,定义域为R,

对于9(%)=白，定义域为口|无±2},

则两者定义域不同，不是同一函数，故D错误.

故答案为：A.

【分析】要判断两个函数是否为同一函数，需满足两个条件：定义域相同且对应关系相同(即函数表达式等

价)，从而逐项判断找出同一函数的选项.

6.下列命题为真命题的是()

A.若Q>人则QC?>比2B.若Q<6<0,则Q2<Qb<庐

C.若c>Q>b>0,则旦D.若Q>b,i>i,则QVO,b<0

c—ac—bab

【答案】C

【解析】【解答】解：对于A：当c=0时，c2=0,

22

则ac=be=0,此时Q>b成立，

但a。？>be2不成立(因为0>0不成立).

因此，该命题不是真命题，故A错误；

对于B：取反例：设Q=—2,b=-1,满足QVbV0,

则/=(-2)2=4，ab=(-2)x(-1)=2,b2=(-1)2=1，

所以4<2<1不成立(实际4>2>1),

因此，该命题不是真命题，故B错误；

对于C：由c>a>b>0,得c—Q>0,c-b>0,Q-b>0,

a_b_a(c-b)-b(c-a)_ac-ab-bc+ab_c(a-b)

人c-a-c-b~~(c-a)(c-b)—~(c-a)(c-b)-(c-a)(c-by

又因为分子c(a-匕)>0(因为c>0,Q>b),分母(c-a)(c-b)>0(因为c>a,c>b),

则，——l>o,所以，一〉上,

c-ac-bc-ac-b

El此，该命题是真命题，故C正确；

对于D：取反例：设Q=1>0,b=-1<0,满足Q>8(因为1>一1),且工=1,1=-1,

aD

满足(因为1>一1),

但结论要求Q<0且bV0,而此处Q=1>0,不满足,

所以该命题不是真命题，故D错误.

第3页

故答案为：C.

【分析】利用不等式的基本性质结合举反例的方法，则判断出选项A、选项B和选项D；再利用作差法判断

出选项C,从而找出真命题的选项.

7.函数y=音的图象大致为()

【解析】【解答】解：对于C、D：曰函数y为偶函数，

则偶函数的图象关于y轴对称，故选项C、选项D错误；

由％->0时，yt-8,排除选项A；

当%>0时，y=是增函数，

'x

当％T0时，—8,可得yT-8;

X

当为->+8时、一可得yr+8,故B正确.

故答案为：B.

【分析】利用奇函数、偶函数的图象的对称性，则排除选项C和选项D；利用函数的单调性和函数的极限,

则判断选项A和选项B,从而找出函数的大致图象.

8.已知函数/(%)=忆/+2/0：+1在［-3,2］上的最大值为4,则实数k的值为()

A.-3B.-3或一|C.3或—称D.-3或得

【答案】D

【解析】【解答】解：当〃=0时.,/«=1,不符合题意；

所以，该函数为二次函数，顶点横坐标为％=一养=一1,

则二次函数的顶点位于％=-1,且在区间［-3,2］内(因为一34一142),

所以，顶点函数值为：/(-1)=/r(-1)2+2Zr(-1)+1=/r-2/r4-1=1-Zf.

则端点函数值为：f(-3)=k(-3产+2k(—3)+1=9k—6k+1=33+1,

第4页

/(2)=k(2)2+2k(2)+1=4k+4k+1=8k+1.

所以二次函数在闭区间上的最大值出现在端点或顶点处，

需根据k的符号分情况讨论：

情况1：k<0(抛物线开口向下)，此时顶点为最大值点，最大值在%=-1处：/(-I)=1-/c=4,

解得：—k=3=k=-3>

情况2：fc>0(抛物线开口向上)，此时顶点为最小值点，最大值在端点处，

比较端点值:/(-3)=3k+l,/(2)=8k+l,

因为k>0,所以8k>3k,则/(2)>/(-3),

所以，函数的最大值在％=2处：f(2)=8k+1=4,

解得：8k=3=k=号，

o

综上所述，满足条件的解为：k=-3或

O

故答案为：D.

【分析】利用分类讨论方法结合二次函数性质，再利用已知条件得出实数卜的值.

9.下列说法错误的是()

A.x+1(%>0)的最小值是2

急的最小值是企

B.

避+5

C./?"的最小俏是2

J/+4

D.2-3x--(x>0)的最大值是2-4V3

人

【答案】C

【解析]【解答】解：当》>0时，x+l>2x.i=2,当且仅当％=工时，即当x=l时取等号，故A正确;

x~y]xx

当%>0时，2-3x-^=2-(3%+^)<2-213%々=2-4百，

当且仅当3%=勺寸，即当％=学时取等号，故D正确；

X-+2/2In,r

因为凉G=J/+2,又因为/NO,

所以三一=JN+2N鱼,当且仅当x=0时取等号，故B正确;

W+2

,，-15◎-\-411/n.~7.1、

因为西’又因为‘2°'

第5页

所以环彳工2,土>°，

则儿送+4+1白>2,故c不正确.

卜2+4

故答案为：C.

【分析】利用均值不等式求最值的方法，则判断出选项A和选项D；利用二次函数求最值的方法，则判断出

选项B；先变形式子，再分析取值情况，则判断出选项C,从而找出说法错误的选项.

10.已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，且在区间[0,1)上单调递增，在区间[1,+8)上单调递减，/(2)=

0,则不等式好(-幻之0的解集为()

A.(-oo,-2]U[0,2]B.[-2,0]U[2,+oo)

C.(-oo,-2]U{0}U[2,+oo)D.[-2,2]

【答案】C

【解析】【解答】解:由题意可得：f(x)在(一8,—2),(0,2)上/(%)>0,在(一2,0),(2,+8)上/(工)<0,

fi/(-2)=/(0)=/(2)=0,

由%/(r)=-x/(x)>0,可得x/(x)<0,贝1」"法20或"a亍20，

则原不等式的解集为(—8,—2]U{0}U[2,+8).

故答案为：C.

【分析】由题意可得:/(%)在(一8,-2),(0,2)上/(外>0,在(一2,0),(2,+8)上/Xx)<0,且f(-2)=f(0)=

/(2)=0,不等式转化为WQ)<0求解即可.

二、填空题：本大题共5个小题，每空4分，共20分,答案填在题中横线上.

11.把集合4=(xEN\3<x<7}用列举法表示出来.

【答案】{4,5,6}

【解析】【解答】解：因为x€N且3Vx<7,

所以x的所有取值为4,5,6.

故答案为：{4,5,6}.

【分析】利用元素与集合的关系和x的取值范围，则用列举法把集合A表示出来.

12.函数/■(%)=下鼻=的定义域为_______.

V1一乙X

【答案】(一84)

【解析】【解答】解：函数/(Q=下£的定义域需要满足以下条件：

则平方根内的表达式非负：要求1-2k20,

又因为分母不为零：分母为田不，

因此41-2%=0,贝IJ1-2XH0,

第6页

解得%<i

故答案为：(―oo,i).

【分析】根据平方根内的表达式非负和分母不为零，从而列不等式组求解得出函数/'(》)=竟表的定义域.

13.不等式X2-5X+6<0的解集为.

【答案】｛xI2<x<3)

【解析】【解答】由%2-5%4-6<0,得(%-2)(x-3)<0,从而解得2cxV3,

所以，不等式%2-5%+6<0的解集为｛万2<x<3｝,

故答案为：｛R2VXV3｝.

【分析】根据一元二次不等式的解法，即可求得原不等式的解集.

14.若两个正实数x,y满足|+"=2,且x+2yN3m—2恒成立，则实数m的取值范围是.

【答案】(-8,2]

【解析】【解答】解：由x+2y=/(x+2y)仔+3=3(4+/？)村(4+29刁)=4,

当且仅当R冬时取等号，结合已知条件解得x=2,y=l,符合题意，

y人

所以(％+2y)mm=4,

因为“+2y23m-2恒成立，所以4>3m-2,

解得m<2.

故答案为：(—8,2].

【分析】先利用常数代换和基本不等式求最值的方法，从而得出(x+2y)m出，再根据不等式恒成立问题求解

方法，从而得出实数m的取值范围.

15.为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水，实行“阶梯水价计算方法如下表：

每户每月用水量水价

不超过12m3的部分37L/m3

超过12租3但不超过18m3的部分67t；/m3

超过18m3的部分9元的3

若某户居民本月交纳的水费为90元，则此户居民本月用水量为.

【答案】20m3

【解析】【解答】解：设用水量为％立方米，水价为y元，

3x,0<x<12

则y=36+6(x-12),12<x<18,

72+9(x-18),x>18

第7页

3x,0<%<12

整理得到：y=6x-36,12<%<18,

9x—90,x>18

当时，0<y<36；12<xW18时，36VyW72,

则某户居民本月交纳的水费为90元，

所以用水量大于18立方米，

令9%-90=90,则x=20（立方米）.

故答案为：20m3.

【分析】根据题中的条件可得水费与水价的关系式，再根据该关系式得出此户居民本月用水量.

三、解答题：本大题共4个小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16.已知全集（/=/?,集合4={%|-1W%W3},B={x\l-m<x<1+m],m>0.

（1）当m=1时，求4U8,4n（。/8）；

（2）若％EA是XE8的充分条件，求实数m的取值范围.

【答案】（1）解：当m=l时，B=（x\0<x<2].

因为/=（.r|—1<x<3},

所以4UB={%|-1WxW3}；

又因为Q8={x\x<。或%>2},

所以4n（Q/B）={x|-l<x<0或2<x<3}.

（2）解：因为X6A是的充分条件，

所以4G8,

（m>0

贝41-m<-1»

（1+m>3

解得m>2,

所以实数m的取值范围是[2,+8）.

【解析】【分析】（1）利用m的值得出集合B,再利用并集的运算法则、交集的运算法则和补集的运算法

则，从而得出集合AU8和集合An（Q8）.

（2）根据充分条件的判断方法得到集合的包含关系，再列出不等式组，从而求解得出实数m的取值范围.

（1）当?n=1时，B={x|0<%<2}.

因为4={0-1WxW3},

所以/lUB={x|-l4x43}；

因为Q8=（x\x<0或%>2},

所以4n（CuB）={x|-l<x<0或2VxW3}.

（2）因为XEA是％£8的充分条件，

所以AcB,

第8页

m>0

所以l-mW-l,解得mN2,

1+m>3

所以实数m的取值范围是［2,+8).

17.已知鼎函数/■(%)=(血2-血一5)/1+1,且函数在(0,+8)上单增

(1)函数/'CO的解析式；

(2)若/•(l—2a)Vf(2),求实数Q的取值范围.

【答案】(1)解：因为八%)=(租2一根一5次m+1为轼函数，

所以小？-TH-5=1,

解得m=3或m=-2,

当m=3时,/(%)=",在(0,+8)上单调递增，符合题意；

当?n=-2时，/(x)=%-1,在(0,+：»)上单调递减，不合题意，

所以/(%)=X4.

(2)解：因为f(x)=x3函数定义域为R,

又因为/(—%)=(―X)4=因=/(x).

所以函数为偶函数，在(一8,0)上单调递减，在(0,+8)匕单调递增，

13

-<Q<

22)

所以实数a的取值范围为(一4,|).

【解析】【分析】(I)利用幕函数为f(%)=(m2—m—5)%血+1得Jim2一酬—5=1,再由函数在(0,I8)上单

调递增，从而解出m的值，进而得出函数/(均的解析式.

(2)由函数的奇偶性和单调性，从而解不等式得出实数a的取值范围.

(1)/(%)=(m？-m-5)》巾+1为弃函数，则有m2一m-5=1,解得m=3或m=-2,

讥=3时，fM=x\在(0,+8)上单调递增，符合题意；

加=一2时，/(x)=%-1,在(0,+8)上单调递减，不合题意；

所以/(%)=x4.

(2)/(x)=x4,函数定义域为R,/(-X)=(一％)4=婷=/(%),

函数为偶函数，在(-8,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增，

若/(l—2a)V/(2),有一2V1-2QV2,解得一

所以实数Q的取值范围为(一1|).

18.已知函数f(x)=ax2+(a—1)r—1,xFR.

(1)当Q=1时，求不等式fG)23的解集;

第9页

(2)若函数/(x)在区间［0,1］上不单调，求实数a的取值范围；

(3)对任意实数x,不等式/(>)<-％+1恒成立，求实数a的取值范围.

【答案】(1)解：当Q=1时，/(%)=/一1,

又因为不等式/•3)>3,

则炉>4,

解得x<一2或%>2,

所以不等式/O)>3的解集为｛x|x<一2或%>2］.

(2)解：当Q=0时,/(%)=-%-1在区间［0,1］上单调递减，不符合题意;

当aW0时,函数/(%)=ax2+(a-l)x-1在区间［0,1］上不单调,

其对称轴需满足0<-噌<1,

2a

解得g<a<1,

综上所述，实数a的取值范围是G，l).

(3)解：因为不等式f(x)=a/+(a-1)%-1V-x+1恒成立，

所以不等式a/+a%-2<0恒成立，

当a=0时，-2<0恒成立；

当aH0时，要使Q/+8_2V0恒成立，

则需L2XQ,

M=a"+8QV0

解得一8<a<0,

综上所述，实数a的取值范围是(-8,0］.

【解析】【分析】(1)利用a的值得出函数的解析式，再利用一元二次不等式求解方法，从而得出不等式

/(X)>3的解集.

(2)根据二次函数的单调性和对称性，从而列不等式组求解得出实数a的取值范围.

(3)先分类讨论，再利用不等式恒成立问题求解方法和二次函数的图象，从而得出实数a的取值范围.

(1)(1)当a=1时，/(X)=x2-l,

不等式/(x)N3X2>4,

解得x<一2或x>2,

所以不等式/(x)>3的解集为｛x|x<-2或x>2｝.

(2)当〃=。时，f(Y)=-乂-1在区间［0,1］上单调递减，不符合题意；

当Q*。时，函数/(%)=ax2+(a-l)x-1在区间［0,1］上不单调,

第10页

a—1

其对称轴需满足0<<1，

2a

?<0

2a

即,解得；<a<1.

噌+1>0

2a

综上所述，实数a的取值范围是

(3)不等式/(%)=Q/+①一1)%-1<-%+1恒成立，即不等式QM+。工一2v0恒成立.

当a=。时，-2<0恒成立；

当a*0时，要使口产+a%_2<。恒成立，

则需｛4=#晨0，

解得一8<a<0.

综上所述，实数a的取值范围是(-8,0].

19.已知函数/(汽)=反一可一2+a,%e[1,4],aeR

(1)若a=4,写出函数/•(%)的单调区间，并证明其单调性；

(2)若函数/Xx)在[l,a]上单调，且存在勺€[1,。]，使/'(a)>一2成立，求实数a的取值范围:

(3)当Q6(1,4)时，函数/'(X)的最大值为M(a),求M(a)的解析式.

【答案】(1)解：当Q=4时,/■(%)=1%-4|--4-4=-%--+8»

XX

则函数f(x)的单调递增区间为[1,2],单调递减区间为(2,4].

证明如下：YK、,X2G[1,4]»且％1<%2,

44

则r(%i)-/(%2)=~xi一丁+8+冷+7—8

X1x2

_丫岭2-勺)_(%2一勺)(中2—4)

iyf一-不丁-一'

因为％1，X2G[1,4],且％1<X2,

所以-勺>0，X1X2>0,

当％1，x26[1,2]H4»X1X2<4,得/(%1)-/(%2)V。，即f(%l)Vf(%2)；

当％1，x2G(2,4]Ift,X]X2>4,得f3)-f(》2)>0,即f(Xi)>f(>2)，

所以fQ)在[1,2]上单调递增,在(2,4]上单调递减.

(2)解：当x£[l,Q],时，f(x)=—%