平面直角坐标系六大题型-人教版七年级数学下册

平面直角坐标系章末六大题型总结

【题型1坐标与点的移动规律探究】

【例1】(2023春•广东肇庆•七年级统考期中)如图，点,4在x轴正半轴及y轴正半轴上运动,

点/从原点出发，依次跳动至点4/俏〃、A2(l,0).A3(2,0),A4(0,2).A5(0,3)、A6(3,0).A7(4,0).

A8(0,4),......按此规律，则点4023的坐标是()

A.(0,1011)B.(1011,0)C.(0,1012)D.(1012,0)

【变式1-1](2023春•七年级统考期末)如图，己知((/1),&(2,-/),4(4,4)，，4式6,-4),

4(7,/),AA8,-/),%(/。，4)，4(/2,-4)……，按这样的规律,则点4023的坐标为()

A.(3032,-1)B.(3034,4)C.(3036,4)D.(3031,1)

【变式l・2】(2023春・北京西城•七年级北师大实验中学校考期中)如图，在平面直角坐标系中,

点力从4/(-40)依次跳动到42(-41)，4(一3,。，4(一3,0),4(-2,0)，4(一23),47(-7.3),

4(—/,0),Ag{-1,—3),A/o(O,—3),4〃(0,0),…，按此规律,则点42023的坐标为(

A.(2023,0)B.(805,6C.(804,/)D.(805,1)

【变式1-3］（2023春湖北孝感•七年级统考期末）如图，在平面直角坐标系上有点”（1,0）,

点4第一次跳动至点小（・1,1）,第二次向右跳动3个单位至点4（2,1）,第三次跳动至

点4（-2,2）,第四次向右跳动5个单位至点4（3,2）,……,依此规律跳动下去，点力

第2018次跳动至点420/8的坐标是.

【题型2坐标与图形变换规律探究】

【例2】（2023春•江西宜春•七年级统考期末）在如图所示的方格纸上（小正方形的边长均为1）,

△444,△444,△446&，…都是斜边在无轴上的等腰直角三角形，且它们的斜边长分

别为2,4,6…若△为44的顶点坐标分别为4（20），%（1,—1）,4（。，。），则依图中所示规

A.（/,-1013}B.C.（2,/0/2）D.［2,1010）

【变式2-1］（2023春呐蒙古鄂尔多斯•七年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，第一次

将△04B变换成△04/B/,第二次将△。4道/变换成40442，第三次将△O4B2变换成

△。4/，…，观察每次变换前后的三角形的变化规律，找出规律，推测8”的坐标分别

是（）

(2n,3),(2n+l,0)

【变式2-2](2023春•七年级课时练习)如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形。

的直角边OM。在%轴上，点场在第一象限，且OM°=/,以点场为直角顶点，OM/为一直角边

作等腰直角三角形。M/M?,再以点为直角顶点，0M?为直角边作等腰直角三角形OM2M.，…

依此规律则点“20/9的坐标是_.

【变式2・3】(2023春・全国•七年级期中)如图，在平面直角坐标系中，点小(1,0)、A2(3,

0)、A3(6,0)、A4(10,0)............以4M2为对角线作第一个正方形4cM2",以为

对角线作第二个正方形42c24历，以44,为对角线作第三个正方形43c……，顶点

【例3】(2023春•北京海淀•七年级人大附中校联考期中)在平面直角坐标系xOy中，对于点P,

给出如下定义：

点P的“第I类变换”：将点P向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度;

点P的“第II类变换将点P向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度.

⑴①点A的坐标为＜303对点A进行1次“第I类变换”后得到的点的坐标为

②点8为平面内一点，若对点3进行1次“第I类变换”后得到点心2),则对点笈进行1次“第H

类变换”后得到的点的坐标为:

(2)点。在x轴上，若对点。进行。次“第I类变换”，再进行6次“第II类变换”后，所得到的点

仍在工轴上，直接用等式表示。与〃的数量关系为;

⑶点P的坐标(-/。㈤，对点尸进行“第1类变换”和“第II类变换”共计20次后得到点Q,请

问是否存在一种上述两类变换的组合，使得点。恰好在y轴上？如果存在，请求出此时点。

的坐标；如果不存在，请说明理由.

【变式3/】(2023春・辽宁抚顺•七年级统考期末)对于平面直角坐标系xOy中的任意一点切,

给出如下定义：记Q=x+y,b=-y,将点M(Q,切与N自勾称为点P的一对“相伴点”.

例如：点取2,3)的一对“相伴点”是点(5,-3)与(一3,5).

⑴点Q(4,-〃的一对“相伴点”的坐标是与：

(2)若点4⑶刃的一对“相伴点”重合，则y的值为；

(3)若点B的一个“相伴点”的坐标为(-1,7),求点B的坐标.

【变式3・2】(2023春•北京海淀•七年级北理工附中校考期中)在平面直角坐标系xOy中，对于

任意一点P(%,y)的“绝对距离”,给出如下定义:若㈤>|y|,则点P的“绝对距离”为㈤；若忧|<

|y,则点。的“绝对距离''为|y|.例如：点P(-4,/),因为|-4|>|/|,所以点P(-4,/)的“绝对

距离”为|-4|=4.当点P(x,y)的“绝对距离”为2时，所有满足条件的点P组成的图形为()

【变式3・3】(2023春・浙江台州•七年级统考期末)定义：已知平面上两点4(孙力),8(%22)，

称d(4B)=\x,-x2\+1力-%1为4，8两点之间的折线距离.例如点M(2,-3)与点N(5,2)

之间的折线距离为d(MN)=|2-5|+|-3-2|=3+5=8.如图，已知平面直角坐标系中点

A(2/),B(—1,0).

(l)d(4B)=；

(2)过点8作直线/平行于y轴，求直线/上与点/的折线距离为5的点的坐标；

(3)已知点N(几n),且d(4N)<2,求〃的取值范围;

(4)已知平面上点尸与原点。的折线距离为3,即d(P,0)=3,直接写出所有满足条件的点夕

围成的图形面积.

【题型4坐标系中的动点问题探究】

【例4】(2023春•吉林•七年级统考期末)如图，四边形4BCD是长方形，边AB在%轴上，401x

轴.已知点4坐标为(2,0),点C坐标为(6,3).动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度

沿折线84-AD-OC向终点C运动，设点P的运动时间为%(s).

备用图

⑴点D坐标为_；

(2)连接PC,当直线PC将长方形4BCD的面积分为/:2的两部分时，求x的值;

(3)连接OP,0D,直接写出三角形0P0的面积为3时，点P的坐标.

【变式4-1](2023春•湖北襄阳•七年级统考期末)在平面直角坐标系中，点4(a,0).

〃、力满足|2。一8一9|+(Q+2/J-/2)2=0,连接

图1图2

⑴求出点4、8的坐标；

(2)如图1,点。是线段4B上一点，若4C=2BC,求点C坐标.小军想到：可连接OC,此时

将三角形04P分成两个小三角形，而三角形。AC的面积恰好是三角形04R的三分之一，从而

求出点。坐标.请你根据小军的思路写出求解点C坐标的过程；

⑶如图2,将线段AB先向下平移5个单位，再向左平移2个单位得到线段MN(点4的对应

点为M),线段MN与歹轴交于点P.点E(0,t)是y轴上一动点，当三角形MNE的面积小于3

时，请直接写出/的取值范围.

【变式4-2](2023春・吉林•七年级校联考期中)如图，在以点。为原点的平面直角坐标系中，

点4、8的坐标分别为(a,0)、(a,切，点。在y轴上，且BCIIx轴，〃、b满足|a—3|+VFK

=。，一动点。从原点出发，以每秒一动点。从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着。

一4一4一。一。的路线运动(回到点。时停止)

⑴直接写出点力、B、C的坐标;

（2）在点。运动的过程中，连接P。，若P。把四边形ABCO的面积分成/.・2两部分，求点。的

坐标；

（3）点夕运动，秒后化工0）,是否存在点。到x轴的距离为gt个单位长度的情况.若存在，求

点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

【变式4-3］（2023春•广东广州•七年级统考期末）已知点4（—2,。），8（0,-4）,C（-4,一6）,

过点。作x轴的平行线〃7,交y轴于点。，一动点P从C点出发，在直线加上以1个单位长

度/秒的速度向右运动，

⑴如图，当点P在第四象限时，连接。P,作射线OE平分乙4OP,过点。作。尸1OE.

①填空；若乙OPD=60°,则匕POF=；

乙OPD

②设Q=求a的值.

乙DOE’

⑵若与此同时，直线〃7以2个单位长度/秒的速度竖直向上运动，设运动时间为/秒，点尸的

坐标为（%,y）

①在坐标轴上是否存在满足条件的点尸，使得s△.尸=6,若存在，求出点尸的坐标；若不存

在，请说明理由；

②求x和y的关系式.

【题型5坐标系中角度之间的数量关系问题探究】

【例5】（2023春・广东潮州•七年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形A8C0为长

方形，其中点力，。坐标分别为（一4,2）,（/,-4）,且轴，交y轴于点/，4B交x轴于点

N

备用图

（1）直接写出a,。两点的坐标，并求出长方形/RCO的面积.

（2）一动点P从点4出发，以每秒T个单位长度的速度沿48边向3点运动，在0点的运动过

程中，连接MP,OP,试探究N4MP,乙MPO,"ON之间的数量关系（写出探究过程以及结

论）.

（3）在（2）的条件下，是否存在某一时刻3使得三角形AMP的面积等于长方形4BCD面积

的?若存在，求，的值以及此时点夕的坐标：若不存在，请说明理由.

【变式5-2X2023春・福建福州•七年级统考期末）如图1,在平面直角坐标系中，己知点5,-

〃，B（-3,2）,将线段A8平移至线段CD,使点4的对应点C恰好落在光轴的正半轴上，设点C

的坐标为化，勿，点B的对应点0在第一象限.

(1)求点0的坐标(用含A的式子表示)；

(2)连接BO,BC.如图2,若三角形BCO的面积为8,求k的值；

(3)连接AD,如图3,分别作/ABC和44DC的平分线，交于点P,试探究ZBCO和4BPO

之间的等量关系，并说明理由.

【变式5-3](2023春・重庆江津•七年级重庆市江津中学校校考期中)如图1,以宜角△4OC的

直角顶点。为原点，以OC,04所在直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系，点4(0,Q),

⑴求力点，。点的坐标；

(2)如图1,坐标轴上有两动点P、。同时出发，点尸从点C出发沿x轴负方向以每秒2个单

位长度的速度匀速运动，点。从点O出发沿y轴正方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动,

当点P到达点。整个运动随之结束；线段4c的中点。的坐标是。(4,3),设运动时间为/

秒.是否存在/,使得三角形△Q。。与△Q。。的面积相等？若存在，求出]的值；若不存在,

说明理由；

(3)如图2,在(2)的条件下，若乙DOC=NDC。，点G是第二象限中一点，并且OA平分W0G,

点E是线段OA上一动点，连接CE交OD于点H,当点E在上运动的过程中，探究ND0G,

乙OHC，乙4CE之间的数量关系，并说明理由.

【题型6坐标系中图形问题探究】

【例6】（2023春•辽宁大连•七年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形0A8C为边

长为8的正方形，点。为OA的中点，点E在AB上，且点Pg列是线段CD和DE

上的动点，点Q任，川是线段CE上的动点，连接PQ.

⑴求三角形4DE和三角形。CD的面积；

（2）用等式表示m与x之间的数量关系；

⑶直接写出线段PQ的长等于3时，点。的坐标.

【变式6-1］（2023春•辽宁大连•七年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，第一象限内矩

形||y轴，点0〃,〃，点B包切，满足+g—3|=0.

九

4-

3-

2-

1-D

_______11111»

.5-4-3-2-1O12345x

-1-

⑴求〃、b的值;

⑵求矩形/BCD的面积；

(3)矩形48co以每秒1个单位长度的速度向左平移，设运动时间为/秒，矩形力BCD在y轴右

侧部分面积为S.

①当t=4时，点C的坐标为；

②用含/的代数式表示在运动过程中的S,并直接写出/的取值范围.

【变式6-2](2023春•北京西城•七年级期末)在单位长度为1的正方形网格中，如果一个凸四

边形的顶点都是网格线交点，我们称其为格点凸四边形.如图，在平面直角坐标系％0y中，

矩形。RST的四个顶点分别为。(。,0),R(0,5),T(8,0),S(8,5).已知点E(2,4),F(0,3),G(4,2).若

点P在矩形0RS7的内部，以P,E,F,G四点为顶点的格点凸四边形的面积为6,所有符合题

意的点P的坐标为.

【变式6・3】(2023春・江西南昌•七年级江西师范大学附属外国语学校校考期中)如图，在平面

直角坐标系中，已知B(b,O),其中a、b满足疝—3尸=0.

(l'\a=.b=.

(2)如图，已知点M/—2,-2),P为坐标轴上一点，且△BMP的面积与△4BM的面积相等，求

出点P的坐标.

(3)如图，作长方形/BCD,点C的纵坐标为y,且点C在第四象限，点;F在40上，且△BE尸的面

积为5,△OCF的面积为8,则、=.

平面直角坐标系章末六大题型总结(拔尖篇)

【题型1坐标与点的移动规律探究】

【例1】(2023春・广东肇庆•七年级统考期中)如图，点,4在x轴正半轴及〉轴正半轴上运动,

点4从原点出发，依次跳动至点4/俏小A2(l.0).A3(2fi).A©2)、A5(0,3).A6(3,0).A7(4,0).

A8(0,4),......按此规律，则点4023的坐标是()

A.(0,1011)B.(1011,0)C.(0,1012)D.(1012,0)

【答案】D

【分析】根据已知点的坐标特征，将连续的4个点看成一组，由第1组，第2组确定组内点的

位置特征、点坐标与组序数的联系；以此类推，2023=4x505+3,故点4023是第506组的

第3个点，则”。23在一轴上，其非零坐标即横坐标为2x506=70/2.

【详解】解：根据题意，将连续的4个点/看成一组，

第1组：4(0,1),4(1，0),4(2,0),4(0,2),其位置分别为y轴、x轴、x轴、y轴，前

两个点的非零坐标为1,后两个点的非零坐标为2；其中，/=2x/-/,2=2x7；

第2组：4。3),4(3,0),NT(4,0),4(0,4),其位置分别为y轴、x轴、x轴、y轴，前

两个点的非零坐标为3,后两个点的非零坐标为4；其中，3=2x2-1,4=2x2；

以此类推，2023=4x505+3,

则点4023是第506组的第3个点，则4023在x轴上，其非零坐标即横坐标为2x506=/0/2,

故点4023的坐标是〃。/2,仞；

故选：D.

【点睛】本题考查规律探索，根据已知的点坐标，对点分组找出规律是解题的关键.

【变式1・1】(2023春•七年级统考期末)如图，已知/(/./),A2(2f-/),4(4,4)，446,-4),

4(7,1),-/)，力(/。，4)，4(/2,-4)……，按这洋的规律，则点4023的坐标为()

A.(3032,-/)B.(3034,4)C.(3036,4)D.(3031,1)

【答案】B

【分析】先找到点的规律，然后计算解题即可.

【详解】由题可知，每四个点纵坐标重复一次，横坐标向左平移6个单位长度，

：.2023^4=505-3,

则心。23的横坐标为：505x6+4=3034,纵坐标为4,

故选B.

【点睛】本题考查坐标的规律问题，解题的关键是找到点的坐标规律.

【变式1・2】(2023春•北京西城•七年级北师大实验中学校考期中)如图，在平面直角坐标系中,

点4从乙(一4,0)依次跳动到4(一4J),4(一3/),点(-3,0),A式-2,0),4(一2,3),人(一43)，

41，0)，&(一/,-3),A/o(O,—3),4〃(0,0),…,按此规律,则点“2023的坐标为()

A.(2023,0)B.(805,0)C.(804,/)D.(805,1)

【答案】D

【分析】由图可知，/。个坐标为一循环，因此判断4。23对应的坐标是4(-3,/),那么纵坐标

为/,横坐标每多一个循环则大4,可算出横坐标为805,然后直接求解即可.

【详解】•；2023+10=202......3

・・・4023对应的坐标为力式-3,/)

・・・42023横坐标为一3十2。2x4=805

:《2023（805,1）

故选：D

【点睛】此题考查点坐标的规律探究，解题关键是找到循环然后直接求解.

【变式1-3］（2023春•湖北孝感•七年级统考期末）如图，在平面直角坐标系上有点力（1,0）,

点/第一次跳动至点4（-1,1）,第二次向右跳动3个单位至点4（2,1）,第三次跳动至

点43（-2,2）,笫四次向右跳动5个单位至点4（3,2）,……，依此规律跳动下去，点力

第2018次跳动至点420/8的坐标是.

【分析】观察所给图形，不难得到第偶数次跳动至点的横坐标是跳的次数的一半加上1,纵坐

标是跳的次数的一半；由此可得规律：第2〃次跳动至点4〃的坐标是5+1，〃），进而求出点

J2018的坐标.

【详解】解：观察发现可知：

第2次跳动至点儿的坐标是（2,1）,

第4次跳动至点4的坐标是（3,2）,

第6次跳动至点4的坐标是（4,3）,

第8次跳动至点4的坐标是（5,4）,

则第2〃次跳动至点儿〃的坐标是（〃+1,〃），

故第2018次跳动至点的坐标是（1010,1009）.

故答案为（1010,1009）.

【点睛】本题考查了点的坐标规律，解题在关键在于明确偶数次跳动的点的横坐标、纵坐标与

跳动次数的关系.

【题型2坐标与图形变换规律探究】

【例21（2023春•江西宜春•七年级统考期末）在如图所示的方格纸上（小正方形的边长均为1）,

△444,△444,△A4A%…都是斜边在工轴上的等腰直角三角形，且它们的斜边长分

别为2,4,6…若△444的顶点坐标分别为4（2,。），，42（/,-/）,4（。，。），则依图中所示规

律，力2022的坐标为（）

A.（/,一/0/3）B.{1,-1011}C.（2/0/2）D.（2,/0/0）

【答案】B

【分析】根据题意发现规律：当下标是2、6、10…时，横坐标为1,纵坐标为下标的一半的相

反数；当下标是4、8、12…时，横坐标是2,纵坐标为下标的一半，据此即可得到答案.

【详解】解：・・•图中的各三角形都是等腰直角三角形，

・••各等腰直角三角形的直角顶点的纵坐标的绝对值为斜边的一半，

・・・42（/，-。、4（22）,4（/，-3）,4（2,4）,4/0（L一5）,A〃（2,6）

当下标为偶数时的点的坐标规律如下：

当下标是2、6、10…时，横坐标为1,纵坐标为下标的一半的相反数，

当下标是4、8、12…时，横坐标是2,纵坐标为下标的一半，

・・•每四个字母为一组，

2022+4=505....2,

点a022在第一象限，横坐标为1，

纵坐标是2022+2=1011,

:-22（1，-1011）,

故选：B.

【点睛】本题主要考查了点的坐标变化规律，根据坐标正确得到规律是解题关键.

【变式2・1】（2023春•内蒙古鄂尔多斯•七年级统考期末）如图,在平面育角坐标系中.第一次

将△CMB变换成△04/8/,第二次将△04声/变换成△。小处，第三次将△O&Bz变换成

△04巳，…，观察每次变换前后的三角形的变化规律，找出规律，推测4、的坐标分别

是()

A.(n,3),(n2,0)B.(n,3).(2n,0)C.(2n,3),(2n,0)D.(2n,3),(2n+,,0)

【答案】D

【分析】根据图中各点的坐标的变化，依次写出4,4,…，….再根据点的坐标

变化的特点写出4、&的坐标即可.

【详解】解：•••4/2,3),4(22,3)，4优3),…，

•••W，3)；

3

,：B1(22,0),B2(2,0),B3(24,0),…,

・•・B/2叫0)；

故选：D.

【点睛】此题考查了坐标与图形的变化，正确写出前几个点的坐标、找出坐标变化的规律是解

答此题的关键.

【变式2・2】(2023春•七年级课时练习)如图，在平面直角坐标系中，等腰直用三角形

的直角边0M。在x轴上，点M/在第一象限，月.0M0=/,以点M/为直角顶点，0M/为一直角边

作等腰直角三角形。M/Mz，再以点“2为直角顶点，为直角边作等腰直角三角形OM2M…

依此规律则点M20/9的坐标是

【答案】(-2加22切夕)

【分析】本题点M坐标变化规律要分别从旋转次数与点M所在象限或坐标轴、点M到原点

的距离与旋转次数的对应关系.

【详解】由已知，点M每次旋转转动45。，则转动一周需转动8次，每次转动点M到原点的

距离变为转动前的走倍

72019=252x8+3

・••点M20/9的在第二象限的角平分线上，

・,•点％。"的坐标为(-22嗯220"),

故答案为：(一22。？22吟.

【点睛】本题是平面直角坐标系下的规律探究题，除了研究动点变化的相关数据规律，还应该

注意象限符号.

【变式2-3](2023春・全国•七年级期中)如图，在平面直角坐标系中，点4(1,Q)、A2(3,

0)、A3(6,0)、A4(10,0)......以为对角线作第一个正方形4a以一出为

对角线作第二个正方形42c2人&,以44,为对角线作第三个正方形小C4&.....顶点

囱，心,Bs……都在第一象限，按照此规律依次下去，则点3〃的坐标为—.

【答案】/学,*)

【分析】利用图形分别得出8点横坐标处，巳，灯…的横坐标分别为：ppT…，点区

的横坐标为：学，再利用纵坐标变化规律进而得出答案.

【详解】解：分别过点3八比，处,作々01%轴.B/lx轴，8.#1%轴干点D,E,F,

・・・,4/2=3-/=2,A,D=；,OD=2,B/D=AID=/,

可得出B/2,〃，

•A2(3.())^

?3?o

AA3A2=6-3=3,EB2=pB2E=E/l2=p0E=6-：=j

可得叫《，7

同理可得出：B3(8,2),B戊,

；8/,B2,…的横坐标分别为：3,g,-7,-7...»

・•・点斗的横坐标为：吟，

■：BI,B2,…的纵坐标分别为：1,ppp...»

.,•点治的纵坐标为：1•，

・・・点名的坐标为〃8,3%点B戊的坐标为：/竺二，三勺.

【点睛】此题主要考查了点的坐标规律，培养学生观察和归纳能力，从所给的数据和图形中寻

求规律分别得出B点横纵坐标的规律是解答本题的关键.

【题型3坐标系中的新定义问题探究】

［例3)(2023春•北京海淀•七年级人大附中校联考期中)在平面直角坐标系xOy中，对于点P,

给出如下定义：

点尸的“第I类变换”：将点尸向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度；

点尸的“第II类变换''：将点尸向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度.

⑴①点力的坐标为〈3,01,对点4进行1次“第1类变换”后得到的点的坐标为;

②点B为平面内一点，若对点8进行1次“第I类变换”后得到点心2),则对点B进行1次“第II

类变换”后得到的点的坐标为;

⑵点。在；V轴上，若对点C进行。次“第I类变换”，再进行〃次“第H类变换”后，所得到的点

仍在x轴上，直接用等式表示。与力的数量关系为;

(3)点尸的坐标(-/0㈤，对点夕进行“第1类变换”和“第II类变换”共计20次后得到点0,请

问是否存在一种上述两类变换的组合，使得点0恰好在y轴上？如果存在，请求出此时点0

的坐标；如果不存在，请说明理由.

【答案】⑴①亿2)；②(4,一1)

(2)2Q=b

⑶不存在，理由见解析

【分析】(1)①利用点P的“第I类变换”的定义，可求解；②利用点P的“第I类变换”的定义和点

P的“第H类变换”的定义，可求解；

(2)利用点P的“第I类变换”的定义和点P的“第II类变换”的定义列出方程可求解；

(3)利用点P的“第I类变换”的定义和点P的“第H类变换”的定义列出方程nJ求解.

【详解】(1)解：①•••点4的坐标为(3,0),

・・・点A进行1次“第I类变换”后得到的点的坐标(2,2),

故答案为：亿2)；

②♦，点8进行1次“第I类变换”后得到点(0,2),

•••点B坐标为〃，0，

•・•点B进行1次“第II类变换”后得到的点的坐标为陷-〃，

故答案为：(4,一〃；

(2)设点C(c,0),

•・•点c进行Q次“第I类变换”，再进行b次“第n类变换”后，所得到的点仍在X轴上，

・•・0+2a—Ixb=0,

•••2a=by

故答案为：2a=b；

(3)不存在，理由如下：

设经过m次“第I类变换”，经过(20-啊次“第II类变换”，使得点Q恰好在y轴上，

•・•点P的坐标/0,3),对点P进行“第1类变换”和“第II类变换快计20次后得到点Q,点:Q恰

好在y轴上，

10-1xm+3(20-m)=0,

・・・m为非负整数,

••・瓶=^不合题意舍去，

・•・不存在一种上述两类变换的组合，使得点Q恰好在y轴上.

【点睛】本题是平移变换综合题，理解点P的“第I类变换”的定义和点P的“第II类变换”的定义是

解题的关键.

【变式3・1】(2023春・辽宁抚顺•七年级统考期末)对于平面直角坐标系xOy中的任意一点y,

给出如下定义：记。=%+/，b=-y,将点M包勿与称为点P的一对“相伴点”.

例如：点P(2,3)的一对“相伴点”是点(5,-3)与(一3,5).

⑴点Q(4,-〃的一对“相伴点”的坐标是与：

(2)若点力⑶刃的一对“相伴点，重合，则y的值为；

⑶若点B的一个相伴点”的坐标为(-/力，求点B的坐标.

【答案】⑴〃㈤，(3,〃；

(2)-4；

(3)(6,-7)^(6.1).

【分析】(1)根据新定义求出a,b,即可得出结论；

(2)根据新定义，求出点A的一对“相伴点”，进而得出结论；

(3)设出点B的坐标，根据新定义，建立方程组，即可得出结论.

【详解】(1)•••Q(4,-〃，

：・a,=4+(—1)=3,b=—(-1)=1,

.•点Q(4,—〃的一对“相伴点”的坐标是〃,3)与(3,〃，

故答案为：〃,3),(3,〃；

(2)•:点A(8,y),

・•・Q=8+y,b=—y,

・•・点A⑶历的一对“相伴点”的坐标是(8+y,-y)^\(-y,8+刃，

•・•点4母仞的一对“相伴点”重合，

•••8+y=­y,

...y=-4,

故答案为：-4；

(3)设点刃.

•・•点8的一个“相伴点”的坐标为(一1,7),

.•・『？；/或仁];，

.-.[x=6<=f,

(y=-7{y=1

・••3(6,-〃或(6,〃.

【点睛】此题主要考查了新定义，解方程组，解方程，理解和应用新定义是解本题的关键.

【变式3-2](2023春・北京海淀•七年级北理工附中校考期中)在平面直角坐标系xOy中，对于

任意一点P(%,y)的“绝对距离”,给出如下定义：若以|>|y|,则点P的“绝对距离”为田；若|川<

lyl，则点P的“绝对距离"为|y|.例如：点P(-4/),因为|一4|>|/|,所以点P(-")的"绝对

距离"为|-4|=4.当点P(x,y)的“绝对距离”为2时，所有满足条件的点P组成的图形为()

【答案】D

【分析】根据点P(%,y)的“绝对距离”为2,可知|%|=2,lyl42或仪|=2,|%|<2,即可确定

点P组成的图形.

【详解】解：•・•点PQ,y)的“绝对距离”为2,

**.|x|=2,|y|W2或|y|=2,\x\<2,

即时，时，时，

x=2-24y42,%=-2-2WyW2,y=2-2<x<2,y=-2f-2<x<2f

即可确定点P组成的图形为图D中的正方形，

故选：D.

【点睛】本题考查了点的坐标，新定义，理解新定义是解题的关键.

【变式3-3](2023春・浙江台州•七年级统考期末)定义：已知平面上两点4(孙力),8(心,力)，

称d(A,B)=\xj-x2\+|力一力1为力，8两点之间的折线距离.例如点M(2,-3)与点N(5,2)

之间的折线距离为d(M,N)=|2-5|+|-3-2|=3+5=8.如图，己知平面直角坐标系中点

4(2,/),B(T,0).

⑴d(48)=；

⑵过点B作直线/平行于歹轴，求直线/上与点A的折线距离为5的点的坐标；

(3)已知点N(几几)，且d(4N)<2,求〃的取值范围；

(4)已知平面上点。与原点。的折线距离为3,即d(P,O)=3,直接写出所有满足条件的点P

围成的图形面积.

【答案】(1)4

(2)(-7,一/)或(一/,3)

由<n<|

(4)18

【分析】(1)根据折线距离的定义进行求解即可；

(2)根据题意可得直线/上的点的横坐标都为-/,设点K(-/,。是直线上与点力的折线距离

为5的点，则d(A,K)=|t-J|+3=5,据此求解即可：

(3)由题意可得|几-2|+|71-/|<2,然后去绝对值解不等式即可；

(4)设P(居y),则|x—0|+|y-0|=3,由此去绝对值得到x、y的关系式即可确定围成的区

域图形，进而求出对应的面积即可.

【详解】(1)解：由题意得，d(A,H)=\-1-2\+\0-1\=|-3|+|—/|=3+/=4,

故答案为；4；

(2)解：・・•直线/平行于y轴，8(-/,0),

・・・直线/上的点的横坐标都为-/,

设点K(-/,。是直线上与点力的折线距离为5的点，

：.d(A,K)=|-7-2\+\t-1\=|-3|+|£—/|=|£-力+3=5,

*•*1111=2,

t—1—2或t—/=-2,

.*.t=3或t=-1,

・••点K的坐标为(一/,一/)或(一/,3),

・・・直线/上与点4的折线距离为5的点的坐标(一/,一/)或(一/,3)；

(3)解：・・・4(2〃),N(n,n),且d(4,N)v2,

.\|n-2|+|n-/|<2,

当月>2时，则九一2十九一/<2,解得

：.2<n<^

当/工几工2时，Mij2-n+n-7<2,B|J1<2,此时恒成立；

当nv/时，则2—九十/—九v2,解得九>

.,彳<n</；

综上所述，

(4)解：设P(x,y),

Vd(P,0)=3,

.,.|x-0\+\y-0\=3,

・・・|x|+\y\=3,

・••当yNO时，x+y=5；

当》N0,y<0EI寸，x-y=3；

当xv0,y>0时，-x+y=3；

当x<0,y<0时，-x-y=3；

・••点P围成的图形区域即为四边形CDE/(C(一3,〃)，D(。，一3),E(3,0),-0,3))如

下所示：

，围成的图形面积为2xgx3x6=18.

【点睛】本题主要考查了坐标与图形，解一元一次不等式，解绝对值方程等等，正确理解题意

是解题的关键.

【题型4坐标系中的动点问题探究】

【例4】(2023春•吉林•七年级统考期末)如图，四边形4BCD是长方形，边AB在x轴上，40_L%

轴.已知点A坐标为(2,0),点C坐标为(6,3).动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度

沿折线B4-AD-OC向终点。运动，设点P的运动时间为x(s).

备用图

⑴点。坐标为一；

(2)连接PC,当直线PC将长方形A8CD的面积分为/:2的两部分时，求x的值;

⑶连接OP,OD,直接写出三角形OPD的面积为3时•，点P的坐标.

【答案】⑴⑵3)

(2)x=强用；

⑶满足条件的点P的坐标为念0)^(4,3).

【分析】（1）利用矩形的性质求山。4AD,可得结论；

（2）分两种情形：如图1中，当点P在线段A8上时，如图2中，当点P在线段4。上时，分别

构建方程求解；

（3）当点P与4重合时,△P00的面积为3,此时/72,0）,过点A作4P'〃0D交CD于点尸'，此时0A=

DP'=2,△ODP'的面积为3,求出P'坐标即可.

【详解】(1)解：•.•四边形力BCD是矩形，A(2,0),C(6,3),

・•・OA=2,BC=AD=3,

•••D(2,3),

故答案为：（2,3）；

（2）解：如图1中，当点P在线段48上时,

图I

由题意,S&PBC=]S矩形4BCD'

•••gx2xx3=gx3x4,

/J

4

如图2中，当点P在线段上时,

・•・仁(7-2x)x4=^义3X4,

综上所述，满足条件的％的值为:或点

当点P与4重合时，△P00的面积为3,此时P(2,69，

过点4作力P'〃。。交CO于点P',此时04=0P'=2,△OOP'的面积为3,

••P'(4.3)f

综上所述，满足条件的点P的坐标为偿，/或国3).

【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学

会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题.

【变式4・1】(2023春・湖北襄阳•七年级统考期末)在平面直角坐标系中，点A(a,0).B(0,b),

。、力满足|2a-b-9|+(a+2b-/2A=0,连接AB.

(1)求出点4、8的坐标；

⑵如图1,点C是线段4B上一点，若AC=2BC,求点C坐标.小军想到：可连接。。，此时

将三角形04B分成两个小三角形，而三角形。BC的面积恰好是三角形04B的三分之一，从而

求出点C坐标.请你根据小军的思路写出求解点C坐标的过程；

⑶如图2,将线段48先向下平移5个单位，再向左平移2个单位得到线段MN(点力的对应

点为〃)，线段MN与y轴交于点P.点E(0,。是歹轴上一动点，当三角形MNE的面积小于3

时，请直接写出，的取值范围.

【答案】⑴4(6.0).8(0,3)

(2)C(2,2),过程见解析

(3)-4<£<一2且£。一3

【分析】(1)根据非负数的性质得出关于。，人的二元一次方程组，解之即可；

(2)设点C的坐标为(小,几)，根据三角形。的面积恰好是三角形04B的三分之一，以及三

角形04。的面积恰好是三角形。48的三分之二，分别列出方程，求出〃?和〃的值，即可得到

坐标；

(3)求出各点平移后的坐标，得到点C平移后在〉轴上，即为点P,根据三角形MNE的面积

小于3,列出不等式，解之即可.

【详解】(1)解：•・•|2Q—b—9|+(Q+2b—12)2=(),

.(2a-b—9=0

•(十2b-12=0'

解得:｛：=?，

lb=3

・・・A(6,0),8(0,3)；

(2)设点。的坐标为(m,n),

••,4(6,0),8(。,3),

：.OA=6,OB=3,

•：AC=2BCf

・・・三角形OBC的面积恰好是三角形O/B的三分之一，

x3xm=』x'x6x3,

232

解得：m=2,

同理：三角形OAC的面积恰好是三角形04B的三分之二，

..-x6xn=-x-x6x3,

解得：n=2,

.♦・点。的坐标为(2,2)；

(3)由平移可得：M«-5),N(-2,-2),

而点。平移后的坐标为(2-2,2-5),即(0,-3),

・••点。平移后在歹轴上，即为点P,则P(0,-3),

:*S^MNE=三xPEx(xM—%/v)<3，

即；X|—3—t\X6v3,

解得；-4vt<-2且tW—3.

【点睛】本题考查了解二元一次方程组，坐标与图形，非负数的性质，点的平移，三角形的面

积，解不等式，解题的关键是利用坐标表示三角形的面积，体现了数形结合的思想.

【变式4-2](2023春•吉林•七年级校联考期中)如图，在以点O为原点的平面直角坐标系中，

点4、8的坐标分别为(a,0)、(a,切，点。在y轴上，且BC||%轴，〃、b满足|a—3|+7b-4

=0,一动点尸从原点出发，以每秒一动点。从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着。

一4一3一。一0的路线运动〔回到点。时停止)

⑴直接写出点力、B、。的坐标；

⑵在点P运动的过程中，连接P。，若P。把四边形4BC。的面积分成/：2两部分，求点尸的

坐标；

⑶点尸运动/秒后优是否存在点尸到x轴的距离为孑t个单位长度的情况.若存在，求

点P的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】Q)A(3,0),B(3,4),C(0,4)

(2)(3,少或但切

⑶(3,1)或(0,9)

【分析】(1)直接利用非负数的性质即可解答；

(2)证明四边形48C。为长方形，求出面积，再分两种情况：当=4时和当54opc=4

时，分别列出方程，求解即可；

(3)分两种情况：点。在AB上运动和点尸在。C上运动，根据点0到x轴的距离为*个单位

长度列出方程，求解即可.

【详解】(1)解：由题意知，b满足|Q-3|+7b—4=0,

V|a-3|>0,再吗>0.,

：・a—3=0,b—4=0,

•\a=3,b=4,

:,A(3,0),B(3,4),C(0,4)、

(2)由题意可知，轴，BC=OA,

*：BC||%轴,

・••四边形力BCO为长方形，

•:B(3,4),

・"矩形48C。=3x4=/2,

•・・P。把四边形4BC。的面积分成1:2的两部分，

六一部分面积为4,另一部分面积为8,

二・可分两种情况讨论：当5分0力=4时和当SMPC=4时，

①当=4时.

此时点P在力B上，点P的坐标为(3,2t-3),AP=2t-3,

:,SAPOA=~,。4•AP=-x3x(2t—3)—4,

:・t=W，

6

•»2t—5=j,

・••点〃的坐标为(3,乡，

②当S^opc=4时，

此时点P在BC上，点P的坐标为“0-2t,4),CP=10-2t,

:"SAOPC=~*CP,CO=~x(iO—2t)x4=4,

:・t=4,

・,•点。的坐标为〈2,43

综上可知，，点P的坐标为(3：g)或仅4)；

(3)存在，理由如下：

①当。在88上运动时，4P=gt,

由(2)可知，AP=2t-3,

.・..2-3=gt,

At=2,

：.AP=2t-3=h

・•・点0的坐标为（3,〃，

②当尸在OC上运动时，

OP=14-2t,

:・14-2t=33

：.t=y,

14

：.0P=14-2t=y9

.♦•点p的坐标为",2），

综上可知，点。的坐标为（3,〃或

【点睛】本题考查非负数的性质、坐标与图形的性质、三角形的面积、一元一次方程的应用,

分类讨论是解题关键.

【变式4-3］（2023春・广东广州•七年级统考期末）已知点4（一2,〃），以0,-6）,

过点。作工轴的平行线相，交y轴于点。，一动点。从C点出发，在直线加上以1个单位长

度/秒的速度向右运动，

（1）如图，当点尸在第四象限时，连接。P,作射线。£平分Z40P,过点。作。/10E.

①填空；若乙OPD=60°,则ZPOF=；

②设舞，求。的值.

LuOE

⑵若与此同时，直线加以2个单位长度/秒的速度竖直向上运动，设运动时间为，秒，点。的

坐标为（%,y）

①在坐标轴上是否存在满足条件的点P,使得S.BP=6,若存在，求出点尸的坐标；若不存

在，请说明理由；

②求X和y的关系式.

【答案】⑴①30。；②a的值为2.

⑵①存在点。的坐标为P(0,2)；②x和歹的关系式为y=2x+2.

【分析】(1)①由x轴II直线机可得乙40P+40P0=/80。，乙AOP=120。,由角平分线的定义

得到乙EOP=g乙4OP=60。，由垂直的定义知NE。尸=90。，即可求得NPOF=30。；

②由角平分线的定义，可把匕EOP表示为45。+:/00尸，因此NEOO=NEOP—乙OOP=45。一

"DOP,由于NOPO=90。一々OOP,故可得至IJQ的值为2；

(2)①由题意，经过，秒后，点尸的坐标为(-4+3-6+2”，然后分点尸在x轴上和点尸

在y轴上两种情况求点尸的坐标，进而求出S4^P，可得到点P坐标为"，2)时符合题意；

②由①知｛；二;;：，消去人即可得到x和>的关系式为y=2x+2.

【详解】(1)解：①••・％轴II直线〃2,

乙AOP+乙OPD=180。,

•・•LOPD=60。,

・•・LAOP=120°,

•・•0E•平分乙40P,

:•乙EOP=g乙AOP=60。,

OF10E,

ALEOF=90。,

LPOF=乙EOF-乙EOP=90。-6俨=30°.

故答案为：30。

OE平分Z40P,

:•乙EOP=!^AOP=g(90°+乙DOP)=45。乙DOP,

LEOD=乙EOP-乙DOP=45。-弘DOP,

■:(OPD=90。一乙DOP,

Z.OPD9(f-Z.DOPr

•••Q==--------7----------=2,

乙DOE45°-爹DOP

即。的值为2.

(2)解：①存在符合题意的点P.

由题意，经过，秒后，点。的坐标为(-4+3-6+2〃，

若点尸在x轴上，则-6+2£=0,解得t=3,

P(-/,0),

・・・力(-2,0),

AP=1,

••^ABP=2AP*OB=4x1x4=2丰6,不合题意；

若点尸在》轴上，则-4+t=0,解得t=4,

:,P(0,2),

・•,BP=6,OA=2,SABP=^BP.OA=gx6x2=6,符合题意.

故使得=6的点P的坐标为P(O,2)；

②由①知丁二二;t，

由x=-4+t得t=%+4,

代入y=—6+2t,得y=—6+2(x+4)=2x+2,

故x和y的关系式为y=2x+2.

【点