手拉手-旋转相似模型（含解析）

专题17手拉手一旋转相似模型

I.如图，Z1=Z2=Z3,AC,DE交于M,图中相似三角形共有（）

A.3对B.4对C.5对D.6对

2.如图，将"BC绕点A旋转任意角度得到AABC,连接BB\CC,则BB,：CC等于（）

A.AB：ACB.BC：AC

C.AB：BCD.AC：AB

3.如图，△ABC和都是等边三角形，点。是4c上的点，连接AE,下列相似三角

形：①ABCDsABEO；②△AOQs△石OB；③△AOES^OOB：④△BODsgDA.成立

的有（）

A.1对B.2对C.3对D.4对

40

4.如图，己知N1=N2,当F=_时，AA4CSA4OE.

AB

2026-2027学年

5.如图，AB=4,AC=2y/3,NZM8=NQ8C=30。，ZSDC=90°,EZ)_LA。交A8于E,

则OE的长是—.

6.在数学探究活动中，小明进行了如下操作：如图，将两张等腰直角三角形纸片A8C和COE

如图放置(其中Z4CB=/E=90。，AC=BC,CE=DE).CD、CE分别与AB边相交于M、

N两点.请完成F列探究：

(1)若AC=2,则AN-BM的值为_；

CNCF

(2)过M作MF_LAC于F,若照=：4，则£的值为

CM5AC

7.如图，已知AAZ^zMCE.求证：A44CSAA/M.

8.已知：如图，MBDAACE.求讦：M)AEABAC.

9.问题背景：如图(1),己知AA4Cs&4/)£；,求证：AABZ^AACE；

尝试应用：如图（2）,在AABC和A4DE中，N8AC=/D4E=90。，ZA8C=NAOE=30°,

AQEDF.

AC与OE相交于点F.点。在4c边上,而=5求下的值.

10.如图，在.ABC与，OEC中，已知NAC8=NOCE=90。，4C=6,BC=3,CD=5,CE=2.5,

连接A。，BE.

(1)求证：&ACDsBCE；

(2)若N8CE=45。，求.AC。的面积.

2026-2027学年

D

11.如图，在△ABC与△ADE中，N4CB=NAEO=90。，ZABC=ZADE,连接BD、CE,

求证：

(1)^ABC^AADE

(2)若AC：8c=3：4,求3。：CE为多少.

12.如图，点8在线段CD上，在CO的同一侧作两个等腰直角△ABC和△&)£：,且NAC8

=ZBED=90°,AO与CE,8E分别交于点P,M,连接PB.

(1)若AD=bCE,则出的值是；

(2)求证：△8Mps△OME：

(3)若BC=娓,办=3,求PM的长.

13.如图，/朋C=90。，/BC绕点A逆时针旋转得到V4OE,恰好点。在4c上，连接C£.

(1)/胡£与N7MC有何关系？并说明理由；

(2)/\43。与八4。七有何关系？并说明理由；

(3)线段8c,与CE在位置上右何关系？为什么？

14.已知A/WC是等腰三角形，AB=AC,将AABC绕点4逆时针旋转得到A/TQC,点A、

点。的对应点分别是点/V、点C'.

感知：(1)如图①，当8c落在A8边上时，NA/8与NCC8之间的数量关系是

(不需要证明);

探究：(2)如图②，当8C'不落在A8边上时，NA/8与NCC8是否相等？如果相等，请证

明；如果不相等，请说明理由；

应用：(3)如图③，若NB4C=90。，A4\CC'交于点E,则ZA'EC=_________度.

«,„A8BCAC

15.如图，已知==

ADDEAE

A

BC

求证：(1)ZBA£)=ZC4£;

(2)ABDACE.

16.把两个等腰直角ABC和VADE按如图1所示的位置摆放,44=90°,将V4OE绕点A

按逆时针方向旋转，如图2,连接SO,EC,设旋转角为c《()。＜々＜360。).

攵AA

;

BCBCBC

图1图2图3

⑴求证：BAD^CAE.

(2)如图3,若点。在线段座上，且8C=13,DE=1,求CE的长.

(3)当旋转角。=时，△480的面积最大.

2026-2027学年

(1)【问题发现】

如图①，正方形AEFG的两边分别在正方形A3c。的边A/T和AQ上，连接CF.填空：

①线段CF与DG的数量关系为二

②直线CF与DG所夹锐角的度数为

(2)【拓展探究】

如图②,将正方形AEFG绕点A逆时针旋转，在旋转的过程中，(1)中的结论是否仍然成立，

请利用图②进行说明.

(3)【解决问题】

如图③，ABC和VA/宏都是等腰直角三角形，ZBAC=ZDAE=90°fAB=AC=\0,。为

AC的中点.若点。在直线8c上运动，连接。石，则在点。的运动过程中，线段OE长的最

小值为_(直接写出结果).

18.【问题背景】如图，在RtABC和MA4OE中，AB=AC,AD=AEf由已知可以得到：

①A________9*________；

【尝试应用】如图，在乂8c和VAOE中，=ZAED=90°,AABC=ZADE=30";

【问题解决】如图，在ABC和VA0E中，/84。=/。4石=90。,乙48。=4。£：=30。,其。与

OE相交于点F,点。在BC上，黑=G，求弟的值.

BDCF

参考答案：

I.B

【分析】根据两个角相等可以证明.AWEDMC,ABAC△〃£：和.AMDb纥，根据两

边成比例且夹角相等可以证明ABDACE.

【详解】解：•.•N2=/3,ZAME=NDMC,

MA/E^AZWC,

:.ZACD=ZAED,

N1=N3,

二ZBAC=ZDAE,

：.MACSADAE,

ABAC

~AD~~AEZB=ZADE,

AB_AD

即~AC~~AE

4=N2,

2026-2027学年

：.MBD^MCE,

/./B=ZACE,

:.ZADE=ZACE,

ZAMD=NEMC,

:.AAMD^^EMC.

・••图中相似三角形共有4对.

故选：B.

【点睛】本题考查三角形相似的判定和性质，有条理的式出相似的条件是解题的关键.

2.A

【分析】利用旋转的性质得NB'AB=NCAC,AW=AB,AC=AC,则可判断△ABB，s/\ACC,

然后利用相似三角形的性质可对各选项进行判断.

【详解】解：:△ABC绕点A旋转仔意角度得到△AB'C,

/.ZB,AB=ZCAC,ABr=AB,AC=AC,

•••△ABB”—

.BB'_AB

**CO7-AC'

故选A.

【点睛】本题考查r旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线

段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等.

3.D

【分析】根据等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质定理进行推理即可二

【详解】解：•••△A8C和ABOE都是等边三角形，

/.ZC=ZABC=ZCAB=6(f,ZEDB=ZDBE=ZDEB=W,

/.NABC-NABD二NDBE-NABD,

，NCBD=NABE,

:.△BCDsABEO,

故①正确；

VZAOD=ZBOE,NDAB=NDEB=60。,

:.AAODSAEOB,

故②正确；

♦：△AODSAEOB,

.AOEO

DOBO

•・•NAOE=NDOB,

/.AAOESADOB,

故③正确；

•・・NZ)BA=NO8O,z!DAB=^ODB=6^,

:•△BODS^BDA,

故④正确，

所以，相似三角形成立的有4对.

故选：D.

【点睛】本题考查r等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的

判定与性质定理是解题的关键.

【分析】因为N1=N2,可得如E=N8AC,再根据两边成比例且夹角相等，两三角形相

似，所以添加条件空=41后，

ABAC

4/)AF

【详解】解：添加条件,二.后，MBC^MDE.理由如下：

ABAC

N1=N2,

N2+ZfiAE=N1+ZfidE,

即ND4E=N8AC,

「ADAE

又—=—

ABAC

;.AADESAABC.

即AA8CSMDE.

故答案为：会A产.

AC

【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，解题关键是熟悉相似三角形判定定理.

«而

3

ARAF)f-

【分析】连接C£，先证△A/SDSZXECO,得到芸=a=6,NABIANECD,再证

ECED

2026-2027学年

NBEC=90。，由4B=4,得到后。=土叵，则AE=-EC?=2^

33

DE=AEsinZEAD=—

3

【详解】解：如图所示，连接CE，

VZBDC=90°,ADVDE,/EAD=NCBD=30°,

JtanZEAD=tanZCfiD=—=—,ZADE+ZBDE=ZBDC+ZBDE,

ADBD3

JZADB=ZEDC,

J△ABDs^ECD,

二空二四二6ZABD=ZECD,

ECED

NDBC+NDCB=90°,

NDBC+NECB+NECD=90。,

ZDBC+ZECB+ZEBD=90°,

,ZBEC=90°,

•n,

・"_4G

••七c=-----»

3

，AE=dAC?-EC2=

3

DE=AhsinZ.EAl)=^^-,

3

故答案为：巫.

3

A

【点睛】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的性质与判定，勾股定理等等，止确作

出辅助线，构造直角三角形是解题的关键.

6.4逑

8

【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得4=N8=45。，NMCN=45。，可得

?ACN2ACM?MCN?ACM45?,即可证明，八CV~创纥，可得丝■=生，即可求解；

ACAN

（2）过点C作CG_LA3于点G,可得NCGN=NCEM=90。，由等腰直角三角形的性质可

得？NCG?MCG45?,Z4GW+ZMCG=45°,从而可得NNCG二NMCF,即可证得

.GCN~FCM,可得殍=整=:，设CG=4A,贝IJB=5A，AC=4叵，即可求解之=芈.

CFCM5AC*?

【详解】解：（1）,"AC和ACDE为等腰直角三角形，

\NA=?B45?,NMCN=45。,BC=AC=2,

•・•ZACN=ZACM+Z/WC7V=ZACM+45°,/BMC=ZACM+ZA=ZACM+45°,

二.ZACN=4BMC,

ACNs^BMC,

.BMBC

"'AC=7N'

vBC=AC=2,

:.ANBM=ACBC=4,

故答案为：4.

2026-2027学年

(2)如图，过点C作CGJ.A3于点G,

MFLAC,

:.NCGN=NCFM=W,

Z/VCG+/MCG=45。，ZACM+ZMCG=45°,

:ACG=4MCF,

GCN^FCM,

GV_4

GW-5,

,CGCN4

・・==一,

CFCM5

设CG=4Z,则O'=5R,AC=4&A,

,CF5>/2

・・--=---，

AC8

故答案为：逑.

8

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，解题关键是利用图

形找到相似三角形，熟练运用相似三角形的性质.

7.证明见解析.

【分析】根据“四jCE可推出笫=笔=常,〃皿="心进一步得出

NZMC=NA4£即可证A43C^ADE.

【详解】证明：MBD-MCE,

ABADBD

k=酢=在'4Ao=NC4E'

/BAD+ZDAC=ZBAC,NC4£+ZDAC=ZDAE

/.ZBAC=ZDAE,

pABAD

又y，

【点睛】本题主要考直相似二角形的证明，熟知两边成比例和夹角相等的两个二角形柱似是

解题的关键.

8.见解析.

ADARAllAF

【分析】先利用AA8DAACE得到笠=三，再利用比例性质得三=会，加上

AEACABAC

/DAE=/BAC,然后根据相似三角形的判定方法可得到结论.

【详解】证明：・・・A48。MCE,

.ADAR

ZBAD=ZCAE,

*~AE~~^C

.ADAE

•瓦一就ZBAD+/BAE=ZCAE+/BAE，

即〃4E=N8AC,

：.ISDAEABAC.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形

相似：也考杳了相似三角形的性质.

9.问题背景：见解析；尝试应用：3

AQsr

【分析】⑴问题背景：由题意得出布=瓦’^BAC^DAE,则皿=N6E’可证

得结论;

(2)尝试应用：连接£C,证明△A5CSA4OE,由(])知AABDjMCE,由相似三角形

APA£)广

的性质得出k=—=V3,ZACE=ZABD=ZADE,可■证明△AO/7,得出

CEBD

若嚏=3,则可求出答案.

【详解】问题背景

证明：MBC^AAD£,

器=奈的C=ND心

ABAD

:.ZBAD=ZCAE,

AC~4E)

..^ABD^MCE-

尝试应用

解：如图1，连接房,

2026-2027学年

Za4C=ZD4E=90°,ZABC=ZADE=3(f,

/SABC^^ADE,

由⑴知AAB/>-A4CE,

AEADr

—=—=x/3,ZACE=ZABD=ZADE,

CEBD

在RtAADE中，NAOE=3()。，

华AE=6

・嚏唠噎3加3.

,Z4Z)F=ZECF,ZAFD=ZEFC,

4XDFs^ECF,

DFAD4

•・==3•

CFCE

【点睛】此题考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三

角形的判定与性质是解题的关键.

10.（1）见解析；（2）”也

2

【分析】（1）根据相似三角形的判定：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可

证明；

（2）过点。作。G_LAC交于点G,由NACD=N8CE=45。得，△CGD是等腰直角三角形，

即可求出。G,由三角形面枳公式即可得出答案.

【详解】（1）QZAC/?=ZDCE=90°,

/.ZACD+ZDC13=NDCB+NBCE,

:.NACD=/BCE,

,/AC=6,BC=3,CD=5,CE=2.5,

ACCD2

---=---=一，

BCCEI

\ACDBCE；

（2）如图，过点。作DG_LAC'交于点G,

ACDBCE,

ZACD=ZBCE=45°,

CGO是等腰直角三角形,

:.CG=DG,

在RfaCGQ中，CG2+DG2=52.

解得：QG=也，

2

.1“八八।45淄15&

..Sc.=—xACxDG=—x6x-----=-------

rn2222

【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质与三角形的面积，掌握相似三角形的判定定理是

解题的关键.

II.(1)见解析；(2)5：3

【分析】(1)根据相似三角形的判定方法证明即可.两组角对应相等的两个三角形相似；

ArAp

(2)由3cs△A。七可得F=进而根据两组边对应成比例证明

ABAD

出△ACESAAB。，然后根据相似三角形对应边成比例和已知条件即可求出8。：CE的值.

【详解】(1)VZACfi=ZAED=90°,ZABC=ZADE,

工/\ABC^^ADE.

(2),:XABCS\ADE,

ACAE

：

.ZBAC=ZDAE,~AB~~AD

•・•NBAC+NBAE=NDAE+NBAE,

即NC4£=N84。，

,,ACAE

・瓦―布’

XACEs△ABO,

.BDAB

••,

CEAC

VAC：BC=3：4,ZACB=ZAED=90°,

•・AC：8C：A8=5：4：5,

2026-2027学年

:.BD：CE=5：3,

故答案为：5：3.

【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质和

判定.

12.（1）72;（2）见解析；（3）1

【分析】（1）根据两组角对应相等得到根据相似三角形的性质和勾股定理

可得〃的值；

（2）根据△ABDSACAE得到利用两组角相等得到△ZM/QSAEMP,从

而得到黑=空，进而可以得到结论；

PMEM

（3）首先证明△AAPs/LAMA,得到A^=AP・AM，利用腰直角△ABC得到的值，可

以根据线段关系求解..

【详解】解：（1）.••△ABC和△BDE都是等腰直角三角形，

且NACB=N8EO=90。，又点8在CO上，

・•・ZABC=ZDBE=45°,

・•・ZABD=ZCBE=\35°,

近

p乂•.•-A-B-=-B--D=---，

CBBE1

JAABDSACBE,

,ABAD人

••---=---=---

CBCE1

，攵的值是上;

（2）证明：••'△ABC和仆都是等腰直角三角形，

且N4C3=N4£Q=90。，又点8在C。上，

・•・ZABC=ZDBE=45°,

・•・/ABD=135。

-rj••ABBD\/2

乂•—=>

CBBE1

J/XABDs^CBE,

••・NADB=/CEB,又ZBMD=/EMP,

:.ABMDSAEMP,

.BMDM

又•：NBMP=NEMD,

：,4BMPsADME.

(3)MBMPsADME,

；,/BPM=NBED=90。,

又•••NABM=180°—45°—45°=90。，NBAP=NMAB,

JAABPsAAMB,

.ABAP

2

•而一罚’即AB=AP.AM，

•・•在等腰直角8c中，A8=&8C=V?X#=2G，

•••(2@2=3AM,AM=4,

则PM=AM-AP=4-3=1.

【点睛】本题考杳的是三角形的相似的性质与判定和等腰百角三角形的性质，熟练应用三角

形相似的判定是解决本题的关键.

13.(1)/34E与ND4C互补；见解析

(2)^ABO与ZMCE相似；见解析

(3)BC±CE,见解析

【分析】(1)根据旋转的性质可知，ZR4C=NZM£=90。，然后利用角的加减运算即可计

算出答案；

(2)根据旋转的性质可知，AB=AD,AC=AE,NZMC=ND4£=90。，然后利用等边对

等角的性质，等角的余角相等的性质即可得出答案；

(3)根据(2)可知，ZADB=ZACE=4B=ZAEC，然后利用互余的性质即可得出答案.

【详解】(1)N84E与ND4C互补，理由如下：

由旋转的性质知：

:N8AC=ND4E=90。，

・•・NC4E=ZZME-ZDAC=S00-Z.DAC

:.ZBAE=ABAC+ZCAE=90°+(90°-ADAC}=1800-Z.DAC；

即ZBAE+ZDAC=\S()0,

284石与N/MC互补.

(2)△A%。与△AC£相似，理由如下:

2026-2027学年

由旋转的性质知：AI3=AD,AC=AE,NR4C=ND4E=90。

,在△48。中，/ADB=Zfi=^(180°-ZBAD),

在AACE中，ZACE=4EC=4(18()o-NC4E)

2

XVZ^4C=ZW)+ZmC=9(r,ZDAE=ZDAC+ZCAE=9()0

・•・/BAD=/CAE

即ZADB=ZACE=ZB=ZAEC；

・•・，ABO。ACE.

(3)BCLCE,理由如下：

由(2)可知，ZADB=ZACE=/B=ZAEC

•・•在MAC中，NE4c=90。

・•・NB+4G4=90°

,//BCE=ZBCA+ZACE

：,ZBCE=ZBCA+ZB=9(rf

即8C_LCE.

【点睛】本题考杳了旋转的性质及三角形相似的判定，熟练掌握上述知识点是解答本题的关

键.

14.(1)ZA'AB=ZCC13；(2)ZA'A3=NCCB,利用见解析；(3)135

【分析】(1)根据旋转的性质和等腰三角形的性质证明即可；

(2)根据已知条件证明ACBCA/WA,即可得解；

(3)根据等腰三角形的性质和旋转性质计算即可；

【详解】解：感知：由旋转可得8C=8C,BA=BA',NC8C=NAB4,

.180。一/4孙180°—NC'BC

••----------------=-----------------,

22

・•・公ABOCCB,

探究：ZAAB=ZCCB,

证明：•・•由旋转可得AC=AC,BA=BA',/CBC=ZABA\

.BCBC

,•砺一前’

/.bCBCA43A，,

ZA'AB=ZCCB.

应用：vAfI3=AI3,

由探究可得NA'AB=ZCCB,

JZAA,B=ZCCB,

\*CB=CB,

JNC'CB=CC'B，

：.Z/W4=NCC'2,

设C'8与人石的交点为O,

・•・ZAOB=^COE,

JZCEO=ZOBAf=ACB,

VAB=AC,ZBAC=90°,

，ZACB=450=ZCEO,

JZA'EO=180°-ZCEO=135°；

故答案是135.

【点睛】本题主要考查r旋转的性质和等腰三角形的性质，准确分析计算是解题的关键.

15.(1)见解析：(2)见解析

【分析】(I)根据三边对应成比例两三角形相似得到△ABCS/XADE,然后根据三角形相

似的性质和等最代换即可证明;

(2)根据两条对应边成比例，且夹角相等，两三角形相似即可证明.

AQnrAC

【详解】⑴证明「•存

XABCsXAOE

工ZBAC=/DAE

・•・NBAC-ZDAC=ZDAE-ZDAC

即：NBAD=NCAE

(2)由(1)得：NBAD=NCAE

▽・・"AC

乂•——=——

ADAE

••・/\ABD^/\ACE

【点睛】本题考查了三角形相似的判定条件和性质，关键是熟练掌握三角形相似的判定方法.

16.⑴见解析：

2026-2027学年

(2)5；

(3)90。或270°；

【分析】(I)由等腰直角三角形的性质可得A。勿七，AB=AC,N84C=ND4E=90。，求得

N84D=NCAE即可证明；

(2)过点A作于”，由可得8D=CE,由等腰三角形三线合一的性

质可得八〃=。〃=£〃=3。£=(，由BC求得A&再由勾股定理求得即可解答；

(3)根据。点轨迹可得当AO_LA8时，AAB。面积最大，由旋转的性质求得。即可；

【详解】(1)证明：△ABC,ZkADE都是等腰直角三角形，

：.AD=AE,AB=AC,

NAMC=N/)/lE=90°,则/朋C-NC人D=N/ME-NC4O,

.\Z54D=ZCAE,

•••△84。妾△CAE(SAS),

(2)解：如图，过点A作A”_L8E于"，

由(1)证明同理可得△ABOgZVICE,

:.BD=CE,

:△4OE是等腰直角三角形，AHYDE,

・・・A〃是斜边中线，

：,AH=DH=EH=；DE=1,

/^△A8C中，ZABC=45°t8c=13,

ia

AB=BCcosZABC=一近,

2

RmABH中，BH=y]AB2-AH2=J---=,

V2422

:・BD=BH-DH=5,

：・CE=BD=5；

(3)解：点轨迹在以A为圆心，AO为半径的圆上,

・・・A。的长度为定值,

的长度为定值，

•••A4B。底边AB上的高“。

，当AOJ_AB时，aAB。面积最大，即点D在直线AC上,

①如图当a=90。时，ADVAB,△A3。面积最大，

②如图当。=270。时，AD±ABtAA3。面积最大,

・•・当。为90。或270。时，△ABO面积最大：

【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，解直

角三角形等知识；掌握旋转的性质是解题关键.

17.(1)①。/=忘。6：②45°

(2)结论不变.理由见解析

⑶逑

2

【分析】(1)连接AE易证A,F,C三点共线.易知AC=®AD,推出

=AC-AF=V2CAD-AG)=^DG.

(2)连接八C,AF,延长C产交。G的延长线于点K,AG交FK于点O.证明△C4尸

即可解决问题.

(3)证明△氏4。且△C4E,推出N4CE=N4BC=45°，可得NBCE=9(T,推出点E的运

动轨迹是在射线OCE上，当OE_LCE时，OE的长最短.

2026-2027学年

【详解】（1）解：如图①中，①线段C/与OG的数量关系为C/=及。G；

②直线C尸与QG所夹锐.侑的度数为45°.

理由：如图①中，连接47.易证A,F,C三点共线.

图①

♦:AF=OAG.AC=42AD,

：,CF=AC-AF=42(AD-AG)=gOG.

故答案为CF=&QG,45。.

(2)解:结论不变.

图②

理由：连接4。，AF,延长。尸交OG的延长线于点K,AG交FK于点、O.

•・・/CAO=NE4G=45°,

：.ZCAF=ZDAG,

*：AC=42AD,AF=y/2AG,

ACAF广

.茄=布=小

/.△CAF^ADAG,

「rA「

.•丽=而=曰ZAFC=ZAGD,

:・CF=gDG,ZAFO=ZOGK,

ZAOF=ZGOK,

：,ZK=ZFAO