等式性质与不等式性质-人教A版高中数学必修第一册（原卷版+解析）

第06讲等式性质与不等式性质

【人教A版2019】

模块一

1.不等关系的建立

在用不等式（组）表示实际问题中的不等关系时，先通过审题，设出未知量，找出其中的不等关系，再将不等

关系用不等式表示出来，即得不等式或不等式组.

考点剖析

【考点1不等关系的建立】

【例1.1］（2022秋・甘肃庆阳•高一校考阶段练习）在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5厘

米，人跑开的速度为每秒4米，距离爆破点150米以外（含150米）为安全区.为了使导火索燃尽时人能

够跑到安全区，导火索的长度》（单位：厘米）应满足的不等式为（）

A.4X^<150B.4x^>150C.4x^<150D.4x>150

【例1.2］（2022秋・四川眉山・高一校考阶段练习）将一根长为5m的绳子截成两段，已知其中一段的长度为

xm,若两段绳子长度之差不小于1m,则x所满足的不等关系为（）

A.管B.2X一521或5-2xN1

rf5-2x>1nf|2x-5|>1

*t0<x<5,10<x<5

【变式1.1］（2023秋肃酒泉•高一统考期末）铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带

品的外部尺寸长、宽、高之和不超过130cm,且体积不超过72000cm3,设携带品外部尺寸长、宽、高分别

记为小b,c（单位：cm）,这个规定用数学关系式可表示为（）

A.a+b+c<130且abc<72000B.a+b+c>130且abc>72000

C.a+6+c<130且abc<72000D.a4-Z?4-c>130且abc>72000

【变式1.2]（2023・高一课时练习）如图两种广告牌，其中图（1）是由两个等腰直角三角形构成的，图（2）

是一个矩形，从图形.上确定这两个广告牌面积的大小关系，并将这种关系用含字母a,b（aHb）的不等式表示

出来（）

(1)(2)

A.^(cz24-b2)>abB.^(a2+b2)<abC.^(cz2+b2)>abD.1(a24-b2)<ab

1.两个实数大小的比较

如果a—力是正数，那么。〉岳如果a—力等于零，那么。=儿如果。一〃是负数，那么a<A反过来也对.这

个基本事实可以表示为：a>h<^a—h>0,a=b<^a—h=0,（Kb^a—b<0.

从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与。的大小.

考点剖析

【考点1利用作差法、作商法比较大小】

【例1.1]（2023・全国•高三专题练习）已知〃WR,M=（2p+l）（p-3）,N=（p-6）（p+3）+10,则M,

N的大小关系为（）

A.M〈NB.M>N

C.M£ND.M>N

【例1.2】（2023•全国•高一专题练习）己知。>1,且x=，c+1—&,y=y[c—>]c-1,则x,y之间的大小

关系是（）

A.x>yB.x=y

C.x<yD.x,y的关系随c而定

【变式1.1]（2023•全国•高三专题练习）已知a>0,力>0,M=,N=6+诉，则M与N的大小关系

为（）

A.M>NB.M<NC.M<ND.M,N大小关系不确定

【变式1.2］（2022秋・河北石家庄•高三校考开学考试）若实数m,n,p满足m=4/，n=p=小

贝I（）

A.p<m<nB.p<n<mC.m<p<nD.n<p<m

【考点2利用作差法比较大小的应用】

【例2.1］（2023•全国•高一专题练习）因工作需求，张先生的汽车一周需两次加同一种汽油.现张先生本周

按照以下两种方案加油（两次加油时油价不一样），甲方案：每次购买汽油的量一定；乙方案：每次加油

的钱数一定.问哪种加油的方案更经济？（）

A.甲方案B.乙方案C.一样D.无法确定

【例2.2］（2023•全国♦高三专题练习）某城市有一个面积为1kmZ的矩形广场，该广场为黄金矩形（它的宽

与长的比为与），现在在中央设计一个矩形草坪，四周是等宽的步行道，能否设计恰当的步行道的宽度使

矩形草坪为黄金矩形？则下列选项正确的是（）

A.步行道的宽度10mB.步行道的宽度20m

C.步行道的宽度30mD.草坪不可能为黄金矩形

【变式2.1］（2023秋・吉林・高一统考期末）用x和y分别表示民用住宅的窗户面积和地板面积（一般来讲，

窗户面积比地板面积小）.显然，比值色越大，住宅的采光条件越好.当窗户面积和地板面积同时增加1时，

y

住宅的采光条件会得到改善（单位：n?）.现将这一事实表示为不等式，以下正确的是（）

A•/景B.景（y>%>（）,/>0）

C.（x>y>0J>0）D,；>器（%>），>°/>0）

【变式2.2］（2023•全国•高一专题练习）古希腊科学家阿基米德在《论平面图形的平衡》一书中提出了杠杆

原理，它是使用天平秤物品的理论基础，当天平平衡时，左臂代与左盘物品质量的乘积等于右臀长与右盘

物品质展的乘积，某金店用一杆不准确的天平（两边臂不等长）称黄金，某顾客要购买10g黄金，售货员先

将跖的祛码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将5g的祛码放入右盘，将另一黄金放于

左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金（）

A.大于10gB.小于10gC.大于等于10gD.小于等于10g

模块三等式性质与不等式性质

基础知识

1.等式的基本性质

性质I如果a=b,那么〃=a；

性质2如果ci=b,b=c,那么a=c

性质3如果a=b,那么a±c=b±c；

性质4如果a=b,那么ac=bc\

性质5如果a=b.存0,那么詈

2.不等式的性质

⑴如果a>b,那么b<a\如果b<a,那么即a>bob<a.

(2)如果a>b,b>c,那么即a>b,b>c=a>c.

⑶如果那么a+c>/?+c.

(4)如果a>b,c>0,那么ac>bc；如果a>b,c<(),那么ac<bc.

(5)皿果a>b,c>d,那么a-\-c>b-\-d.

(6)如果a>b>Q,c>d>0,那么ac>bd.

⑺如果那么佗2).

考点剖析

【考点1利用不等式的性质判断正误】

【例1.1]（2023春•广西•高一校联考期中）下列命题为真命题的是（）

22

A.若Q<d<0,则ac?<beB.若Q<b<0,则小<ab<b

C.若Q>b,c>d,贝Uac>bdD.若Q>b>c>0,则洛

【例1.2]（2023•全国•高一专题练习）已知a>b,其中a、b£R,则下列不等式一定成立的是（

A.a2>b2B.—a>-bC.Va>VbD.|a|>\b\

【变式1.1]（2023春・山东滨州•高二校考阶段练习）下列说法中正确的是（）

A.如果a>b,则ac>beB.如果a>b,则ac?>be2

C.如果以:2>儿2,则a>bD.如果a>b,c>cl,则ac>bd

【变式1.2]（2023•高一课时练习）已知a,b€R+,且M一炉二匕则（）

A.a-b<0B.a-b<iC.a4-b4<1D.Va-Vb>1

【考点2利用不等式的性质证明不等式】

・高一课时练习)若Q匕c<d<0,求证：—

[ft2.1](2023>>0,e<0,(a-c)z(b-d)2

【例2.2]（2023•高一课时练习）（I）若be-a闫）,bd>3求证：三士;

ba

（2）已知o°，求证：士〉叁

【变式2.1]（2023・高一课时练习）利用不等式的性质证明下列不等式:

(1)若aVb,c<0,则(a—b)c>0；

(2)若aV0,-1VbV0,则a<ab2<ab.

【变式2.2]（2023•高一课时练习）已知三个不等式：①ab>0；啰〉/③be>ad.若以其中两个作为

条件，余下的一个作为结论，请写出一个真命题，并写出推理过程.

【考点3利用不等式的性质求取值范围】

【例3.1]（2023・高一课时练习）已知1Wa+bW5,-1<a-b<3,求3Q-2匕的取值范围.

[ft3.2]（2023・高一课时练习）实数a、b满足一3Wa+b<2,-l<a-Z?<4.

（1）求实数a、b的取值范围;

⑵求3a-2Z?的取值范围.

【变式3.1］（2023•高一课时练习）设实数％,y满足1工犷工2,24工3,求刎取值范围.

【变式3.2］（2023•高一课时练习）已知实数x,y分别满足，lv%<5,2<y<7.

（1）分别求2x+3y与4%-5y的取值范围;

（2）若xvy,试分别求％—y及：的取值范围.

模块四课后作业

1.（2022・高一课时练习）下列说法正确的为（）

A.%与2的和是非负数，可表示为"+2>0”

B.小明的身高为，小华的身高为y,则小明比小华矮可表示为

C.△4BC的两边之和大于第三边，记三边分别为a,b,c,则可表示为“a+匕>6：且。+c>b且b+c>a”

D.若某天的最低温度为7℃,最高温度为13℃,则这天的温度t可表示为“7℃Vt<13℃”

2.（2023・高一课时练习）下列各式中，不能判断其符号的是（）

A.a2+0+1B.a123—a+1C.|a|+a+lD.a2+|a|-1

3.（2023・云南曲靖•校考模拟预测）某学生月考数学成绩x不低于100分，英语成绩），和语文成绩z的总

成绩高于200分且低于240分，用不等式组表示为（）

（x>100（x>100

A，（200<y+z<240（200<y4-z<240

（x>100（x>100

C，（200<y+z<240（200<y+z<240

4.（2023・全国•高一专题练习）下列不等式正确的是（）

A.若ac2>be2,则a>b

B.若；则avb

C.若Q+匕>0,c-d>0,则Q>c

D.若a>0,b>0.m>0,且QVb,则^^>£

b+mb

5.（2023秋・四川眉山•高一校考期末）已知1cx<3,-3<y<1,贝卜一3y的取值范围是（）

A.（0,12）B.（-2,10）C.（-2,12）D.（0,10）

6.（2023•全国•高一专题练习）已知实数x,y满足一44x-y£-1,-1<2x-y<5,则）的取值范围

是（）

A.{y|0<y<9}B.{y|-5<y<4}

C.{y\l<y<13}D.{y|0<y<13}

7.（2023春・山东滨州•高二校考阶段练习）若Q>b>1,若m=Q?-=/一Q,则机与〃的大小关系

是（）

A.m>nB.m=nC.m<nD.ni>ni

8.（2022秋.安徽合肥.高一校考期末）卜.列命题为真命题的是（）

A.若a>b>0,Mac2>be2B.若a>b>0,则a?>b2

C.若a<b<0,则a2Vb2D.若aVbV0,则2V；

ab

9.（2022秋・河南焦作・高二统考期末）已知a,b,c,d均为实数，下列不等关系推导成立的是（）

A.若Q>b,c<d=>a+c>b-^-dB.若a>匕，c>d=>ac>bd

C.若be-ad>0,：-£v0=ab>0D.若a>b>0,c>d>0=>J|>J|

10.（2022秋•黑龙江哈尔滨・高一校考期中）同学们在生活中都有过陪同爸爸妈妈去加油站加油的经历，小

明发现一个有趣的现象：爸爸和妈妈加油习惯有所不同.爸爸每次加油都说“师傅，给我加300元的油”，而

妈妈则说“师傅帮我把油箱加满”这个时候小明若有所思，如果爸爸、妈妈加油两次，第一次加油汽油单价为

x元/升，第二次加油汽油单价是）元/升aBy）,妈妈每次加满油箱，需加油。升，我们规定谁的平均单价

低佳就合算，请问爸爸、妈妈谁更合算呢？（）

A.爸爸B.妈妈C.一样D.不确定

11.(2023・高一课时练习)对于实数a,b,c,判断下列命题的真假:

(1)若a>bMac<be;

(2)若ac?>be2Ma>b;

(3)若QvbVO,则|a|>\b\.

12.（2023・高一课时练习）比较大小:

（1）。2+炉和2（。一6一1）；

（2）｝+1■和a+匕，其中Q<0,匕<0.

13.（2023・全国•高三专题练习）已知2VQ<3,-2<b<-1,分别求Q+b,2a-b,ab,f的取值范围.

b

14.(2022・高一课时练习)证明下列不等式：

(1)已知a>b,e>f,c>0,求证/一acVe-be

(2)已知a>b>0,c<d<0,求证：<j|.

15.(2023秋・广东•高一统考期末)一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板

面积的比应不小于10%,而且这个比值越大，采光效果越好.设某所公寓的窗户面积与地板面积分别为am2,

bmz.

(1)若这所公寓的窗户面积与地板面积的总和为220m2,求这所公寓的窗户面积至少为多少平方米；

(2)若同时增加窗户面积和地板面积各rm?,判断这所公寓的采光效果是否变好了，并说明理由.

第06讲等式性质与不等式性质

【人教A版2019】

模块一

1.不等关系的建立

在用不等式（组）表示实际问题中的不等关系时，先通过审题，设出未知量，找出其中的不等关系，再将不等

关系用不等式表示出来，即得不等式或不等式组.

考点剖析

【考点1不等关系的建立】

【例1.1]（2022秋.甘肃庆阳•高一校考阶段练习）在开山工程爆破时，己知导火索燃烧的速度是每秒0.5

厘米，人跑开的速度为每秒4米，距离爆破点15（）米以外（含150米）为安全区.为了使导火索燃尽时人

能够跑到安全区，导火索的长度工（单位：摩米）应满足的不等式为（）

A.4XR<15。B.4x^>150C.4x^<150D.4x言>15。

【解题思路】安全区距离爆破点要大于等于150米，结合题意可构建不等式.

【解答过程】由题意知导火索的长度”（单位：厘米），故导火索燃烧的时间为W秒，

人在此时间内跑的路程为（4x言）米，由题意可得4x^>150.

故选：B.

【例L2】（2022秋・四川眉山・高一校考阶段练习）将一根长为51n的绳子截成两段，已知其中一段的长度为

xm,若两段绳子长度之差不小于1m,则“所满足的不等关系为（）

A.>0B.2%-521或5-2%21

t0<x<5

r{5-2x>1n[|2x-5|>1

lo<x<5'I0<x<5

【解题思路】直接表示出另一段，列不等式组即可得到答案.

【解答过程】由题意，可知另一段绳子的长度为（5-幻m.

因为两段绳子长度之差不小于1m,所以。*二（5一>1,

I0<x<5

化简得：歌二5七1

l0<x<5

故选：D.

【变式1.1]（2023秋•甘肃酒泉•高一统考期末）铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带

品的外部尺寸长、宽、高之和不超过130cm,且体积不超过72000cm3,设携带品外部尺寸长、宽、高分别

记为“，从c（单位：cm）,这个规定用数学关系式可表示为（）

A.a+b+c<130且abc<72000B.a+b+c>130且abc>72000

C.a+b+c<130且abc<72000D.a4-Z?4-c>130且abc>72000

【解题思路】根据数量关系列不等式,，“不超过”不等号为“小于等于

【解答过程】由长、宽、高之和不超过130cm得a+b+c>130,由体积不超过720005?得abc<72000.

故选：C.

【变式1.2]（2023•高一课时练习）如图两种广告牌，其中图（1）是由两个等腰直角三角形构成的，图（2）

是一个矩形，从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系，并将这种关系用含字母a,b（QWb）的不等式表示

出来（）

（1）（2）

A.1（a2+b2）>abB.1（a2+b2）<abC.1（a2+b2）>abD.1（a2+b2）<ab

【解题思路】利用三角形的面积计算公式、矩形的面积计算公式、基本不等式的性质即可得出.

【解答过程】解：图（I）是由两个等腰直角三角形构成的，面积Si=：Q2+gb2.

图（2）是一个矩形，面积S2=ab.

可得：!（a24-Z?2）>ab（ab）.

故选:A.

1.两个实数大小的比较

如果“一。是正数，那么心岳如果4一人等于零，那么。=从如果4一方是负数，那么牛S.反过来也对.这

个基本事实可以表示为：〃>〃=〃一〃>(),“=〃=〃一力=0,"boa—b<0.

从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与。的大小.

考点剖析

【考点1利用作差法、作商法比较大小】

【例1.1](2023・全国•高三专题练习)己知p£R,M=(2p+l)(p-3),N=(p—6)(p+3)410,则M,

N的大小关系为()

A.MuNB.M>N

C.M<ND.M>N

【解题思路】作出M,N的差，变形并判断符号作答.

【解答过程】M-N=(2p+l)(p-3)-KP-6)(p+3)+10]=p2-2p+5=(p-+4>0,

所以M>N.

故选:B.

【例1.2】(2023•全国•高一专题练习)已知且x=VF彳1一论，则x,y之间的大小

关系是()

A.x>yB.x=y

C.x<yD.x,y的关系随c,而定

【解题思路】应用作商法比较标1的大小关系即可.

【解答过程】由撅设，易知-)，>(),又土二野兽二怨与CL

/yvc-vc-1Vc+1+Vc

故选：C.

【变式1.1](2023•全国•高三专题练习)己知〃不了，N=6+迎，则M与N的大小关系

为()

A.M>NB.M<NC.M<ND.M,N大小关系不确定

【解题思路】平方后作差比较大小即可.

【解答过程】“2-N?=（Q+匕）一（Q+匕+2\[ab）=-2\[ab<0,

:・M<N.

故选：B.

【变式1.2]（2022秋・河北石家庄•高三校考开学考试）若实数m,n,p满足m=4U，n=Setp=*,

则（）

A.p<m<nB.p<n<mC.m<p<nD.n<p<m

【解题思路】根据作商法比较大小，即可得出结果.

【解答过程】因为实数m，n,p满足m=4eW,n=5ei,p=?

e

所以三=竺f=-，e-i5<1,

n5e35

m<n；

3

pm4es2—.

又H豆=3©>L

/.n>p；

.*.p<m<n.

故选：A.

【考点2利用作差法比较大小的应用】

【例2.1]（2023•全国•高一专题练习）因工作需求，张先生的汽车一周需两次加同一种汽油.现张先生本周

按照以下两种方案加油（两次加油时油价不一样），甲方案：每次购买汽油的量一定；乙方案：每次加油

的钱数一定.问哪种加油的方案更经济？（）

A.甲方案B.乙方案C.一样D.无法确定

【解题思路】设两次加油的油价分别为x,y（%y>0,且,分别计算两种方案的平均油价，然后

比较即得.

【解答过程】设两次加油的油价分别为％,y（x,y>0,且不Hy）,甲方案每次加油的量为Q（Q>0）；乙方

案每次加油的钱数为匕（b>0）,

则甲方案的平均油价为：手=?，乙方案的平均油价为：当=二=华，

Na2x—4—y—x+—yx+y

因为左一型=3>o,

2x+y2（x+y）

所以中〉竽，即乙方案更经济.

2x±y

故选:B.

【例2.2](2023•全国•高三专题练习)某城市有一个面积为1km?的矩形广场，该广场为黄金矩形(它的宽

与长的比为与)，现在在中央设计一个矩形草坪，四周是等宽的步行道，能否设计恰当的步行道的宽度使

矩形草坪为黄金矩形？则下列选项正确的是()

A.步行道的宽度10mB.步行道的宽度20m

C.步行道的宽度3UmD.草坪不可能为黄金矩形

【解题思路】分别设草坪的长、宽，利用等求解.

aa+2m

【解答过程】设草坪的长、宽分别为a,b(b<a),步行道的宽度为

b_b+2m_b(a+2m)-a(b+27n)_2m(5_a)<0

aa+2ma(a+2m)a(a-2m)'

则2〈等=与1,...草坪不可能为黄金矩形.

aa+2m2

故选：D.

【变式2.1](2023秋・吉林・高一统考期末)用工和y分别表示民用住宅的窗户面积和地板面积(一般来讲，

窗户面积比地板面积小).显然，比值土越大，住宅的采光条件越好.当窗户面积和地板面积同时增加，时,

y

住宅的采光条件会得到改善(单位：n^).现将这一事实表示为不等式，以下正确的是()

A.(y>x>0J>0)B.(y>x>0J>0)

C.-y<—y+l(、x>/y>0J,>0)D.-y>—y+[(、x>y/>0,/>0)，

【解题思路】先列出窗户面积和地板面积同时增加前后的比值，通过作差法即可求解.

【解答过程】当x>0,y>0,，:>0时

最开始窗户面积和地板面积的比值为二

y

窗户面积和地板面积同时增加/后的比值为N，

y+i

则生_1_y(x+，)T(y+i)_

]y+i~y~~y(y+O--y(y+iY

所以当时，此时住宅的采光条件会得到改善.

y+iy

故选：A.

【变式2.2](2023・全国•高•专题练习)古希腊科学家阿基米德在《论平面图形的平衡》•书中提出了杠杆

原理，它是使用天平科物品的理论基础，当天平平衡时，左臂长与左盘物品质量的乘积等于右臀长与右盘

物品质量的乘积，某金店用一杆不准确的天平（两边臂不等长）称黄金，某顾客要购买10g黄金，售货员先

将5g的祛码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客：然后又将5g的祛码放入右盘，将另一-黄金放于

左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金（）

A.大于10gB.小于10gC.大于等于10gD.小于等于10g

【解题思路】设天平左臂长为Q,右僧长为b（不妨设。＞匕），先称得的黄金的实际质量为mi，后称得的黄

金的实际质量为tn?.根据天平平衡，列出等式，可得rn1,7H2表达式，利用作差法比较相】+巾2与I。的大小，

即可得答案.

【解答过程】解：由于天平的两臂不相等，故可设天平左臂长为如右臂长为匕（不妨设Q＞6）,

先称得的黄金的实际质量为后称得的黄金的实际质量为爪2・

由杠杆的平衡原理：bm1=czx5,am2=bxS.解得恤=*m2=

则叫+也=?+繁

下面比较m1+m2与10的大小：（作差比较法）

因为(叫+7712)-10=^+^-10=5(/：

因为"从所以智＞0,即叫+蛆＞10.

所以这样可知称出的黄金质量大于10g.

故选:A.

1.等式的基本性质

性质I如果a=b,那么b=a；

性质2如果a=b,b=c,那么a=c\

性质3如果a=b,那么a±c=b±a

性质4如果a=b,那么ac=bc；

性质5如果a=b.那么

<¥0,VU

2.不等式的性质

(1)如果a>b,那么b<a；如果b<a,那么“>/九即a>b<^>b<a.

(2)如果a>h,b>c,那么a>c.即a>〃，b>c=a>c.

(3)如果a>b,那么a+c>b+c.

(4)如果a>b,c>0,那么ac>bc\如果a>b,c<0,那么ac<bc.

(5)如果a>b,c>d,那么aIc>bId.

(6)如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd.

(7)如果。>。>0,那么/n>2).

考点剖析

【考点1利用不等式的性质判断正误】

[ftl.l]（2023春・广西高一校联考期中）下列命题为真命题的是（）

A.若Q<bV0,则QC2Vbe2B.若aVbV0,则M<匕2

C.若a>b,c>d,则ac>bdD.若a>b>c>0,贝「<：

ab

【解题思路】根据不等式的性质逐一判断即可.

【解答过程】对于A：当c=0时，ac2=be2=0,A错误；

对于B：当aVbvO时，a2>ab>b21B错误；

对于C：取a=2,b=l,c=-2,d=-3满足a>b,c>cl,而ac=-4,bd=-3,此时acVbd,C错误;

对于D：当Q>b>0时，则ab>0,所以3j即2■<；，又c>0,所以£<三D正确.

abababab

故选：D.

1.2]（2023・全国•高一专题练习）已知a>b,其中a、b€R,则下列不等式一定成立的是（）

A.a2>b2B.-a>-bC.\[a>\[bD.|a|>\b\

【解题思路】根据给定条件•，利用不等式性质判断B,C；举例说明判断A,D作答.

【解答过程】对于A,取a=l,b=-2,满足Q>b,而。2=1<4=力2,故A错误；

对于B,因a>b,则一aV-b,故B错误：

对于C,由不等式的性质知，若Q>b,则证>好，故C正确；

对于D,取Q=l,b=-2,满足Q>b,而|a|=1V2=|b|,故D错误.

故选：C.

【变式1.1]（2023春・山东滨州福二校考阶段练习）下列说法中正确的是（）

A.如果a>h,贝!Jac>beB.如果a>b,贝Uac?>foe2

C.如果知2>比2,则Q>bD.如果a>b,c>d,则QC>bd

【解题思路】ABD可举出反例，C选项，可利用不等式的性质进行证明.

【解•答过程】AB选项，若a=2,b=l,c=0,满足a>b,但此时ac=be,ac2=be2,AB错误；

C选项，如果碇2>尻2,则cwO,故c2>0,不等式两边同时除以c2,则a>b,C正确；

D选项，若a=4,6=-l,c=-2,d=-3,满足a>b,c>d,但ac=-8,bd=3,ac<bd,D错误.

故选:C.

【变式1.2](2023•高一课时练习)已知a,bWR+,Ka2-d2=1,贝U()

A.a-b<0B.a-b<lC.a4-b4<1D.Va-Vb>1

【解题思路】对于选项A：结合已知条件，利用不等式性质即可求解；对于选项BC：首先根据已知条件可

得到aa+匕，然后利用不等式性质即可求解；对于选项D：首先对迎和4+1平方，然后利用

a+b

作差法即可求解.

【解答过程】对于A：因为。2-匕2=1>0,故a2>b2,

又因为Q>0,b>0,所以Q>b,从而Q-b>0,故A错误；

对于B：由题意可知,a2—b2=(a—Z))(a+d)=1,

因为a>2?>0,所以a-b=」7<a+b,

a+b

故(a+b)2>l,即a+b>l,从而a—b=£，Vl,故B正确，

对于C：因为02—/；2=1,所以a2=i十

所以Q4,/,4=(a2_/J2)(Q2+匕2)=Q2+〃=1+/+/=1+2〃>1,故©错误；

对于选项D：因为(6)2-(VF+I)2=a-b-1-2Vb<0,

所以VH<Vd+1,即迎—VFvi,故D错误.

故选:B.

【考点2利用不等式的性质证明不等式】

【例2.1](2023•高一课时练习)若Q>b>0,c<d<0,e<0,求证：>广―

(Q-c)/(b-ay

【解题思路】先根据不等式性质判断a-c,b-d的大小关系，然后结合不等式性质可判断一的大

(Q-C；2(b—d)2

小关系，由此即可证明心,x的大小关系.

(a-c)27(br-d)2

【解答过程】证明：cvd<0,—c>—d>0.

又a>b>0,a—c>b-d>0.

则(a-c)2>(b-d)2>0,即^7<

(b-d)2

又：e<0,:'

(a-c)2(b-d)2"

【例2.2](2023•高一课时练习)(1)若从一〃企0,M>0,求证：中绊

ba

(2)已知C>4>/»(),求证：—>—

c-ac-b

【解题思路】⑴由不等式的性质，先得羽V，两边同时+1，即得证;

(2)由不等式的性质，先得到两边乘以c,可得£<：，两边同时-I,可得再两边取倒数,

ababab

即得证.

【解答过程】证明：(1)•:bc*l,bd>0,：,三?三

ab

・・.£+d+l,.••丝生空

dbbd

(2)Vc>«>/7>0,Ac—«>0,c-b>0.

・〃

•Z>>0,Aa-<7b

又・.・c>o,・・.£<£,UvR

abab

又力

c—4>0,c—>0,c-ac-b.

【变式2.1](2023•高一课时练习)利用不等式的性质证明下列不等式：

(1)若a<b,c<0,贝ij(a—b)c>0；

(2)若a<0,-1<d<0,则Qvab2<ab.

【解题思路】(1)可知Q—b>0,而c<0,即可得证；

(2)可知1>M>0>匕>-1,而QV0,即可得证；

【解答过程】(1)证明：•：a>b,

a—ft>0,

又cV0,

•••(a-b)c<0；

(2)证明：一1<b<0,0<川<1

1>b2>0>d>-1,

又a<0,

:.a<ab2<ab.

【变式2.2](2023•高一课时练习)已知三个不等式：①ab>0；②:〉/③be>ad.若以其中两个作为

条件，余下的一个作为结论，请写出一个真命题，并写出推理过程.

【解题思路】根据题意，运用不等式的性质推理即可.

【解答过程】解法1：®@=③，即若劭>0且bc>Qd,则£>£

ab

因为£>阻。6>0,

ab

所以£•ab>1•ab=加>ad,

ab

则命题成立.

解法2：①③=②，即若ab>0且则尻,ad.

ab

因为ab>0»所以;>0,

ab

又因为be>ad,

所以be.二>ad•==工>3

ababab

则命题成立.

【考点3利用不等式的性质求取值范围】

【例3.1］（2023•高一课时练习）己知1WQ+bS5,-1<a-b<3,求3a-2b的取值范用.

【解题思路】先把3a-2b转化为3a-2b=1（a+b）+1（a-b）,利用不等式的可乘性和同向不等式相加即

可求得.

【解答过程】设3a-2b=m（a+b）+n（a-b）,则有：

1

｛黑屋斗，解得：所以3a-2b=*a+b）+9（a-b）.

n~2

因为lWa+bW5,所以gWg（a+匕）WI，

因为一14Q-bW3,所以一:工久a-b）

所以-2w/Q+b）+q（Q-b）410,

即-2<3a-2b<10,

所以3a-2b的取值范围为［-2,10］.

【例3.2］（2023•高一课时练习）实数a、b满足-3%+后2,-l<a-d<4.

⑴求实数Q、b的取值范围；

⑵求3a-2/?的取值范围.

【解题思路】（1）由a=］（Q+b）+（a—b）］,［（。+6）-（。一叫根据不等式的性质计算可得；

（2）求出3Q-2b=g（Q+b）+g（Q-b）,再利用不等式的性质得解.

【解答过程】（1）解：由-3Wa+bW2,-l<a-b<4,

则a=；［（a+b）+（af）］，所以一4K（Q+匕）+（Q-b）W6，所以-2<；［（a+h）+（a-b）］<3，即一2<Q<3,

即实数Q的取值范围为［一2,3］.

因为/?=，［（a+b）-（Q-b）］，

由一1—4,

所以一4口一三1,所以一7W（a+b）-伍一匕）43,

所以一：4［（。+6）—（a—6）］工号

即实数b的取值范围为月,|].

(2)解：设3a—2b=m(a+b)+n(cz—b)=(7n+n)a+(zn—n)b,

则｛/n+n=3解得飞，

im-n=-2In=|

:.3a_2/?=g(a+b)+1(a—b)»

丁-3Wa+b42,—1MQ—。44.

.\-4<3a-2b<ll,

即3a-2b的取值范闱为［-4,11］.

【变式3.1］（2023•高一课时练习）设实数％,y满足14町/242,2<y<3,求胃的取值范围.

【解题思路】由己知有14（十）2”，则三嘉wi,又8W停）、27,

由同向不等式的可乘性即可得解.

【解答过程】解：•・•4=黑,8<g）3<27,l<（xy2）2<4,：.\<^<^即2工”27,

・,•芸的取值范围为［2,27］.

【变式3.2］（2023•高一课时练习）已知实数%,y分别满足，lv%<5,2<y<7.

（1）分别求2x+3y与4%-5y的取值范围：

（2）若xvy,试分别求x-y及］的取值范围.

【解题思路】（1）根据不等式的性质即可求出2%+3y与4%-5y的取值范围;

（2）根据不等式的性质结合“<y即可求解.

【解答过程】（1）;IV%<5,2Vy<7,

:.2<2x<10,6<3y<21,4<4x<20,-35<—5y<—10,

•••8<2x4-3y<31,-31<4%—5y<10.

（2）由条件则一6cx-y<3.

又因为％Vy=x-y<0,

从而可得一6<x-y<0；

111

由27

<y<-<-<-

7y2

<s

2

又因为％vy=；l,

从而=：<±<1.

7y

模块四课后作业

1.（2022.高一课时练习）下列说法正确的为（）

A.工与2的和是非负数，可表示为“％+2>0”

B.小明的身高为刀,小华的身高为y,则小明比小华矮可表示为“x>y”

C.△/BC的两边之和大于第三边，记三边分别为a,b.c,则可表示为“a+b>c且a+cAb且b+c>

D.若某天的最低温度为7℃,最高温度为13℃,则这天的温度t可表示为“79VtV13C”

【解题思路】ABD选项，利用不等式表达不等关系均有错误，C选项为正确表达.

【解答过程】对于A,应表示为“X+2N0”，

对于B,应表示为“x<y”，

对于D,应表示为“7℃WCW13C”,

故A,B,D错误.

故选：C.

2.（2023・高一课时练习）下列各式中，不能判断其符号的是（）

A.a2+0+1B.a2—a+1C.|a|+a+1D.a2+|a|-1

【解题思路】利用配方法可判断AB；利用绝对值的定义可判断C,利用特值法可判断D.

2

【解答过程】Q2+Q+I=（Q+y+2>0,故A正确；

2

a2-a+1=（a-I）+：>0，故B正确；

当a20时，|a|+a+1=2a+1>0；当a<0时，|a|+a+1=1>0,故C正确；

当a=0时,a2+|a|-1=-1：当a=1时,a2+|a|-1=1；当a=1时,a24-|a|-1=0,则a2+|a|-1

的值可正，可负，也可能为0,故D错误.

故选:D.

3.（2023・云南曲靖•校考模拟预测）某学生月考数学成绩x不低于100分，英语成绩），和语文成绩z的总

成绩高于200分且低于240分，用不等式组表示为（）

（x>100（x>100

A，（200<y+z<240-（200<y+z<240

（x>100（x>100

C*（200<y+z<240（200<y4-z<240

【解题思路】利用题设条件即得.

【解答过程】数学成绩%不低于ICO分表示为％>100,英语成绩），和语文成绩z的总成绩高于200分且低

于240分表示为200<y+z<240,即［oo<^+z<240'

故选：D.

4.（2023・全国•高一专题练习）下列不等式正确的是（）

A.若ac2>be2,则Q>b

B.若a则ba<b

C.若a+b>0,c—b>0,则a>c

D.若Q>0,b>0,m>0,且avb,则^

b+mb

【解题思路】举例说明选项ABC错误；利用作差法证明选项D正确.

【解答过程】对于A,当c=0,a=-1,b=2时满足QC?之be?,但avb,所以A错误；

对于B,当c=—1,a=—2,b=—3时，满足£>：,但a>b,所以B错误；

ab

对于C,由不等式的基本性质易知a+c>0,当Q=-1,/?=c=2时满足a+6>0,c-b>0,但Q<c,

所以c错误；

对于D,产-W=3+吗<+*=浮塔=0