直线的方程（二）-人教A版高中数学选择性必修第一册（原卷版+解析）

第08讲直线的方程（二）

【人教A版2019】

1.求直线方程的一般方法

（1）直接法

直线方程形式的选择方法：

①已知•点常选择点斜式；

②已知斜率选择斜截式或点斜式；

③已知在两坐标轴上的截距用截距式；

④已知两点用两点式，应注意两点横、纵坐标相等的情况.

（2）待定系数法

先设出直线的方程，再根据已知条件求出未知系数，最后代入直线方程.

利用待定系数法求直线方程的步骤：①设方程；②求系数：③代入方程得直线方程.

若已知直线过定点力（刈,%），则可以利用直线的点斜式y—%=h（x—Xo）求方程，也可以利用斜截式、截

距式等求解（利用点斜式或斜截式时要注意斜率不存在的情况）.

考点剖析

【考点1求直线方程】

【例1.1］（2023春・贵州•高二校联考阶段练习）经过点（-2,1）,且倾斜角为135。的直线的方程是（）

A.x-y+3=0B.x+y+3=0

C.x+y+l=0D.x+y-1=0

【例1.2］（2023秋・江苏徐州•高二统考期末）在y轴上截距为-2,倾斜角为60。的直线方程为（）

A.V3x-y-2=0B.x-V3y-2A/3=0

C.V3x-y+2=0D.x-V3y+2=0

【变式1.1］（2023春•上海浦东新•高二统考期中）若直线，经过点力（2,-3）、8（3,1）,则以下不是直线/的

方程的为()

A.y+3=4(x—2)B.y—1=4(x—3)

八444八ny+3x-2

C.4x-zy—11=0D.—1=—4

【变式1.2](2023秋・吉林・高二校联考期末)过点(3,-6)且在两坐标轴上截距相等的直线的方程是()

A.2x+y=0B.x4-y+3=0

C.x-y+3=0D.无+、+3=。或2%+〉二。

【考点2直线过定点问题】

【例2.1](2023•全国•高二专题练习)直线依-y+1=3%当k变动时，所有直线恒过定点坐标为()

A.(0,0)B.(0,1)C.(3,1)D.(2,1)

【例2.2](2023•全国•高三专题练习)直线/：(k+l)x+2ky+3k-l=0经过定点4,则4的纵坐标为()

A.-2B.-1C.1D.2

【变式2.1](2023•全国•高二专题练习)已知直线(2/1+l)x-Ay-2(A+1)=0(AeR)恒过定点M,则点M

的坐标为().

A.(-2,2)B.(-2,-2)C.(2,-2)D.(2,2)

【变式2.2](2023•吉林通化•校考模拟预测)若直线依一y+2k-l=0恒过点A,点八也在直线mx+7iy+

2=0[：.,其中m,九均为正数，则nm的最大值为()

A.-B.-C.1D.2

42

1.两条直线的位置关系

斜截式一般式

/1：4逐+BiV+Ci=0(4?+W0)

/i：y=hr+81

方程

h:y=kvc+b2

l2:A2x+B2y+C2=0(A2+B20)

AlB2-A2B1i=0(当4凡WO时，记为小姿氏)

相交豆*瓦

44+5182=0(当时，记为劣生__1)

垂直k\-k2=-\瓦・瓦=―

（45-45=0或J4以一儿为二。

装0\4c2-42G=0

\BXC2-B.G

平行kkk?旦

（当A282c2于0时，记为生=旦Q）

A2B?。2

AI=L42,^I=XZ?2,CI=XC2（V0）

重合ki=k2且bi=bi（当月232c2/0时,记为4=且=5）

A-2B-2Q

考点剖析

【考点1求与己知直线垂直的直线方程】

【例1.1]（2023秋•高二课时练习）经过点（1,2）,且与直线2x+y-10=0垂直的直线方程为（）

A.z—2y+3=0B.%4-2y—3=0C.x—2y-3=0D.2x+y-3=0

【例1.2]（2023•高三课时练习）已知A（3,l）,8（1,-2）,则过点C且与线段A8垂直的直线方程为

（）.

A.3x+2y-5=0B.3x-2y-1=0

C.2x—3y+1=0D.2x+3y—5=0

【变式1.1]（2023•高二课时练习）在过点（2,1）的所有直线中，与原点距离最远的直线方程是（）

A.x+2y-5=0B.2x+y-5=0

C.2,x+3y—7=0D.3x+2y—8=0

【变式1.2]（2023•吉林•统考模拟预测）△A8C中,4（3,2）,8（1,1）,。（2,3）,则48边上的高所在的直线方

程是（）

A.2x+y-7=0B.2x-y-1=0

C.x+2y-8=0D.x-2y+4=0

【考点2求与已知直线平行的直线方程】

【例2.1]（2023秋.高二课时练习）经过点（1,2）,且平行于直线2x-3y+5=0的直线方程为（）

A.2%-3y+4=0B.2x-3y4-2=0C.3x-2y+4=0D.3x-2y4-2=0

【例2.2]（2023秋・安徽阜阳•高二统考期末）若直线％2x—3y+4=0与%互相平行，且h过点（2J），则

直线，2的方程为（）

A.3x—2y-2=0B.3x—2y+2=0

C.2x-3y-1=0D.2x—3y+1=0

【变式2.1]（2023秋•陕西西安•高二校考期末）与直线y=-2z+3平行，且与直线y=3%+4交于4轴上

的同一点的直线方程是()

A.y=-2x4-4B.y=+4

C.y=-2Cx—8nD.y=-1x—8

’3/23

【变式2.2](2022秋•新疆伊犁•高二校考期中)过点P(l,2)作直线I,若点4(2,3)、8(4,-5)到它的距离相等,

则直线[的方程为()

A.4%+、-6=0或％=1B.3%4-2y-7=0

C.4%+y—6=0或3x+2y—7=0D.3%+2y—7=0或％=1

【考点3根据两直线平行或垂直求参数】

【例3.1](2023秋•广东广州•高二校考期末)若直线2%+6y-l=0与直线mx-2y+7=0垂直，则血=

()

2

A.-6B.6C.D.-2

【例3.2]（2023秋・吉林・高二校考期末）已知直线3mx+（n+2）y+l=0,直线。：（血-2卜+

（m+2）y+2=0,且，"/①则m的值为（）

A.-2B.-1C.-2或-1D.2

【变式3.1】（2023秋・青海西宁•高二统考期末）已知直线占21—y+1=0,2：3%+ay+7=0J3：bx+2y-

1=0,若LI%且，2〃％，则a-b的值为（）

A.-5B.5C.-7D.7

【变式3.2]（2022.全国.高一假期作业）己知a>0,b>0,直线5x+（a-4）y+1=0J2：2/JX+y-2=0,

且乙JLG，则-9十2的最小值为（）

1/a+l2b

A.2B.4C.1D.g

模块三'

1.直线方程的实际应用

利用直线方程解决实际问题，一般先根据实际情况建立直角坐标系，然后分析直线斜率是否存在，从

而能够为解决问题指明方向，避免解决问题出现盲目性.

考点剖析

【考点1直线方程的实际应用】

【例1.1］（2022•高二课时练习）有•根蜡烛点燃6min后，蜡烛长为17.4cm：点燃21min后，蜡烛长为8.4cm.

已知蜡烛长度1（cm）与燃烧时间《min）可以用直线方程表示，则这根蜡烛从点燃到燃尽共耗时（）

A.25minB.35minC.40minD.45min

【例1.2］（2022•高二课时练习）一根铁棒在40c时长12.506m,在80c时长12.512m.已知长度/（单位：

m）和温度，（单位：C）之间的关系可以用直线方程来表示，试求出这个方程，并根据这个方程求出这根

铁棒在100℃时的长度.

【变式1.1］（2023•高二课时练习）如图，在平面直角坐标系中，已如矩形A3CD的氏为2,宽为1,边AB、

CO分别在4轴、），轴的正半轴上，点A与坐标原点重合.现将矩形48C。沿某一条直线折叠，使点4落在线

段C。上，设此点为

D

O(A)

（1）若折痕的斜率为-1，求折痕所在的直线方程;

（2）若折痕所在的直线的斜率为A心为常数），试用攵表示点4的坐标，并求折痕所在的直线方程.

【变式1.2］（2022•高二课时练习）为了绿化城市，准备在如图所示的区域ABODE内修建一个矩形PQRD的

草坪，其中乙=Z.EDC=乙DCB=90°；点Q在48上，且PQ〃C。，QR1CO,经测量=70m,CD=80m,

DE=100m,AE=607儿问应如何设计才能使草坪的占地面枳最大？并求出最大面枳（精确到1m2）.

模块四课后作业

1.（2023秋・富二课时练习）不论加取何值，直线（瓶一1）%-），+2加-1=0都过定点（）

A.（1,-^）B.（-2,1）C.（2,3）D.（-2,3）

2.（2022秋•高二校考课时练习）若直线/的倾斜角是直线y=%-3的倾斜角的两倍，且直线/经过点（2,4）,

则直线/的方程为（）

A.y=2xB.x=4C.x=2D.y=2x-3

3.（2023春・安徽•高二校联考阶段练习）过点（1,3）且与直线2x+y-6=0平行的直线方程为（）

A.2x+y-5=0B.2%4-y+5=0

C.x—2y+5=0D.x—2y-5=0

4.（2023.广东深圳•校考模拟预测）"a=（是“直线%+2"-1=0与直线（a-l）x-ay-1=0平行”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.（2022秋.河南郑州•高二校考阶段练习）已知直线，:8x—y+l=0与），轴的交点为A,把直线/绕着点

A逆时针旋转90。得直线，'，则直线/'的力程为（）

A.x+V3y+V3=0B.x+x/3y-1=0

C.x+V3y-V3=0D.V3x4-y-1=0

6.（2023・江苏•高二假期作业）已知直线771%+4丫-2=0与直线2*-5丫+?1=0互相垂直，垂足为（Lp）.

则m+n—p等于（）

A.24B.20C.4D.0

7.(2022秋・湖南郴州•高二校考阶段练习)若点尸(%,yO)是直线1：Ax+By+C=0外-点，则方程+By+

C-(Ax0+By0+C)=0表示()

A.过点P且与，垂直的直线B.过点P且与Z平厅的直线

C.不过点P且与，垂直的直线D.不过点P且与/平行的直线

8.(2023・全国•高三专题练习)数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一

直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线.已知△ABC

的顶点41,0),仅0,2),且AC=3C,则△48C的欧拉线的方程为()

A.4x+2)，+3=0B.2x-4y+3=0

C.x—2y+3=0D.2r—)，+3=()

9.(2022秋•河北石家庄•高二统考期中)已知点A(-l,6),8(0,1),若直线E:(2k+l)x-(k-2)y+(k+8)=0

与线段A8有交点，则直线/斜率的取值范围为()

A.[-1,1]B.(-co,-l]u[1,+co)C.(-co,-l]u[0,1]D,[-1,0]U

[L+8)

10.(2023・全国•高二专题练习)设m6R,过定点力的动直线%+my=0和过定点8的动直线mx-y—m+

3=0相交于点P(「与力,8不重合)，则△P48面积的最大值是()

A.V10B.5C.2V5D.|

11.(2023春•甘肃武威•高二统考开学考试)已知在第一象限的△力中,4(1,1),3(5,1),乙4=60。/。=45。,

求：

(1M8边所在直线的方程；

(2)AC边与8c边所在直线的方程.

12.(2023秋・安徽蚌埠•高二统考期末)已知直线，i：x+ay-a=0和直线必ax-(2a-3)y+a-2=0.

(1商』2,求实数a的值;

(2)若kII%，求实数a的值•

13.(2023・全国•高二专题练习)求满足下列条件的直线的方程.

(1)经过点4(3,2),且与直线4x+y-2=0平行：

(2)经过点C(2,-3),且平行于过M(l,2)和N(—1,5)两点的直线:

(3)经过点8(3,0),且与直线2%+y-5=0垂直.

14.(2023春・湖南常德•高二校考期中)己知直线［的方程为(a+l)x+y-5-2a=0(aWR).

(1)求直线［过的定点尸的坐标；

⑵直线，与x轴正半轴和)，轴正半轴分别交于点A,B，当AAOB面积最小时，求直线，的方程;

15.(2022秋•海南海口•高二校考期中)如图，在道路边安装路灯,路面0。宽秋V5m,灯柱08高14m,

灯杆A8与地面所成角为30。.路灯采用锥形灯罩，灯罩轴线AC与灯杆A4垂直，轴线AC,灯杆A/3都在

灯柱OB和路面宽线OD确定的平面内.

(1)当灯杆长度为多少时，灯罩轴线AC正好通过路面。。的中线？

(2)如果灯罩轴线AC正好通过路面。。的中线，此时有一高2.5m的警示牌直立在C处，求警示牌在该路

灯灯光下的影子长度.

第08讲直线的方程（二）

【人教A版2019】

1.求直线方程的一般方法

（1）直接法

直线方程形式的选择方法：

①已知一点常选择点斜式；

②已知斜率选择斜截式或点斜式：

③已知在两坐标轴上的截距用截距式；

④已知两点用两点式，应注意两点横、纵坐标相等的情况.

（2）待定系数法

先设出直线的方程，再根据已知条件求出未知系数，最后代入直线方程.

利用待定系数法求直线方程的步骤：①设方程；②求系数；③代入方程得直线方程.

若已知直线过定点力（初外），则可以利用直线的点斜式y—%=h（x—X。）求方程，也可以利用斜截式、截

距式等求解（利用点斜式或斜械式时要注意斜率不存在的情况）.

考点剖析

【考点1求直线方程】

【例1.1］（2023春・贵州•高二校联考阶段练习）经过点（-2,1）,且倾斜角为135。的直线的方程是（）

A.x-y+3=0B.x+y+3=0

C.x+y+l=0D.x+y—1=0

【解题思路】根据倾斜角求得斜率，再利用点斜式后化为一般式即可.

【解答过程】因为倾斜角为135。，所以斜率为tanl35。=-1,由点斜式可得直线的方程为:y-l=-l（x+2）,

化简得x+y+1=0.

故透:C.

【例1.2］（2023秋.江苏徐州.高二统考期末）在y轴上截距为-2,倾斜角为60。的直线方程为（）

A.V3x—y-2=0B.x—V3y-2V3=0

C.V3x-y+2=0D.x-V3y+2=0

【解题思路】根据斜截式直接整理可得.

【解答过程】因为倾斜角为60。，所以斜率攵=75.

由斜截式可得直线方程为：y=V3x-2,即&x—y-2=0.

故选：A.

【变式1.1］（2023春•上海浦东新•高二统考期中）若直线/经过点4（2,-3）、8（3,1）,则以下不是直线/的

方程的为（）

A.y4-3=4（%—2）B.y-1=4（%—3）

C.4x-y-11=0Dy^3=x-2

【解题思路】先求直线/的一般方程，逐项分析判断.

【解答过程】直线/的方程为鬻=言，整理得4%-丫-11=0,故C正确；

对于A：由y+3=4（》—2）整理得4x-y-11=0,故A正确；

对干B：由y-l=4（工一3）整理得4x—y—ll=0,故B正确；

对于D：由彳=等整理得％-4y-14=0,故D错误；

故选:D.

【变式1.2］（2023秋・吉林・高二校联考期末）过点（3,-6）且在两坐标轴上截距相等的直线的方程是（）

A.2x+y=0B.x+y+3=0

C.x-y+3=0D.%+y+3=0或2%+y=0

【解题思路】由题意，分截距为0或不为0两种情况，分别设对应的直线方程，代入已知点，可得答案.

【解答过程】显然，所求直线的斜率存在.

当两截距均为0时，设直线方程为y=kx,将点（3,-6）代入得k=-2,此时直线方程为2x+y=0；

当两截距均不为0时，设直线方程为：+（=l,（QH0）,将点（3,-6）代入得。二一3,此时直线方程为x+y+

3=0.

故选:D.

【考点2直线过定点问题】

【例2.1］（2023•全国•高二专题练习）直线质—y+l=3匕当k变动时，所有直线恒过定点坐标为（）

A.(0,0)B.(0,1)C.(3,1)D.(2,1)

【解题思路】整理所得直线方程为k(x-3)—y+l=0,根据题意，即可求得结果.

【解答过程】把直线方程整理为-3)-y+1=0,

令I；，3：。故乃：；，所以直线恒过定点为(3,1).

(-y十1一v(y_1

故选:C.

【例2.2](2023•全国•高三专题练习)直线/：(k+l)x+2ky+3k-l=。经过定点A,则人的纵坐标为()

A.-2B.-1C.1D.2

【解题思路】转化直线方程为k(x+2y+3)+x-1=0,令工即得解

x十Ly"To-U

【解答过程】由(k+l)x+2ky+3k-1=0,得k(x+2y+3)+%-1=0,

令｛x苍上>得y=-2・

故选：A.

【变式2.1](2023•全国•高二专题练习)已如直.线(2/1+1)太一村一2(/1+1)=0(/1eR)恒过定点M,则点M

的坐标为().

A.(-2,2)B.(-2,-2)C.(2,-2)D.(2,2)

【解题思路】由(24+l)x-Ay-2(A+D=0(AeR)恒成立得°可得定点.

【解答过程】由(22+1)%2(2+1)=0(2EA)得，A(2X-y-2)+(x-2)=0

因为2eR恒成立，

所以解得所以恒过定点(2,2)

故选:D.

【变式2.2](2023•吉林通化•校考模拟预测)若直线依-y+2k-l=0恒过点4,点4也在直线mx+ny+

2=0上，其中m,n均为正数，则nrn的最大值为()

A,《B.|C.1D.2

【解题思路】根据直线的定点可得4(-2,-1),进而可得2m+〃=2,结合基本不等式运算求解.

【解答过程】因为k%-y+2k-1=0,则k(x+2)—(y+1)=0,

令即:”得疼二1

即直线A%—y+2k—1=0恒过点4(—2,-1).

又因为点A也在直线mx+ny+2=0上，则一2TH—n4-2=0,

可得2?n+n=2,且m,">0,

贝ij2m+n=2>2\/2mn,即0<m九<当且仅当2m=九=1时，等号成立

所以mn的最大值为去

故选：B.

1.两条直线的位置关系

斜截式一般式

/i：4i+B]u+G=0（42+式装0）

/i:y=k\x+b\

方程

h:=>女冰也

l2-.A2x+B2y+G=0（Af+Bl*Oi

儿耳一人厉WO（当月282,0时，记为4,Bi）

相交41邦2瓦力瓦

442+5氏=0（当为4工0时，记为4A2,

垂直ki-k2=-\k'k=—1

（AIB.2—A2BI=0或J482—42为=0

[—82G芋0\4c2-42G*0

平行且b#bi

（当A/2c2于0时，记为4.=旦Q）

A-iB-2。2

AI=Z42,^I=XB2,CI=）VC2（杼0）

重合心=女2且b\=bi（当月282。2彳0时，记为&=旦=5）

A2~B2~C2

考点剖析

【考点1求与已知直线垂直的直线方程】

1.11（2023秋•高二课时练习）经过点（1,2）,且与直线2x+y-10=0垂直的直线方程为（）

A.X—2y+3=0B.x+2y—3=0C.x—2y-3=0D.2x4-y—3=0

【解题思路】根据给定条件•，设出所求的直线方程，利用待定系数法求解作答.

【解答过程】设与直线2%+y-10=0垂直的直线方程为3-2y+m=0,于是1-2x2+m=0,解得m=

3,

所以所求的直线方程为％-2y+3=0.

故选：A.

【例1.2]（2023•高三课时练习）已知力⑶1）,5（1,-2）,C（l,l）,则过点C且与线段AB垂直的直线方程为

（）.

A.3x+2y—5=0B.3x—2y—1=0

C.2x-3y+1=0D.2x+3y-5=0

【解题思路】求出直线48的斜率，可得其垂线的斜率，再利用点斜式可求出答案

【解答过程】解：因为/〈.=?[=?，

1-3N

所以与垂直的直线的斜率为-|,

所以过点。且与线段力B垂直的直线方程为

y-1=——（%—1）,即2%+3y—5=0,

3

故选：D.

【变式1.1]（2023•向二课时练习）在过点（2,1）的所有直线中，与原点距离最远的直线方程是（）

A.x+2y-5=0B.2x4-y-5=0

C.2x+3y—7=0D.3x+2y—8=0

【解题思路】根据与原点距离最远的直线是与原点与（2,1）连线垂直的直线，根据垂直关系求解斜率，进

而由点斜式即可求解直线方程.

【解答过程】在过点（2,1）的所有直线中，与原点距离最远的直线是与原点与（2,1）连线垂直的直线，过

（2,1）和（0,0）的直线斜率为点所以所求直线斜率为一2,由点斜式可得直线方程为、-1=一2（》-2）,即

2%+y—5=0,

故选：B.

【变式1.2]（2023•吉林・统考模拟预测）中,4（3,2）,8（1,1）,C（2,3）,则A8边上的高所在的直线方

程是（）

A.2x4-y-7=0B.2x—y—1=0

C.x4-2y-8=0D.x-2y+4=0

【解题思路】设力B边上的高所在的直线为Z,求出直线/的斜率，代入点斜式方程，整理即可得出答案.

【解答过程】设力8边上的高所在的直线为I,

由己知可得，k=^=所以直线/的斜率刖=一2.

AB•L—J4

又，过C（2,3）,所以，的方程为丫-3=-2（X-2）,

整理可得，2%+y—7=0.

故选：A.

【考点2求与己知直线平行的直线方程】

【例2.1］（2023秋•高二课时练习）经过点（1,2）,且平行于直线2x-3y+5=0的直线方程为（）

A.2%—3y+4=0B.2x—3y+2=0C.3x—2y+4=0D.3x—2y+2=0

【解题思路】先设出平行于直线2%-3y+5=0的直线系方程，再将点（1,2）代入方程，进而求得所求直线

的方程.

【解答过程】平行于直线2%-3y+5=0的直线方程可设为2x-3y+h=0（hH5）,

又所求直线过点（L2）,

则2x1-3x2+h=0,解之得h=4,

则所求直线为2x-3y+4=0.

故选：A.

【例2.2］（2023秋•安徽阜阳•高二统考期末）若直线小2%—3y+4=0与12互相平行，且。过点（2」），则

直线。的方程为（）

A.3x-2y-2=0B.3x-2y+2=0

C.2.x—3y—1=0D.2,x—3y+1=0

【解题思路】由两条直线平行得到斜率，进而通过点斜式求出直线方程.

【解答过程】由题意，。的斜率为泉则％的斜率为不又％过点（2,1），所以"的方程为：y-i=^（x-2）=>

2x-3y-1=0.

故选:C.

【变式2.1］（2023秋•陕西西安•高二校考期末）与直线、=一2汇+3平行，且与直线丫=3%+4交于％轴上

的同一点的直线方程是（）

A.y——2x+4B.y-4-4

厂r8c18

C.y=-2x一一D.y=-x——

’3'23

【解题思路】先求出直线y=3%+4交于“轴交点P（-：,0）,再设与直线y=-2工+3平行的直线方程尸=

»5

-2x+m,代入点的坐标得解.

【解答过程】设直线y=3%+4交于“轴于P点，令y=0,则％-P（-：,0）

所求直线与y=—2%+3平行，设y=—2%+m,把P(—：,0)

«5

代人得一2X(--)+771=0ATH=--

33

所求直线方程为：y=-2x-l

•3

故选：C.

【变式2.2](2022秋.新疆伊犁•高二校考期中)过点P(l,2)作直线人若点4(2,3)、B(4,-5)到它的距离相等，

则直线1的方程为()

A.4%+、-6=0或％=1B.3%4-2y—7=0

C.4x+y-6=。或3%+2y-7=0D.3%+2y-7=0或X=1

【解题思路】分两种情况讨论：Ql〃AB：②直线I过线段48的中点.求出两种情况下直线1的斜率，利用点斜

式可得出直线Z的方程.

【解答过程】分以下两种情况讨论：

①若〃则直线1的斜率为k=1^=n=一4,

此时，直线[的方程为y—2=-4(工一1),即4x+y-6=0；

②若直线I过线段4B的中点M(3,—l),则直线，的斜率为k=警=一?，

1—32

此时，直线I的方程为、一2二—|[》—1),即3x+2y—7=0.

综上所述，直线[的方程为4%+y-6=0或3%+2y-7=0.

故选：C.

【考点3根据两直线平行或垂直求参数】

【例3.1](2023秋・广东广州•高二校考期末)若直线2无+6y-1=0与直线mx-2y+7=0垂直,则m=()

A.-6B.6C.—\D.-2

3

【解题思路】由两条直线垂直的条件即可得解.

【解答过程】因为直线2x+6y-1=0与宜线m%-2y+7=0垂直，

所以27n+6x(-2)=0,得m=6,

所以m=6.

故选:B.

[ft3.2](2023秋・吉林.高二校考期末)已知直线37nx+(n+2)y+l=0,直线%：(6・2卜+

Si+2)y+2=0,且，J/G，则771的值为()

A.-2B.-1C.-2或-ID.2

【解题思路】若两直线4%+81y+G=0,A2X+B2y+C2=0平行，则为外一A2B.=。且4一42G牛。

或瓦。2-82clH0,求解机的值.

【解答过程】因为乙〃。，所以3m(m+2)-(m+2)(m-2)=0且2x3m—(m-2)工0,解得：m=-2或

-1,且mH综上：m的值为一2或一1.

故选：C.

【变式3.11(2023秋•青海西宁・高二统考期末)已知直线H2x-y+l=0J2:3x+ay+7=0,l3:bx+2y-

1=0,若I[1。且，2〃匕，则。一匕的值为()

A.-5B.5C.-7D.7

【解题思路】利用直线•般式下平行与垂直的性质求解即可.

【解答过程】因为2%—y+1=0/2：3%+ay+7=0/3：bx+2y—1=0,

所以由A1%，得2x3+(-l)xa=0,解得a=6,

由b〃，3,得;二号装彳,解得力=1，

所以a—6=5.

故选:B.

【变式3.2](2022•全国•高一假期作业)已知a>0,b>0,直线[：K+(a-4)y+1=0J2：2bx+y-2=0,

且4JL，2,则a+4的最小值为<>

A.2B.4C.-D.-

35

【解题思路】根据A得到。+1+26=5,再将六+泰化为积为定值的形式后，利用基本不等式可求得

结果.

【解答过程】因为，11%，所以2/>+。-4=0,即Q+1+28=5,

因为Q>0,b>0,所以Q+1>0,2b>0,

所以W+/=岛+£)x*a+l+2b)=*+含+等)2他+2号)/

当且仅当Q寸，等号成立.

24

故选：D.

模块三直线方程的实际应用

基础知识

1.直线方程的实际应用

利用直线方程解决实际问题，一般先根据实际情况建立宜角坐标系，然后分析直线斜率是否存在，从

而能够为解决问题指明方向，避免解决问题出现盲目性.

考点剖析

【考点1直线方程的实际应用】

【例1.1］（2022•高二课时练习）有一根蜡烛点燃6min后，蜡烛长为17.4cm；点燃21min后，蜡烛长为8.4cm.

已知蜡烛长度Z（cm）与燃烧时间/（min）可以用直线方程表示，则这根蜡烛从点燃到燃尽共耗时（）

A.25minB.35minC.40minD.45min

【解题思路】根据已知条件可知直线方程的斜率k及所过的点，进而得到直线方程，再求蜡烛从点燃到燃尽

所耗时间即可.

【解答过程】由题意知：蜡烛长度Z（cm）与燃烧时间”min）可以用直线方程，过（6,17.4）,（21,84）两点，故其

斜率八铃T

，直线方程为Z-8.4=-久1—21）,

・••当蜡烛燃尽时,有£-21=14,即£=35,

故选：B.

【例1.2］（2022•高二课时练习）一根铁棒在40℃时长12.506m,在80c时长12.512m.已知长度/（单位:

m）和温度/（单位：℃）之间的关系可以用直线方程来表示，试求出这个方程，并根据这个方程求出这根

铁棒在100C时的长度.

【解题思路】用直线的斜截式方程写出/与，的关系，再利用待定系数法求出方程并求解作答.

【解答过程】依题意，设/与，的关系式为：l=kt+b,是常数，

于是得得谊=:猊•解得｛"r吗黑"，

<12.512=80k+bIb=12.5

则i与1的关系式为Z=0.00015。十12.5,当「二100时，I=12.515,

所以所求直线的方程为，=0.00015t+12.5,铁棒在100C时的长度是12.515m.

【变式1.1］（2023•高三课时练习）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形4BCO的长为2,宽为1,边AB、

CO分别在工轴、），轴的正半轴上，点A与坐标原点重合.现将矩形A8C。沿某一条直线折叠，使点A落在线

段CO上，设此点为

y

D-----------------------|C

0(A)Bx

(1)若折痕的斜率为-1，求折痕所在的宣线方程；

(2)若折痕所在的直线的斜率为A1为常数)，试用2表示点4的坐标，并求折痕所在的直线方程.

【解题思路】(I)求得&的坐标，进而求得折痕所在直线方程.

(2)根据k是否为0进行分类讨论，结合中点和斜率求得折痕所在直线方程.

【解答过程】(1)设力1(勺,1)，由于折痕的斜率为一1，

所以直线的斜率为1,所以直线力为的方程为、=%,

由解得％=1，所以力式1,1),

所以力&的中点坐标为G,|)»

所以折痕所在的直线方程为y-l=-ix(x-1),即y=-无+1.

(2)当k=0时,，力式0,1),折痕所在直线方程为y=:

当A时，所以直线的斜率为一?

所以直线441的方程为y=一?,

由卜一2”解得x=-k,所以4(-k,1),

Iy=1

所以的中点坐标为(一13，

所以折痕所在的直线方程为y-9=k(%+],y=kx+?+%

k=0时，折痕y=T也符合上式，

综上所述，折痕所在的直线方程为y=+?

【变式1.2](2022•高二课时练习)为了绿化城市，准备在如图所示的区域"CDE内修建一个矩形PQRD的

草坪，其中乙4ED=Z.EDC=LDCB=90°；点Q在力B上，且PQ〃CD,QR1CD,经测量BC=70m,CD=80m,

DE=100m,4E=60m.问应如何设计才能使草坪的占地面枳最大？并求出最大面积(精确至!lzn?).

BL

【解题思路】如图，先以8c边所右直线为x轴，以4E边所在直线为y轴建立平面直角坐标系，求得直线48的

方程，再设出Q坐标，由矩形面积公式建立模型，然后利用二次函数的基本性质求其最值.

【解答过程】如图，以BC边所在直线为x轴，以4E边所在直线为y轴建立平面直角坐标系，

则4(0,20),8(30,0).

所以直线48的方程为：4-^=1,即y=20-凯设Q1,20-争,

则矩形PQR。的面积为S=(100-%)[80-(20-y)](0<x<30),

化简，得5=-|/+弓工+6000(0工4430),

配方，S=--(%-5)2+6000+-(0<x<30),

33

易得当x=5,y=日时，S最大，其最大值为Smax之6017m2.

模块四课后作业O

1.(2023秋•高一课时练习)不论m取何值，直线(m-l)x-y+2m-1=0都过定点(

A.(1,三)B.(-2,1)C.(2,3)D.(-2,3)

【解题思路】根据题意整理得mG+2)—a+y+l)=0,令求解即可得定点.

【解答过程】因为(7H-l)x-y+2771-1=0,整理得m(x+2)-(％+y+1)=0,

x=-2

令

「第S，解得y=1

所以直线过定点（一2,1）.

故选:B.

2.（2022秋•高二校考课时练习）若直线/的倾斜角是直线y=x-3的倾斜角的两倍，且直线，经过点（2,4）,

则直线/的方程为（）

A.y=2xB.x=4C.x=2D.y=2x-3

【解题思路】根据y=x-3的倾斜角求出直线/的倾斜角即可得到直线/的方程

【解答过程】因为直线y=x-3的斜率为1,所以其倾斜角等于45。,于是直线/的倾斜角等于90。,则其斜率不

存在.又直线/过点（2,4）,所以直线/的方程为％=2.

故选:C.

3.（2023春・安徽•高二校联考阶段练习）过点（1,3）且与直线勿+y-6=0平行的直线方程为（）

A.2x+y-5=0B.2x+y+5=0

C.x—2y+5=0D.x—2y—5=0

【解题思路】与直线2x+y-6=0平行，计算出斜率，用点斜式写出直线方程即可.

【解答过程】直线2无+7一6=0的斜率为-2,所以所求直线的方程为y—3=—2（x—1）,

即+y-5=0.

故选：A.

4.（2023•广东深圳•校考模拟预测）"Q=窃是”直线x+2ay-1=0与直线（a-l）x-ay-l=0平行”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【解题思路】由两直线平行得出a的值，再结合充分条件和必要条件的定义判断即可.

【解答过程】若直线％+2ay-l=0与直线（a-1）%-ay-1=0平行，则有［匕（二印一?解

11x（-1）。•（a-1）,

得a=0或Q=%所以当Q=：时，直线x+2ay—l=0与直线（。一1）%-。、-1=0平行，当直线％+2ay—

1=0与直线（a-l）x-ay-1=0平行时，Q=0或a=

故选:A.

5.（2022秋・河南郑州•高二校考阶段练习）已知直线上百x-y+l=0与），轴的交点为A,把直线/绕着点

A逆时针旋转90。得直线匕则直线厂的方程为（）

A.x+>j3y+V3=0B.x+x/3y-1=0

C.x4->/3y—\/3=0D.+y-1=0

【解题思路】由题可得，'1晨设出直线方程，代入点A即可求出.

【解答过程】解析：易知力(0,1),根据题意，f1/,可设直线/'的方程为x+By+m=0，

把点4的坐标代入得m=-V3,所以直线，'的方程为％+V3y-V3=0.

故选：C.

6.(2023・江苏•高二假期作业)已知直线mx+4y-2=0与直线2%-5y+n=0互相垂直，垂足为(l,p).

则?n+n-Q等于()

A.24B.20C.4D.0

【解题思路】由两直线垂直得m=10,进而根据垂足是两条直线的交点代入计算即可得答案.

【解答过程】由两直线垂直得m・2+4x(-5)=。，解得m=10,

所以原直线直线7nx+4y-2=0可写为10%+4y—2=0,

又因为垂足为(Lp)同时满足两直线方程,

用打碎A检，10xl+4p-2=0

所八代人心（2x1-5p+n=0'

解得｛。=一0