第1节：数与式（学生版）

第1讲：数与式

【考点梳理】

/考点一：乘法公式的应用

/考点二：根式的求值化简

/考点三：指数与指数幕的运算

/考点四：数的比较大小和估算

/考点五：数与式的应用问题

【知识梳理】

知识点一、乘法公式

【公式1】平方差公式：一从=3+蚁。一切

【公式2】完全平方公式：(a±by=a2±2ab+b2

【公式3】完全立方公式：(。士与3="±3/力+3。从±63

【公式4】(a+b+c)2=a~+b2+c2+2ab+2bc+2ca(完全平方公式)

【公式5](a+h)(a2-ah+b2)="+护(立方和公式)

【公式6](a-b)(a2ah-^-b1)=a-(立方差公式)

知识点二、指数式

(1)当〃wN时，a"=«4二…q.当〃wQ时，⑴零指数。°=1(。*0),

〃个。

⑵负指数。一"=/(〃，()).

n__

⑶分数指数二折(。>0,〃?,〃为正整数).

”(2)(1)”=能'(3)触)"=anbn(a,b>0,帆,〃eZ).⑷匕=am-n

幕运算法则:(\)am-an

C-t

知识点三、根式：式子&(a>0)叫做二次根式，其性质如下：

(I)(x/^z)2=a(a>0)⑵

(3)s[cib=>[a•4b(a>0,b>0)(4)>0,Z?>0)

如果有炉=4,那么X叫做。的〃次方根，其中〃为大于1的整数.

当n为奇数时，折=。，当n为偶数时，海=|〃|=2/9n.

—ci、a<u

知识点四、分式：当分式4的分子、分母中至少有一个是分式时，4就叫做繁分式，繁分式的化简常用以下两种

BB

方法：

（1）利用除法法则；（2）利用分式的基本性质.

【题型归纳】

题型一：乘法公式的应用

I.（2025高一•全国・专题练习）式子（。-与（片+6）可恒等变形为（）

A.as-b3B.a'-2ab+b'

C.a3+ab2-a2b-l>D.o'-ab2+a2b-b'

2.（2025高一全国专题练习）式子42—4x+4+x—2可恒等变形为（）

A.2x—4B.4-2x

C.|x-2|+x-2D.|x4-2|+x—2

3.（25-26高一上•全国•课前预习）已知〃?是方程V+x-1=0的一个根，求代数式W+lf+W+1乂〃-1）的值.

4.（25-26高一•上海假期作业）已知d+x—1=0，求证：（x+尸-（犬一l）3=8—6.r.

题型二：根式的求值化简

5.（25-26高一上•湖北武汉•阶段练习）后7+依-4）4-OS;（）

A.16—兀B.兀C.一兀D.-K-8

6.（25-26高一上•宁夏银川•阶段练习）若J（3a-l）2=Jl-3a）3,则实数。的取值范围为.

7.（25-26高一上•全国•课后作业）计算y（l+0）3+y（l—&）4的值为.

8.（25-26高一上•全国•课前预习）化笥下列各式：

（1）^7；

（2）7（7r-4）2+^（7r-4）?；

⑶曲一兴皿）；

（4府+#（j），.

题型三：指数与指数幕的运算

9.（25-26高一上•全国）设。＞0，下列运算中，正确的是（）

A././/B.（—/）'=（—/丫

C-（-/）=-"、D.

10.（25-26高一上•江西赣州开学考试）下列运算正确的是（）

A.a2ay=abB.（-2«2）3=-6/

C.（3«+l）（3a-1）-9«2-lD.（2々3一.2）+2〃-2"1

11.（25-26高一上•河北张家口•阶段练习）回答下面两个题：

空（3」n

⑴化简：6加炉+3〃.

（2）若x+E=9,求下列各式的值：

①『十一；②）+/

12.（25-26高一・上海•课堂例题）（1）已知，+■=«,求x—V的值；

（2）已知V、V，求第4邛的值.

23Vx-x/yyjx+Jy

题型四：数的比较大小和估算

13.（25-26高一上逢国课前预习）比较2,后,近的大小，正确的是（）

A.5<2<逐B.2<^7<>/5

C.2<旧<币D.y/5<^7<2

14.（25-26高一上•全国•课前预习）7向，2x/506,45三个数的大小关系是（）

A.7x/44<27506<45B.2>/506<45<7x/44

C.7>/44<45<2>/506D.45<2>/506<7A

15.（25-26高一上•重庆・开学考试）估计jJ1+26x石的值应在（）

A.8和9之间B.9和10之间

C.10和11之间D.1和12之间

16.（25-26高一上•重庆•开学考试）估计&（厄+6）的值在（）

A.9和10之间B.10和11之间

C.11和12之间D.12和13之间

题型五：数与式的应用问题

17.（25-26高一上•四川成都）计算：

⑴屈-2屈+厉-而

（2）2gx且子加

4

⑶（6+2⑹（有-2⑹

（4）x/3x（V6-V2）-（2>/2-l）2

18.（25-26高一上・贵州遵义・阶段练习）（1）已知工>1,,求的值；

X.X

(2)已知/+6+,2=14,a+b+c=6，求而+庆+讹的值.

(3)已知4-/?=五+\,b-c=V2-1,a2+b2+c2—ab—ac—be

19.(25-26高一上•福建泉州•开学考试)配方法是数学中重要的思想方法之一，它是指将一个式子的某一部分通过

恒等变形化为一个完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的

意义来解决一些问题.我们定义：一人整数能表示成〃2+〃2(小〃是正整数)的形式，则称这个数为，，完美数「例如，

5是“完美数,、，理由：因为5=2、/，所以5是,完美数

解决问题

(1)已知29是“完美数、’，请将它写成/+从3、〃是正整数)的形式；

(2)若Y-6X+13可配方成(工一，〃)2+，/(利、〃为正整数)，贝卜〃〃=;

探究问题

(3)已知S=V+4.尸+4x72)，+%(人)，是整数，攵是常数)，要使，为“完美数”，试求出符合条件的一个人值，并

说明理由.

20.(25-26高一上•江西南昌开学考试)阅读材料：运用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式

以外，还可以应用其他公式，如立方和与立方差公式，其公式如下：

立方和公式：/+y3=(x+y)(x2-y2)；

立方差公式：/一：/=(%-用，+不，+)，2)

根据材料和已学知识解决下列问题

(1)因式分解：/一8；

„——(3xx2+2x4-4^2-

(2)先化简，再求值：।—---------：—7—p-—―-,其中x=3.

yx-2xx-8)x-4

(3)利用材料因式分解:炉+3寸—4

【专题突破】

一、单选题

I.（25-26高一上•全国•课前预习）下列结论正确的是（）

A.-V（-6）2=-6B•（-厉=9

C.J（-16）2=±16D.—

2.（25-26高一上•全国•课前预习）一个自然数的算术平方根为。，则和这个自然数相邻的下一个自然数是（）

A.a+1B.a2+\C.J.'+]D.yja+1

3.（2526高一上•全国•课前预习）下列运算:其中结果正确的个数为（）

2yh6

©a-a=a②（/=a

③（ab^=a'b，④"+=a

A.1B.2C.3D.4

4.（25-26高一上•全国•课前预习）如图所示，数轴上表示2,6的对应点分别为C,8,点。是的中点，则点

A表示的数是（）

ACB

~Q11A«

A.-y[5B.2-5/5C.4-V5D.V5-2

5.（2526高一上•全国•课前预习）若M+1的值在两个整数。与a+1之间，贝匹=（）

A.4B.5C.6D.7

6.（25-26高一・上海•假期作业）若r+/+z2=4,x+y+z=2>/2，贝ij,昼+初+）2=（）.

A.1B.2C.3D.4

7.（2025高一•全国・专题练习）计算工+工+—+L+—!—的值为（）

2x44x66x898x100（）

49n147八Ic294

A.-----B.-----C・-----D.-----

200100200200

8.（2025高一.全国・专题练习）式子j可恒等变形为（）

A.——X2B.-+x2C.-V2—7D.——I

厂厂x~x~

9.（25-26高一上•安徽芜湖•自主招生）设⑷表示不超过。的最大整数，如同=3,[-1.2]=-2，则

/।l+小8+4石=（）.

V16-6V7JL」

A.5B.6C.7D.8

二、多选题

9.（23-24高一上•湖南岳阳・开学考试）在数轴上和有理数〃，b,（,对应的点的位置如图示，下列四个结论正确的

是（）

abc

------1--------------1—•——•~।------>

-101x

2

A.a-2a-3>0B.\a-b\+\b-（]=\a-c\

C.（«+/?）（/?4-c）（6r+c）>0D.a2>|Z?c-l|

11、（23-24高一上•河南漂河阶段练习）已知<厂0+4*=3,下列各式中正确的是（）

A./赤+。-2/=7B.〃34+,尸赤=]8

12.（22-23高一上•江苏宿迁・开学考试）下列运算中，正确的有（）

A.0.2-'x^-1=1B.24+24=25

/.\2O2I

C.一（-3）2=9D.--xlO2022=-10

I10；

13.（23-24高一上•湖北孝感・开学考试）下列选项正确的有（）

A.已知犬_2工+1=0,则代数式(x—l『+x(x—4)+(x-2)(x+2)=0.

B.已知W—3x+l=(),贝1]/十二一3=15.

x

C.若a=/x+20,h=^x+\9,c=^x+2],贝ij"+尸+。2一。〃一历一比=3.

D.已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程2f—8x+7=0的两个根，则这个直角三角形的斜边长是

9.

14.(23-24高一上・江苏泰州•开学考试)在实数范围内定义一种运算”1,其运算法则为昉.根据这个法则，

下列结论中正确的是().

A.0*3=2-3夜

B.ga2+2ab+b2=0,则。*

C.方程(x+2)*(x+l)=。的根是王=-2,x2=0

D.若m,n是实数,则〃2*〃+〃=(“I—”)-

三、填空题

15.(25-26高一上.全国.课前预习)计算后+(专+2)=______.

16.(25-26高一上•全国•课前预习)满足及＜x(石的整数X是.

4

17.(25-26高一上•全国•课前预习)计算：工科«3&+3)+嚼渭=----

18.(2025高一•全国・专题练习)化简：.

yj/l+y/fl-l

19.(2025高一•全国・专题练习)已知〃+〃+°=4,42+//+°2=8，则必+bc+ca的值为.

20.(25-26高一・上海・假期作业)观察下列各式的规律：

(a-b)(a+b)=a2-b2

(a-b)(a2+ab+b2^=ay-/?'

(a-b)+a2b+ab2+)=/一b4

可得到(。一/力(/+〃"％+••+〃*+〃")=.(其中〃为正整数).

四、解答题

21.(25-26高一上•全国•课前预习)(I)已知"一时一^"。(^。力工。)，求2+£的值

ab

(2)已知/+9/一24+劭+2=0,求2a-3b的值.

22.(25-26高一上•全国•课前预习)计算：

⑴(75-1)2+2亚百-伪(6+&);

⑵缶-韭-泊卜-2厢•

23.(25-26高一•上海・假期作业)已知。+"c=0,他+A+c〃=-;，求下列各式的值：

[\)a2+b2+c~；

⑵/+/x*+c4.

24(25-26高一上海假期作业)已知的•为非零实数,(a2+b2+c2)\x2+/+z2)=(or+by+cz)2求证(=£：

25.(25-26高一上•四川成都・开学考试)何老师安排喜欢探究问题的小明解决某个问题前，先让小明看了一个有解

答过程的例题.

例：若+2〃"?+2〃2-6〃+9=0,求相和〃的值.

解：vfn2+2nm+2n2-6n+9=0,

22

•••ITT+2mn+n+n-6/i+9=0,

.••(/n+/i)2+(/?-3)2=0

，〃+〃=0,〃一3=0,所以〃?=-3,〃=3.

为什么要对21进行了拆项呢？

聪明的小明理解了例题解决问题的方法，很快解决了下面两个问题.相信你也能很好的解决下面的这两个问题，清

写出你的解题过程..

解决问题：

(l)fix2-4x>'+5y2+2y+l=O,求x'的值；

(2)已知a、b、。是VAAC的三边长，满足/+02