2026年山西省人教版高中数学上册第9章同步练习题

2026年山西省人教版高中数学上册第9章同步练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，已知a_1=3，a_5=9，则该数列的通项公式a_n等于（）A.6n-3B.3n+2C.2n+1D.4n-1解析：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，a_5=9可得9=3+4d，解得d=3/2，故a_n=3+(n-1)×3/2=3/2n+3/2。选项A为6n-3=3n+3，与计算结果不符；选项B为3n+2，与计算结果不符；选项C为2n+1=2n-1，与计算结果不符；选项D为4n-1=2n+1，与计算结果不符。正确答案为C。2.已知函数f(x)=log_2(x+1)，则f(x)的反函数f^(-1)(x)等于（）A.2^x-1B.2^x+1C.2-xD.x-2解析：令y=f(x)，则y=log_2(x+1)，变形为x+1=2^y，解得x=2^y-1，故反函数为f^(-1)(x)=2^x-1。选项A为2^x-1，与计算结果一致；选项B为2^x+1，与计算结果不符；选项C为2-x，与计算结果不符；选项D为x-2，与计算结果不符。正确答案为A。3.在△ABC中，已知角A=60°，角B=45°，边a=√3，则边b等于（）A.1B.√2C.2D.√3解析：由正弦定理a/sinA=b/sinB，代入a=√3，A=60°，B=45°可得√3/sin60°=b/sin45°，即√3/(√3/2)=b/(√2/2)，解得b=√2。选项A为1，与计算结果不符；选项B为√2，与计算结果一致；选项C为2，与计算结果不符；选项D为√3，与计算结果不符。正确答案为B。4.已知圆O的方程为(x-1)^2+(y+2)^2=4，则圆心O的坐标为（）A.(1,2)B.(-1,2)C.(1,-2)D.(-1,-2)解析：圆的标准方程为(x-a)^2+(y-b)^2=r^2，其中(a,b)为圆心坐标，r为半径。由方程(x-1)^2+(y+2)^2=4可知圆心坐标为(1,-2)。选项A为(1,2)，与计算结果不符；选项B为(-1,2)，与计算结果不符；选项C为(1,-2)，与计算结果一致；选项D为(-1,-2)，与计算结果不符。正确答案为C。5.在等比数列{b_n}中，已知b_1=2，b_4=16，则该数列的前4项和S_4等于（）A.30B.34C.40D.46解析：由等比数列通项公式b_n=b_1q^(n-1)，代入b_1=2，b_4=16可得16=2q^3，解得q=2，故b_1=2，b_2=4，b_3=8，b_4=16，前4项和S_4=2+4+8+16=30。选项A为30，与计算结果一致；选项B为34，与计算结果不符；选项C为40，与计算结果不符；选项D为46，与计算结果不符。正确答案为A。6.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值等于（）A.1B.2C.3D.4解析：函数f(x)=|x-1|+|x+2|表示数轴上点x到1和-2的距离之和，当x在-2和1之间时，距离之和最小，即f(x)的最小值为1-(-2)=3。选项A为1，与计算结果不符；选项B为2，与计算结果不符；选项C为3，与计算结果一致；选项D为4，与计算结果不符。正确答案为C。7.已知函数g(x)=sin(2x+π/3)，则该函数的最小正周期T等于（）A.πB.2πC.π/2D.π/4解析：正弦函数sin(kx+φ)的周期为T=2π/k，由g(x)=sin(2x+π/3)可知k=2，故周期T=2π/2=π。选项A为π，与计算结果一致；选项B为2π，与计算结果不符；选项C为π/2，与计算结果不符；选项D为π/4，与计算结果不符。正确答案为A。8.在直角坐标系中，点P(x,y)到直线3x+4y-12=0的距离等于4，则满足条件的点P的个数等于（）A.1B.2C.3D.4解析：点P到直线Ax+By+C=0的距离公式为d=|Ax+By+C|/√(A^2+B^2)，代入3x+4y-12=0和d=4可得|3x+4y-12|/√(3^2+4^2)=4，即|3x+4y-12|=20，解得3x+4y=32或3x+4y=-8，这两条直线与原直线平行且距离为4，每条直线上有无数个点，故满足条件的点P有无数个。选项A为1，与计算结果不符；选项B为2，与计算结果不符；选项C为3，与计算结果不符；选项D为4，与计算结果不符。正确答案为D。9.已知抛物线y^2=8x的焦点F到准线的距离等于（）A.2B.4C.8D.16解析：抛物线y^2=2px的焦点为F(p/2,0)，准线为x=-p/2，焦点到准线的距离为p，由y^2=8x可知2p=8，即p=4，故焦点到准线的距离为4。选项A为2，与计算结果不符；选项B为4，与计算结果一致；选项C为8，与计算结果不符；选项D为16，与计算结果不符。正确答案为B。10.在△ABC中，已知角A=60°，角B=45°，边c=√2，则边a等于（）A.1B.√2C.√3D.2解析：由正弦定理a/sinA=c/sinC，先求角C=sin(180°-60°-45°)=sin75°=√6+√2/4，代入a/sin60°=√2/sin75°可得a=√2×(√3/2)/(√6+√2)/4=2√3/(√6+√2)，化简得a=√3。选项A为1，与计算结果不符；选项B为√2，与计算结果不符；选项C为√3，与计算结果一致；选项D为2，与计算结果不符。正确答案为C。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知等差数列{a_n}中，a_3+a_7=12，则a_5+a_9=________。解：由等差数列性质a_3+a_7=2a_5，代入a_3+a_7=12可得2a_5=12，故a_5=6，同理a_5+a_9=2a_7=12，填空答案为12。2.函数f(x)=e^x-1在区间(0,1)上的平均值等于________。解：函数在区间[a,b]上的平均值为(f(b)-f(a))/(b-a)，代入f(x)=e^x-1，a=0，b=1可得(e^1-1)/(1-0)=e-1，填空答案为e-1。3.在△ABC中，已知角A=30°，角B=60°，边a=2，则边c的对边b等于________。解：由正弦定理b/sinB=a/sinA，代入a=2，A=30°，B=60°可得b/sin60°=2/sin30°，即b/(√3/2)=2/(1/2)，解得b=2√3，填空答案为2√3。4.圆(x-2)^2+(y+3)^2=25的圆心到原点的距离等于________。解：圆心坐标为(2,-3)，到原点的距离为√(2^2+(-3)^2)=√13，填空答案为√13。5.在等比数列{b_n}中，已知b_2=4，b_3=8，则该数列的公比q等于________。解：由等比数列性质b_3=b_2q，代入b_2=4，b_3=8可得8=4q，解得q=2，填空答案为2。6.函数f(x)=tan(π/4-x)的图像关于________对称。解：正切函数tan(kx+φ)的图像关于x=c/(kπ)对称，由f(x)=tan(π/4-x)可知k=-1，φ=π/4，故对称轴为x=π/4，填空答案为x=π/4。7.已知直线l:2x-y+1=0与直线m:ax+3y-5=0垂直，则a等于________。解：两直线垂直时斜率之积为-1，直线l的斜率为2，故m的斜率应为-1/2，由ax+3y-5=0可知斜率为-a/3，故-a/3=-1/2，解得a=3/2，填空答案为3/2。8.抛物线y^2=12x的焦点坐标等于________。解：抛物线y^2=2px的焦点为F(p/2,0)，由y^2=12x可知2p=12，即p=6，故焦点坐标为(3,0)，填空答案为(3,0)。9.在△ABC中，已知角A=60°，角B=45°，边a=√3，则角C的对边c等于________。解：由正弦定理c/sinC=a/sinA，先求角C=sin(180°-60°-45°)=sin75°=√6+√2/4，代入a=√3，A=60°可得c/sin75°=√3/sin60°，即c/(√6+√2)/4=√3/(√3/2)，解得c=√2，填空答案为√2。10.函数f(x)=|x-1|+|x+2|在区间[-3,3]上的最大值等于________。解：函数f(x)=|x-1|+|x+2|在x=-2处取得最小值3，在x=1处取得最小值3，在区间端点x=-3时f(-3)=|-3-1|+|-3+2|=4+1=5，在x=3时f(3)=|3-1|+|3+2|=2+5=7，故最大值为7，填空答案为7。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，若a_1+a_9=10，则a_5+a_7=5。解：由等差数列性质a_1+a_9=2a_5，代入a_1+a_9=10可得2a_5=10，故a_5=5，同理a_5+a_7=2a_6=10，原命题错误，填空答案为×。2.函数f(x)=cos(2x+π/3)的最小正周期为π。解：余弦函数cos(kx+φ)的周期为T=2π/k，由f(x)=cos(2x+π/3)可知k=2，故周期T=2π/2=π，原命题正确，填空答案为√。3.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，边a=2，则边b>边c。解：由正弦定理b/sinB=a/sinA，代入a=2，A=60°，B=45°可得b/sin45°=2/sin60°，即b/(√2/2)=2/(√3/2)，解得b=2√6/3，由正弦定理c/sinC=a/sinA，代入a=2，A=60°，C=75°可得c/sin75°=2/sin60°，解得c=2(√6+√2)/3，比较b和c可得b>c，原命题正确，填空答案为√。4.圆(x-1)^2+(y+2)^2=9的圆心到直线x-y-1=0的距离等于√2。解：圆心坐标为(1,-2)，到直线x-y-1=0的距离为|1-(-2)-1|/√(1^2+(-1)^2)=2/√2=√2，原命题正确，填空答案为√。5.在等比数列{b_n}中，若b_3=8，b_5=32，则该数列的公比q=2。解：由等比数列性质b_5=b_3q^2，代入b_3=8，b_5=32可得32=8q^2，解得q=±2，原命题未指明q为正，故不完整，填空答案为×。6.函数f(x)=sin(π/2-x)是奇函数。解：由诱导公式sin(π/2-x)=cosx，cosx是偶函数，故f(x)=cosx是偶函数，原命题错误，填空答案为×。7.抛物线y^2=4x的焦点到准线的距离等于2。解：抛物线y^2=2px的焦点到准线的距离为p，由y^2=4x可知2p=4，即p=2，故焦点到准线的距离为2，原命题正确，填空答案为√。8.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，边a=2，则角C的对边c=√2。解：由正弦定理c/sinC=a/sinA，先求角C=sin(180°-60°-45°)=sin75°=√6+√2/4，代入a=2，A=60°可得c/sin75°=2/sin60°，解得c=2(√6+√2)/3≈2.93，原命题错误，填空答案为×。9.函数f(x)=|x-1|+|x+2|在区间[-3,3]上的最小值等于3。解：函数f(x)=|x-1|+|x+2|在x=-2处取得最小值3，在x=1处取得最小值3，故最小值为3，原命题正确，填空答案为√。10.已知直线l:3x+4y-12=0与直线m:4x-3y+5=0垂直。解：两直线垂直时斜率之积为-1，直线l的斜率为-3/4，直线m的斜率为4/3，斜率之积为(-3/4)×(4/3)=-1，原命题正确，填空答案为√。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知等差数列{a_n}中，a_1=5，a_5=13，求该数列的通项公式a_n。解：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=5，a_5=13可得13=5+4d，解得d=2，故a_n=5+(n-1)×2=2n+3。2.求函数f(x)=sin(2x+π/4)在区间[0,π/2]上的最大值和最小值。解：由2x+π/4∈[π/4,5π/4]，sin(2x+π/4)在[π/4,5π/4]上的最大值为1，最小值为-√2/2，故f(x)在[0,π/2]上的最大值为1，最小值为-√2/2。3.在△ABC中，已知角A=60°，角B=45°，边a=√3，求角C的对边c。解：由正弦定理c/sinC=a/sinA，先求角C=sin(180°-60°-45°)=sin75°=√6+√2/4，代入a=√3，A=60°可得c/sin75°=√3/sin60°，解得c=2(√6+√2)/3。4.求圆(x-2)^2+(y+3)^2=16的圆心到直线3x-4y+5=0的距离。解：圆心坐标为(2,-3)，到直线3x-4y+5=0的距离为|3×2-4×(-3)+5|/√(3^2+(-4)^2)=|6+12+5|/5=23/5。5.在等比数列{b_n}中，已知b_1=2，b_4=16，求该数列的前4项和S_4。解：由等比数列通项公式b_n=b_1q^(n-1)，代入b_1=2，b_4=16可得16=2q^3，解得q=2，故b_1=2，b_2=4，b_3=8，b_4=16，前4项和S_4=2+4+8+16=30。6.求函数f(x)=tan(π/3-x)的反函数f^(-1)(x)。解：令y=tan(π/3-x)，变形为x=π/3-tan^(-1)y，故反函数为f^(-1)(x)=π/3-tan^(-1)x。7.在直角坐标系中，点P(x,y)到直线x+y-1=0的距离等于1，求满足条件的点P的轨迹方程。解：点P到直线Ax+By+C=0的距离为d=|Ax+By+C|/√(A^2+B^2)，代入x+y-1=0和d=1可得|x+y-1|/√2=1，即|x+y-1|=√2，解得x+y=1+√2或x+y=1-√2，轨迹方程为x+y=1±√2。8.已知抛物线y^2=12x的焦点F，求过点F的直线与抛物线相交所得弦长为6的直线方程。解：抛物线y^2=12x的焦点F(3,0)，设过F的直线方程为y=k(x-3)，代入y^2=12x可得k^2x^2-(6k^2+12)x+9k^2=0，由弦长公式|AB|=2√(p^2+(q-p)^2)，代入p=3，|AB|=6可得k=±√3，故直线方程为y=√3(x-3)或y=-√3(x-3)。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.在等差数列{a_n}中，已知a_1=3，a_5=9，求该数列的前10项和S_10。解：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，a_5=9可得9=3+4d，解得d=3/2，故a_n=3+(n-1)×3/2=3/2n+3/2，前10项和S_10=10×(a_1+a_10)/2=10×(3+3/2×10.5)/2=10×39/4=97.5。2.求函数f(x)=sin(π/3-x)在区间[0,π]上的最大值和最小值。解：由π/3-x∈[-π/3,2π/3]，sin(π/3-x)在[-π/3,2π/3]上的最大值为1，最小值为-√3/2，故f(x)在[0,π]上的最大值为1，最小值为-√3/2。3.在△ABC中，已知角A=60°，角B=45°，边a=2，求角C的对边c和边b。解：由正弦定理b/sinB=a/sinA，代入a=2，A=60°，B=45°可得b/sin45°=2/sin60°，解得b=2√6/3，由正弦定理c/sinC=a/sinA，代入a=2，A=60°，C=75°可得c/sin75°=2/sin60°，解得c=2(√6+√2)/3。4.求圆(x-1)^2+(y+2)^2=9与直线3x-4y-12=0的交点坐标。解：联立方程组{(x-1)^2+(y+2)^2=9,3x-4y-12=0}，由3x-4y-12=0可得y=(3x-12)/4，代入圆的方程可得(x-1)^2+((3x-12)/4+2)^2=9，化简得x^2-2x+1+(3x-12)/4+8=9，解得x=4或x=-1，代入y=(3x-12)/4可得交点坐标为(4,0)和(-1,-3)。5.在等比数列{b_n}中，已知b_1=2，b_4=16，求该数列的前10项和S_10。解：由等比数列通项公式b_n=b_1q^(n-1)，代入b_1=2，b_4=16可得16=2q^3，解得q=2，故b_n=2×2^(n-1)=2^n，前10项和S_10=2(2^10-1)/(2-1)=2046。6.求函数f(x)=tan(π/4-x)的反函数f^(-1)(x)。解：令y=tan(π/4-x)，变形为x=π/4-tan^(-1)y，故反函数为f^(-1)(x)=π/4-tan^(-1)x。7.在直角坐标系中，点P(x,y)到直线x+y-1=0的距离等于1，求满足条件的点P的轨迹方程。解：点P到直线Ax+By+C=0的距离为d=|Ax+By+C|/√(A^2+B^2)，代入x+y-1=0和d=1可得|x+y-1|/√2=1，即|x+y-1|=√2，解得x+y=1+√2或x+y=1-√2，轨迹方程为x+y=1±√2。8.已知抛物线y^2=12x的焦点F，求过点F的直线与抛物线相交所得弦长为6的直线方程。解：抛物线y^2=12x的焦点F(3,0)，设过F的直线方程为y=k(x-3)，代入y^2=12x可得k^2x^2-(6k^2+12)x+9k^2=0，由弦长公式|AB|=2√(p^2+(q-p)^2)，代入p=3，|AB|=6可得k=±√3，故直线方程为y=√3(x-3)或y=-√3(x-3)。【标准答案及解析】一、单项选择题1.C2.A3.B4.C5.A6.C7.A8.D9.B10.C二、填空题1.1212.e-113.2√314.√1315.216.x=π/417.3/218.(3,0)19.√220.7三、判断题1.×22.√23.√24.√25.×26.×27.√28.×29.√30.√四、简答题1.解：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=5，a_5=13可得13=5+4d，解得d=2，故a_n=5+(n-1)×2=2n+3。2.解：由2x+π/4∈[π/4,5π/4]，sin(2x+π/4)在[π/4,5π/4]上的最大值为1，最小值为-√2/2，故f(x)在[0,π/2]上的最大值为1，最小值为-√2/2。3.解：由正弦定理c/sinC=a/sinA，先求角C=sin(180°-60°-45°)=sin75°=√6+√2/4，代入a=√3，A=60°可得c/sin75°=√3/sin60°，解得c=2(√6+√2)/3。4.解：圆心坐标为(2,-3)，到直线3x-4y+5=0的距离为|3×2-4×(-3)+5|/√(3^2+(-4)^2)=|6+12+5|/5=23/5。5.解：由等比数列通项公式b_n=b_1q^(n-1)，代入b_1=2，b_4=16可得16=2q^3，解得q=2，故b_1=2，b_2=4，b_3=8，b_4=16，前4项和S_4=2+4+8+16=30。6.解：令y=tan(π/3-x)，变形为x=π/3-tan^(-1)y，故反函数为f^(-1)(x)=π/3-tan^(-1)x。7.解：点P到直线Ax+By+C=0的距离为d=|Ax+By+C|/√(A^2+B^2)，代入x+y-1=0和d=1可得|x+y-1|/√2=1，即|x+y-1|=√2，解得x+y=1+√2或x+y=1-√2，轨迹方程为x+y=1±√2。8.解：抛物线y^2=12x的焦点F(3,0)，设过F的直线方程为y=k(x-3)，代入y^2=12x可得k^2x^2-(6k^2+12)x+9k^2=0，由弦长公式|AB|=2√(p^2+(q-p)^2)，代入p=3，|AB|=6可得k=±√3，故直线方程为y=√3(x-3)或y=-√3(x-3)。五、应用题1.解：由等差数列通项公式a_n=a_