《应用高等数学（第二版）》课件 第二章 导数与积分

导数的概念任务一绝大多数交通事故的发生是由于变换车道造成的，在变道时要迅速提速，车速大于后车，留给后车足够的安全距离。假设智能汽车以60速度行驶在高速公路上，为超车变道，现需要将车速提升到100，求智能汽车的瞬时加速度。车速器显示的速度（瞬时速度），不停地变化，因为汽车作的是变速运动，如何计算？智能汽车的速度问题智能汽车的运动规律为：,问时汽车运动的速度？设S是质点从某一选定时刻到时刻t所走过的路程下面讨论物体在任一时刻

的瞬时速度。，则S是t的一个函数时间内物体经过的路程：分析：内的平均速度为速度的变化不大，可以匀速代替。越小，平均速度就越接近于时刻的瞬时速度局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。割线PQ的斜率为两个问题的共性:瞬时速度切线斜率所求量为函数增量与自变量增量之比的极限.类似问题还有:加速度角速度线密度电流是速度增量与时间增量之比的极限是转角增量与时间增量之比的极限是质量增量与长度增量之比的极限是电量增量与时间增量之比的极限变化率问题.一、导数的定义定义

设函数在点存在,并称此极限为记作:则称函数若的某邻域内有定义,

在点处可导,在点的导数.即概念说明：1.导数

是因变量

在点处相对自变量

的变化率，它反应了函数值

随自变量x的变化而变化的快慢程度。2.如果函数y=f(x)在开区间I内每一点都可导,则称函数f(x)在区间I内可导。3.对于任意x∈I,都有导数[f(x)]′与之对应，则导数称为函数f(x)的导函数。

记作：由定义求导数步骤:例1求函数的导数.（2）计算比值：（3）求极限：所以，.（1）求函数增量：解，，，二、导数的几何意义曲线在M

点处的切线斜率函数在点处的导数就是函数所表示的曲线在点处切线的斜率例2求曲线在处的切线方程和法线方程.于是，切线方程为：解所以，由导数的几何意义，得切线斜率：，即；，因为.而法线斜率为：法线方程为：即.，，切线方程为法线方程为

证明：因为函数在点处可导，所以有=

所以函数在点处连续。

定理如果函数在点处可导，则处一定连续。三、可导与连续的关系它在点注意:函数在点x连续未必可导.例:在

x=0处连续,但不可导.求时刻的电流强度通过该导线横截面的电量为则为的函数设有非稳恒电流通过导线．从某一时刻开始到时刻四、变化率问题应用案例1[电流强度]应用案例2[冷却速度]当物体的温度高于周围介质的温度时，物体就会的函数关系为不断冷却。若物体的温度T与时间t请表示出物体在时刻的冷却速度？T=T(t)假设智能汽车以60速度行驶在高速公路上，为超车变道，现需要将车速提升到100，求智能汽车的初始瞬时加速度。任务实施1.搜集数据：提速时间与瞬时速度。2.拟合速度与时间的关系，给出速度的函数关系3.分析速度与加速度的关系4.求出初始瞬时加速度1.导数的概念及导数的记号.2.导数的几何意义.3.可导与连续的关系.所表示的曲线在点处切线斜率函数在点处的导数就是函数增量比的极限4.变化率问题.导数的四则运算1、3、2、导数的表示方式：小组讨论求导数步骤：求导数步骤导数公式推导导数公式导数公式导数四则运算法则定理

如果函数u(x),v(x)在点处可导，则他们的和、差、

积、商（分母不为零）在点x处也可导导数四则运算法则推论导数四则运算例解导数四则运算例解小组任务实施１．导数公式２．导数四则运算法则感谢观看聆听WORKSUMMARY

复合函数求导

(1)求的导数解1

解2 因为所以解1是错误的。

因为 是基本初等函数，而是复合函数。(2)求y=lnsinx的导数??小组讨论复合函数的求导法则：

设，且在点处可导，在相应点处可导。则函数 在点处也可导，且 或记作求的导数因为

于是导数公式推导即：因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则)推广：此法则可推广到多个中间变量的情形.例如,举例：(A)

例1

求函数的导数解：设 则因为所以(B)

例2

求函数的导数解：设 则因为所以复合函数求导的关键:搞清复合函数结构,由外向内逐层求导.复合函数的求导法则可推广到有限次复合的情形。(B)

例3求的导数解：设由 得(B)

例4

求的导数。解：设由 得

熟悉了复合函数的求导法则后，中间变量默记在心，由外及里、逐层求导。(A)

例5

求的导数解：

y'=[(3x+2)5]'=5(3x+2)4(3x+2)'=5(3x+2)4(3+0)=15(3x+2)4(A)例6求的导数解：

y'=[(cosx)2]'=2cosx

(cosx)

'=2cosx

(-sinx)(B)例7求的导数y'={[sin(x3)]2}'=2sin(x3)[sin(x3)]'=2sin(x3)cos(x3)(x3)'=2sin(x3)cos(x3)3x2=6x2sin(x3)cos(x3)

(B)例8求的导数y'={ln[sin(4x)]}'=[sin(4x)]'=cos(4x)(4x)

'=cos(4x)练习求下列函数的导数(A)1.(A)2.(B)3.（C）4.

小组任务实施1、复合函数求导的关键，在于首先把复合函数分解成初等函数或基本初等函数的和、差、积、商，然后运用复合函数的求导法则和适当的导数公式进行计算。求导之后应该把引进的中间变量代换成原来的自变量。2、熟悉了复合函数的求导法则后，可不写出中间变量，直接由外及里、逐层处理复合关系进行求导。3、有些函数可先化简再求导。感谢观看聆听WORKSUMMARY函数的极值与最值任务一智能汽车现已走进人们的生活，交管部门为了行车安全，一般在行车道安排几个车道以便智能汽车发现前面有障碍时能安全变道，假设单位时间内通过此车道的智能汽车数量最多，车辆车身长度为4.8m，为使车辆能够安全变道，此时车辆速度最大为多少？第一小组v?“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”说的是庐山的高低起伏错落有致，在群山中各个山峰的顶端虽然不一定是群山的最高处，但它却是附近的最高点.如图为某同学绘制的庐山主峰剖面图。1、函数的极值概念（1）极大值：在包含的一个区间内，函数在任意一点的函数值都小于

点的函数值，称点为函数的极大值点，其函数值为函数的极大值。（2）极小值：在包含的一个区间内,函数在任意一点的函数值都大于点的函数值，称点为函数的极小值点，其函数值为函数的极小值。（3）极值：极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点概念辨析：（极值点指自变量的值，极值指函数值）(i)极值是一个局部概念。由定义可知极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或者最小。并不意味它在函数的整个的定义域内最大或最小。(ii)函数的极值不是唯一的。即函数在某区间上或者定义域内极大值或极小值可以不止一个。(见图形(1)）(iii)极大值与极小值之间无确定关系。即极大值未必大于极小值。(见图形(1)）2、极值的必要条件定理1(必要条件)极值,注：可导函数的极值点必是驻点,但函数的驻点却不一定是极值点.如,极值点也可能是导数不存在的点.是极小值点.但不可导.

怎样从驻点中与导数不存在的点判断一点是不是极值点几何上,若x0是连续函数f(x)单增、单减的分界点,则x0必为极值点.3.极值的充分条件定理2(第一充分条件)极值的一阶充分条件则为极大值(极小值);则不是极值.不是极值点一般求极值的步骤1、求函数的定义域2、求函数的驻点与不可导点3、求相应区间导数的符号，判断正负号4、求极值二、最大值最小值问题1.最值的求法求连续函数f(x)在闭区间[a,b]上的最大(小)值的方法:（1）将闭区间[a,b]内所有驻点和导数不存在的点(即为极值嫌疑点)处的函数值和区间端点的函数值

f(a),f(b)比较,其中最大(小)者就是f(x)在闭区间[a,b]上的最大(小)值.

当f(x)在闭区间[a,b]上单调时,最值必在端点处达到.例解因驻点:导数不存在的点:比较得:最大值为最小值为练习：求内接与球的圆柱体的最大体积，设球的半径为R若函数有导数不存在的点时,则可用第一充分条件来判定有无极值;对于只有驻点而没有导数不存在的点,则可用第二充分条件判断有无极值.感谢观看聆听WORKSUMMARY函数的凹凸性与拐点任务一泊车是自动驾驶的主要组成部分之一，自动泊车系统是不用人工干预的自动停车入位系统，智能汽车通过车身感应器探知空余停车位，如果满足条件，就会绘制泊车曲线，从而进行自动泊车。在绘制函数图像时,仅知道函数的单调性(函数是上升还是下降）是不够的,还需知道曲线的弯曲方向，问题：如何研究曲线的凹凸性?图形上任意弧段位于所张弦的下方图形上任意弧段位于所张弦的上方1、函数凹凸性的概念定义1:设函数y=f(x)在某区间I内可导;若f`(x)在区间I内是递增的，则曲线y=f(x)在I内是凹的。区间I称为凹区间，用符号“∪”表示。若f`(x)在区间I内是递减的，则曲线y=f(x)在I内是凸的。区间I称为凸区间，用符号“∩”表示。2、函数凹凸性的判定1）当曲线是凹的时，

f

(x)单调增加.2）当曲线是凸的时，

f

(x)单调减少.3、函数拐点的定义定义:设函数y=f(x)在某区间I内连续，则曲线y=f(x)

在I内的凹凸分界点称为曲线y=f(x)的拐点。

定理：（拐点的必要条件），若函数y=f(x)在x0处二阶导数存在，且点(x0,f(x0))为曲线y=f(x)的拐点，则f〞(x)=0.定理:（充分条件）若f〞(x)=0

，且在x0两侧变号，则点(x0,f(x0))是曲线的拐点。3、函数拐点的定义曲线凹凸性发生改变的点称为曲线的拐点.3.拐点的计算1、找出二阶导数为零的点或二阶导数不存在的点；2、若它两侧的二阶导数值异号,则为拐点；若同号则不是拐点.注意：拐点是平面上的点,要写出纵坐标.一般求凹凸性的步骤1、求函数的定义域2、求函数的二阶导数为0的点与不可导点3、求相应区间二阶导数的符号，判断正负号4、判定凹凸性例1解x

yO常见错误：注意：二阶导数的零点不一定是拐点！例2解拐点拐点例3解不存在拐点非拐点例4解练习：感谢观看聆听WORKSUMMARY曲率任务四汽车在弯道上行驶时，当转弯半径太小或者车速过快时，会发生车体侧滑或翻车，为保证行车安全，转弯时需要对车速进行控制。为智能汽车转弯速度自动控制系统建立，需要计算出不同转弯半径下的最高车速。智能汽车在某弯曲的道路行驶，弯道的方程为，求汽车行驶的最高速度？实验：问题:曲线的弯曲程度如何描述?弧长相同，弯曲程度越大，切线转角越大.切线转角相同，弯曲程度越大，弧长越短.y0----曲线在M处的曲率----弧段的平均曲率1、曲率的概念

曲线在M处的曲率由导数的几何意义知

弧微分公式：再求先求yox-------曲率计算公式2、曲率的计算公式

例1

计算等边双曲线xy

4在点(2,2)处的曲率.解:则曲线在点(1

1)处的曲率为因此y

|x

2

1