25章章末复习学习任务单2026-2027学年人教版九年级上册数学

章末复习班级_________姓名_________学习目标学习目标1．理解一元二次方程及其相关概念，能识别一元二次方程，明确一元二次方程一般形式中二次项系数a≠0．2．掌握直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法；能根据方程特征灵活选择解法，体会“降次”转化思想；认识配方法是推导求根公式的基础，也是后续研究二次函数的重要工具．3．能利用根的判别式判断一元二次方程实数根的情况；掌握根与系数的关系，理解两种推导思路，明确结论成立的前提条件Δ≥0．4．能够建立一元二次方程模型解决几何面积、传播、平均变化率、计数比赛类实际问题，规范检验方程的根是否符合现实意义，发展模型观念．课前学习任务课前学习任务一、一元二次方程1．概念：等号两边都是_________，只含有_________未知数（一元），并且未知数的最高次数是_________（二次）的方程，叫作一元二次方程．2．一元二次方程的一般形式：___________________．二、降次——解一元二次方程1．直接开平方法：利用__________________________求一元二次方程的解的方法叫作直接开平方法．2．配方法：通过____________________来解一元二次方程的方法，叫作配方法．3．公式法：解一个具体的一元二次方程时，把_________代入_________，可以直接得出方程的根，这种解一元二次方程的方法叫作公式法．4．因式分解法：先分解因式，使方程化为___________________的形式，再使这两个一次式___________，从而实现______，这种解一元二次方程的方法叫作因式分解法．5．一元二次方程根的判别式（1）概念：一般地，式子________叫作一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式，通常用希腊字母____表示，即___________．（2）当Δ＞0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)___________________；当Δ＝0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)___________________；当Δ＜0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)___________________．6．一元二次方程根与系数的关系方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根x1，x2和系数a，b，c有如下关系：x1＋x2＝_____，x1x2＝_____．三、实际问题与一元二次方程列方程解决实际问题的一般步骤：审：______________________________________．设：______________________________________．列：______________________________________．解：______________________________________．检：______________________________________．答：______________________________________．课堂学习任务课堂学习任务【学习任务一】一元二次方程及其相关概念例1已知关于x的方程(2k＋1)x2+k－4kx＋(k－1)＝0．当k为何值时，此方程是一元二次方程？写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项．归纳一元二次方程满足的三个条件（1）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；（2）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；（3）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．跟踪训练1已知关于x的方程是一元二次方程，试求代数式m2＋2m－4的值．【学习任务二】一元二次方程的解法例2用适当的方法解下列方程：（1）2(x－1)2＝18； （2）x2－2x＝2x＋1；（3）(3y－1)(y＋1)＝4； （4）x(2x＋3)＝2x＋3．归纳一元二次方程解法的选择（1）______________________________________________________．（2）______________________________________________________．（3）______________________________________________________．（4）______________________________________________________．选择优先级观察顺序：______________________________________________________．【学习任务三】一元二次方程根的判别式例3下列一元二次方程中，没有实数根的是（）．A．4x2－5x＋2＝0 B．x2－6x＝－9C．5x2－4x－1＝0 D．3x2－4x＋1＝0归纳一元二次方程根的判别式主要考查的两个方面（1）______________________________________________________；（2）______________________________________________________．注意：Δ＝b2－4ac判断根的前提是一元二次方程，必须满足二次项系数______．跟踪训练2已知关于x的方程ax2＋2x－3＝0有两个不相等的实数根．（1）求a的取值范围；（2）若此方程的一个实数根为1，求a的值及方程的另一个实数根．【学习任务四】一元二次方程根与系数的关系例4设x1，x2是方程2x2＋5x－7＝0的两个实数根，不解方程，求下列式子的值．（1）； （2）．思考交流：我们是如何推导出一元二次方程根与系数的关系x1＋x2＝－，x1x2＝？你能写出两种推导思路吗？温馨提示：使用根与系数关系的前提是Δ≥0，方程有实数根．归纳在实数范围内，一元二次方程根与系数的关系的四个主要应用：（1）______________________________________________________；（2）______________________________________________________；（3）______________________________________________________；（4）______________________________________________________．跟踪训练3已知关于x的一元二次方程x2－6x＋(2m＋1)＝0有实数根．（1）求m的取值范围；（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1x2＋x1＋x2≥20，求m的取值范围．【学习任务五】一元二次方程的应用例5如图，在一面墙（墙长度不限）边，怎样用20m长的篱笆围成一个面积为48m²的矩形菜园？跟踪训练4如图，某城建部门计划在新修的城市广场的一块矩形空地上修建一个面积为1200m2的停车场，将停车场四周余下的空地修建成同样宽的通道．已知矩形空地的长为50m，宽为40m，求通道的宽度．【辨析对比】课堂重点区分两类面积易混题型：①跟踪训练4（四周等宽通道）：长方形上下左右都有通道，长和宽同时减去2x；②例5（一边靠墙篱笆）：仅两条垂直于墙的边长为x，平行于墙的边长为20－2x．易错警示：很多学生混淆“2x”的来源，复习课放在一起对比，区分两种图形结构，有效减少列式错误．例6新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有169人患新冠肺炎（假设每轮传染的人数相同），求每轮传染中平均每个人传染的人数．跟踪训练5某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同．（1）求该种商品每次降价的百分率；（2）若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于3120元，问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？例7要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式，计划安排15场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？跟踪训练6某次足球联赛采用主客场双循环赛制（任意两支球队之间各进行主场、客场共2场比赛），若联赛总共进行56场比赛，一共有多少支球队参赛？【对比辨析】①单循环（两队只赛1场）：总场次x(x－1)；②双循环（主客场，两队赛2场）：总场次x(x－1)．核心区分点：审题看清比赛规则，判断总场次是否需要除以2．【归纳】一元二次方程是有效刻画实际问题的一类数学模型。在实际问题中，读懂题意、分析数量关系、建立方程模型是关键，需要注意以下三点：一是______________________________________________________；二是______________________________________