三角函数求值常见试题及参考答案

三角函数求值常见试题及参考答案考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.若角α的终边经过点P(-3,4)，则sinα的值为（）。A.-4/5B.4/5C.-3/5D.3/52.化简sin(α-π/2)的结果是（）。A.sinαB.-sinαC.cosαD.-cosα3.已知cosθ=-√3/2，且θ是第三象限的角，则tanθ的值为（）。A.√3/3B.-√3/3C.√3D.-√34.函数y=sin(2x+π/3)的最小正周期是（）。A.πB.2π/3C.π/3D.3π/25.若sinα+cosα=1，则sin(α+π/4)的值为（）。A.√2/2B.1C.0D.-√2/26.下列函数中，在区间(0,π/2)上为增函数的是（）。A.y=sin(3x)B.y=cos(2x)C.y=-tan(x+π/4)D.y=-cos(4x)7.化简sin²(α+π/4)-cos²(α+π/4)的结果是（）。A.√2sinαB.√2cosαC.1D.-18.若sin(A+B)=1/2，sin(A-B)=1/2，其中A,B∈(0,π)，则cosB的值为（）。A.1/2B.√3/2C.-1/2D.-√3/29.已知函数f(x)=sin(x+θ)+cos(x+θ)，其中θ是锐角，且f(x)在x=π/4处取得最小值-√2，则θ的值是（）。A.3π/4B.π/4C.π/2D.π/610.若α是第四象限的角，且sin(α/2)>0，则cos(α/2)的值为（）。A.正数B.负数C.非正数D.非负数二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。）11.已知sinα=-4/5，α∈(π,3π/2)，则cosα的值为_______。12.若tanα=3/4，则sinαcosα的值为_______。13.化简sin(α+β)cosβ-cos(α+β)sinβ+cosα的值为_______。14.函数y=2sin(x-π/6)+1的最大值是_______，最小值是_______。15.若关于x的方程sinx+cosx=m在区间(0,π)上有解，则实数m的取值范围是_______。三、解答题（本大题共5小题，共75分。）16.（本小题满分15分）已知cos(α/2)=-√10/10，α∈(π,2π)，求sinα和tanα的值。17.（本小题满分15分）已知sin(α+β)=3/5，cosα=-12/13，α∈(π,3π/2)，cos(α+β)=-4/5。求cosβ的值。18.（本小题满分15分）化简下列三角函数式：(1)(sinα+cosα)²-2sinαcosα(2)(sin(α+β)-sin(α-β))/cosα19.（本小题满分15分）已知函数f(x)=√3sin(x)-cos(x)-1。(1)求函数f(x)的最小正周期和最大值。(2)求方程f(x)=0在区间[0,2π)上的解。20.（本小题满分15分）在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c。已知cosA=1/2，b=2，c=√3。(1)求角B的大小。(2)求边a的长度。试卷答案一、选择题1.B2.D3.D4.A5.B6.A7.B8.C9.C10.D二、填空题11.-3/512.3/513.cosα14.3,-115.[-√2,√2]三、解答题16.解析：由cos(α/2)=-√10/10，α∈(π,2π)，知α∈(π,π)，故α/2∈(π/2,π)，sin(α/2)=√(1-cos²(α/2))=√(1-(-√10/10)²)=√(1-1/10)=√9/10=3/√10。利用倍角公式sinα=2sin(α/2)cos(α/2)=2*(3/√10)*(-√10/10)=-3/5。cosα=cos²(α/2)-sin²(α/2)=(-√10/10)²-(3/√10)²=1/10-9/10=-8/10=-4/5。tanα=sinα/cosα=(-3/5)/(-4/5)=3/4。答案：sinα=-3/5，tanα=3/4。17.解析：由cos(α+β)=-4/5，sin(α+β)=3/5，利用平方关系可得sin²(α+β)+cos²(α+β)=1，即(3/5)²+(-4/5)²=1，等式成立。利用和差角公式sinβ=sin(α+β-α)=sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα=(3/5)*(-12/13)-(-4/5)*(-12/13)=-36/65-48/65=-84/65=-12/13。cosβ=cos(α+β-α)=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=(-4/5)*(-12/13)+(3/5)*(-12/13)=48/65-36/65=12/65。答案：cosβ=12/65。18.解析：(1)原式=1+2sinαcosα-2sinαcosα=1。(2)原式=sinαcosβ+cosαsinβ-sinαcosβ+cosαsinβ=2cosαsinβ。答案：(1)1(2)2cosαsinβ19.解析：(1)f(x)=√3sin(x)-cos(x)-1=2(√3/2sinx-1/2cosx)-1=2sin(x-π/6)-1。最小正周期T=2π/1=2π。当sin(x-π/6)=1，即x-π/6=2kπ+π/2(k∈Z)时，f(x)取得最大值，最大值为2*1-1=1。(2)由f(x)=0，得2sin(x-π/6)-1=0，即sin(x-π/6)=1/2。x-π/6=2kπ+π/6或x-π/6=2kπ+5π/6(k∈Z)。解得x=2kπ+π/3或x=2kπ+π。由于x∈[0,2π)，故解集为{x|x=π/3或x=π}。答案：(1)最小正周期为2π，最大值为1。(2)解集为{x|x=π/3或x=π}。20.解析：(1)由cosA=1/2，且A∈(0,π)，得A=π/3。利用余弦定理cosA=(b²+c²-a²)/(2bc)，得1/2=(2²+(√3)²-a²)/(2*2*√3)，即1/2=(4+3-a²)/(4√3)，1/2=7/(4√3)-a²/(4√3)，a²/(4√3)=7/(4√3)-1/2=(7-2√3)/(4√3)，a²=(7-2√3)√3。此时，a²=7√3-6。利用正弦定理sinA/a=sinB/b，得sinB=b*sinA/a=2*sin(π/3)/(√(7√3-6))=2*(√