东南大学《高等数学》复习试题与答案

东南大学《高等数学》复习试题与答案考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、填空题（每空3分，共15分）1.函数f(x)=ln(x^2-1)的定义域是____________.2.极限lim(x→2)(x^3-8)/(x-2)=____________.3.曲线y=x^3-3x^2+2在x=1处的切线方程为____________.4.若f'(x)=3x^2-2x+1,则f(x)=____________(写出原函数，含常数C).5.反常积分∫(1to+∞)(1/x^2)dx的值为____________.二、选择题（每题3分，共15分）1.下列函数中，在x=0处不可导的是().A.f(x)=|x|B.f(x)=x^2C.f(x)=x^3D.f(x)=sin(x)2.函数f(x)=e^(-x^2)在区间(-∞,+∞)上的单调性是().A.单调增加B.单调减少C.先增后减D.先减后增3.若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则在(a,b)内至少存在一点ξ，使得().A.f(ξ)=0B.f'(ξ)=0C.f(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)D.f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)4.下列级数中，收敛的是().A.∑(n=1to∞)(1/n)B.∑(n=1to∞)(-1)^n/nC.∑(n=1to∞)(1/n^2)D.∑(n=1to∞)(n/(n+1))5.设z=x^2+y^2,则dz|_(x=1,y=1,Δx=0.1,Δy=0.2)的值为().A.0.3B.0.4C.0.5D.0.6三、计算题（每题5分，共20分）1.求极限lim(x→0)(e^x-1-x)/(x^2).2.求函数y=x^3-3x^2+6的极值.3.计算∫(from0to1)xe^(-x)dx.4.求微分方程y'+y=e^x的通解.四、计算题（每题7分，共14分）1.计算∫∫_Dx^2dA,其中D是由抛物线y=x^2和y=√x围成的区域.2.求幂级数∑(n=0to∞)(x-1)^n/(2^n)的收敛域.五、证明题（8分）设函数f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)=f(b).证明：在(a,b)内至少存在一点ξ，使得f'(ξ)=0.试卷答案一、填空题1.(-∞,-1)∪(1,+∞)2.123.y=-2x+44.x^3-x^2+x+C5.1二、选择题1.A2.B3.C4.C5.A三、计算题1.解析：利用等价无穷小或洛必达法则。原式=lim(x→0)[x(e^x-1-x)/(x^3)]=lim(x→0)[e^x-1-x]/(x^2)=lim(x→0)[e^x-1-x]/(2x)（洛必达法则）=lim(x→0)[e^x-1]/(2)（洛必达法则）=lim(x→0)[e^x]/(2)=1/2或利用e^x=1+x+x^2/2+o(x^2)，原式=lim(x→0)[(1+x+x^2/2+o(x^2))-1-x]/(x^2)=lim(x→0)[x^2/2+o(x^2)]/(x^2)=1/2答案：1/22.解析：求导数，求驻点，判断极值。y'=3x^2-6x=3x(x-2)令y'=0,得x=0或x=2.y''=6x-6y''|_(x=0)=-6<0,故x=0为极大值点，极大值y(0)=6.y''|_(x=2)=6>0,故x=2为极小值点，极小值y(2)=2.答案：极大值6，极小值2.3.解析：分部积分法。∫xe^(-x)dx=-xe^(-x)-∫(-e^(-x))dx=-xe^(-x)+e^(-x)+C原式=[-xe^(-x)+e^(-x)]|_(0to1)=[(-1e^(-1)+e^(-1))-(0e^(0)+e^(0))]=[-1/e+1/e]-[0+1]=0-1=-1答案：-14.解析：一阶线性微分方程，用公式法或常数变易法。齐次方程y'+0*y=0的通解为y=C_1*e^(-∫0dx)=C_1.非齐次方程的特解，设为y^*=u(x)*e^x.u'(x)*e^x+u(x)*e^x=e^xu'(x)=1u(x)=x+C_2故通解为y=(x+C_2)*e^x.令C=C_2,得y=(x+C)e^x.答案：(x+C)e^x四、计算题1.解析：画出积分区域D，选择合适的积分次序（先y后x）。抛物线y=x^2与y=√x交于(0,0)和(1,1).∫∫_Dx^2dA=∫(from0to1)∫(fromx^2to√x)x^2dydx=∫(from0to1)x^2[y]_(x^2to√x)dx=∫(from0to1)x^2(√x-x^2)dx=∫(from0to1)(x^(5/2)-x^4)dx=[2/7x^(7/2)-1/5x^5]|_(0to1)=(2/7-1/5)=10/35-7/35=3/35答案：3/352.解析：求收敛半径，确定收敛域。令a_n=1/(2^n),则r=1/|a_1|=1/(1/2)=2.幂级数∑(n=0to∞)a_n(x-x_0)^n的收敛半径为r，收敛域为(x_0-r,x_0+r)。此处x_0=1,r=2，故收敛域为(1-2,1+2)=(-1,3).需要检查端点x=-1和x=3的敛散性。当x=-1时，级数为∑(n=0to∞)(-2)^n/(2^n)=∑(-1)^n.级数∑(-1)^n发散。当x=3时，级数为∑(n=0to∞)(2)^n/(2^n)=∑1.级数∑1发散。故收敛域为(-1,3).答案：(-1,3)五、证明题解析：利用罗尔定理。令F(x)=f(x)-f(a)。F(x)在[a,b