2027年高考数学一轮复习(创新设计)第1节 基本立体图形及几何体的表面积与体积

课标要求1.掌握柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征,能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.掌握球、棱(圆)柱、棱(圆)锥、棱(圆)台的表面积和体积的计算公式,能用公式解决简单的实际问题.3.能用斜二测画法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合体)的直观图.1.空间几何体的结构特征(1)多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形底面互相平行且全等多边形互相平行且相似侧棱平行且相等相交于一点,但不一定相等延长线交于一点侧面形状平行四边形三角形梯形(2)旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球图形母线互相平行且相等,垂直于底面相交于一点延长线交于一点

轴截面矩形等腰三角形等腰梯形圆侧面展开图矩形扇形扇环

2.直观图的斜二测画法(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直,直观图中,x'轴、y'轴的夹角为45°(或135°),z'轴与x'轴、y'轴所在平面垂直.(2)原图形中平行于坐标轴的线段,直观图中仍分别平行于坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变,平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半.3.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧＝2πrlS圆锥侧＝πrlS圆台侧＝π(r1＋r2)l4.简单几何体的表面积和体积公式几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积＝S侧＋2S底V＝Sh锥体(棱锥和圆锥)S表面积＝S侧＋S底V＝13台体(棱台和圆台)S表面积＝S侧＋S上＋S下V＝13(S上＋S＋S上S球S＝4πR2V＝43πR1.与体积有关的几个结论(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差.(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等(祖暅原理).2.直观图与原平面图形面积间的关系S直观图＝24S原图形1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线.()(2)有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥.()(3)菱形的直观图仍是菱形.()(4)两个球的体积之比等于它们的半径比的平方.()答案(1)×(2)×(3)×(4)×解析(1)不一定,只有当这两点的连线平行于轴时才是母线,(1)错误.(2)反例:如图所示的图形满足条件但不是棱锥,(2)错误.(3)用斜二测画法画水平放置的菱形的直观图是平行四边形,但邻边不一定相等,(3)错误.(4)球的体积之比等于半径比的立方,故(4)错误.2.(人教A必修二P106T8改编)如图,长方体ABCD－A'B'C'D'被截去一部分,其中EH∥A'D'∥FG,则剩下的几何体是()A.棱台 B.四棱柱C.五棱柱 D.六棱柱答案C解析由于平面ABFEA'∥平面DCGHD',且AD,BC,FG,EH,A'D'相互平行且相等,所以剩下的几何体是五棱柱.3.(苏教必修二P161练习T4改编)下列说法正确的是()A.相等的角在直观图中仍然相等B.相等的线段在直观图中仍然相等C.正方形的直观图是正方形D.若两条线段平行,则在直观图中对应的两条线段仍然平行答案D解析由直观图的画法规则知,角度、长度都有可能改变,而线段的平行关系不变,正方形的直观图是平行四边形.4.已知圆锥的底面半径为2,其侧面展开图为一个半圆,则该圆锥的母线长为.

答案22解析设圆锥的母线长为l,因为该圆锥的底面半径为2,侧面展开图为一个半圆,所以2π×2＝πl,解得l＝22.考点一基本立体图形例1(1)(多选)下列说法中正确的是()A.以直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴,其余边旋转一周形成的几何体是圆台B.有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱C.底面是正多边形的棱锥是正棱锥D.棱台的各侧棱延长后必交于一点(2)(多选)如图所示,△A'B'C'是水平放置的△ABC的斜二测直观图,其中O'C'＝O'A'＝2O'B'＝2,则以下说法正确的是()A.△ABC是钝角三角形B.△A'B'C'的面积是△ABC的面积的24C.△ABC是等腰直角三角形D.△ABC的周长是4＋42(3)如图,圆锥底面半径为3,母线PA＝12,AB＝23AP,一只蚂蚁从A点出发,沿圆锥侧面绕行一周,到达B点,答案(1)AD(2)BCD(3)410解析(1)由圆台定义知,以直角梯形垂直于底边的腰为旋转轴,其余三边旋转一周形成的几何体是圆台,故A正确;由棱柱定义可知,棱柱是有两个面平行,其余各面都是平行四边形,且每相邻两个平行四边形的公共边都互相平行的几何体,故B错误;底面是正多边形的棱锥,但不能保证顶点在底面上的射影为底面正多边形的中心,故C错误;棱台是由平行于棱锥底面的平面截得的,故棱台的各侧棱延长后必交于一点,故D正确.(2)由题意,可得平面图如图所示.在斜二测视图△A'B'C'中,O'C'＝O'A'＝2O'B'＝2,∴S△A'B'C'＝2×12×1×2×sin45°＝2又OB＝2O'B'＝2,OA＝O'A'＝2,OC＝O'C'＝2,所以S△ABC＝12×4×2＝4所以△A'B'C'的面积是△ABC的面积的24倍,故B正确∴在△ABC中,OC＝OA＝2,OB＝2O'B'＝2,∴AC＝AO＋CO＝2＋2＝4,∴AB＝BC＝22＋2∵AB2＋BC2＝AC2,∴∠ABC＝90°,∴△ABC是等腰直角三角形,故A错误,C正确;又C△ABC＝AB＋BC＋AC＝22＋22＋4＝42＋4,故D正确.(3)把圆锥侧面沿母线PA剪开,展在同一平面内得扇形APA',连接AB,如图,令扇形APA'圆心角大小为θ,则12θ＝2π×3,解得θ＝π2在Rt△PAB中,PB＝13PA'＝4则AB＝PB2＋所以一只蚂蚁从A点出发,沿圆锥侧面绕行一周到达B点,最短路线长度为410.感悟提升1.辨别空间几何体的两种方法(1)定义法:紧扣定义进行判定;(2)反例法:要说明一个结论是错误的,只需举出一个反例即可.2.在斜二测画法中,要确定关键点及关键线段:平行于x轴的线段平行性不变,长度不变;平行于y轴的线段平行性不变,长度减半.直观图的面积与原图形面积的关系:S直观图＝24S原图形3.在解决空间曲线(段)最短问题时一般考虑其展开图,采用化曲为直的策略,将空间问题平面化.训练1(1)给出下列四个命题,正确的是()A.有两个侧面是矩形的立体图形是直棱柱B.侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥C.侧面都是矩形的直四棱柱是长方体D.底面为正多边形,且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱(2)(2026·安徽部分学校模拟)在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中,AB＝4,AA1＝5,E,F,G分别为侧棱BB1,CC1,DD1上一点,则AE＋EF＋FG＋GA1的最小值为()A.281 B.283C.285 D.14(3)如图,△A'O'B'是水平放置的△AOB的直观图,但部分图象被茶渍覆盖,已知O'为坐标原点,顶点A',B'均在坐标轴上,且△AOB的面积为12,则O'B'的长度为.

答案(1)D(2)A(3)2解析(1)对于A,平行六面体的两个相对侧面也可能是矩形,故A错;对于B,等腰三角形的腰不是侧棱时不一定成立(如图),故B错;对于C,若底面不是矩形,则C错;对于D,可知侧棱垂直于底面,故D正确.(2)将正四棱柱ABCD－A1B1C1D1(图①)的侧面展开,得到展开图(图②),当A,E,F,G,A1五点共线时,AE＋EF＋FG＋GA1取得最小值,且最小值为(4×4)2(3)法一如图,画出△AOB的原图,为直角三角形,且OA＝O'A'＝6,因为12OB·OA＝12所以OB＝4,所以O'B'＝12OB法二S直观图＝24S原图形＝32又S直观图＝12O'A'·O'B'·sin∠A'O'B'所以O'B'＝2.考点二表面积例2(1)(2026·湖北部分高中协作体模拟)已知一个圆锥和圆柱的底面半径和高分别相等,若圆锥的轴截面是等边三角形,则这个圆锥和圆柱的侧面积之比为()A.12 B.C.33 D.(2)攒尖是中国古建筑中屋顶的一种结构形式,兰州市著名景点三台阁(如图1)的屋顶部分是典型的攒尖结构.如图2所示是某研究性学习小组制作的三台阁仿真模型的屋顶部分,它可以看作是不含上底面的正四棱台和正三棱柱的组合体,已知正四棱台上底边、下底边、侧棱的长度(单位:dm)分别为2,6,4,正三棱柱各棱长均相等,则该结构的表面积为dm2.

答案(1)C(2)343＋8解析(1)设圆锥和圆柱的底面半径为r,因为圆锥的轴截面是等边三角形,所以圆锥的母线长l＝2r,则圆锥和圆柱的高h＝4r2所以圆锥的侧面积S1＝12×2πr×l＝2πr2圆柱的侧面积S2＝2πrh＝23πr2,所以圆锥和圆柱的侧面积之比为S1S2(2)正三棱柱的侧面积为2×2×2＝8(dm2),底面积为2×12×2×2×sin60°＝23(dm2正四棱台中,侧面梯形的高为42−6−22所以正四棱台的侧面积为4×(2＋6)×232＝32所以该结构的表面积为8＋23＋323＝(343＋8)(dm2).感悟提升空间几何体表面积的求法(1)旋转体的表面积问题注意其轴截面及侧面展开图的应用,并弄清底面半径、母线长与对应侧面展开图中边的关系.(2)多面体的表面积是各个面的面积之和;组合体的表面积注意衔接部分的处理.训练2(1)(2026·郑州模拟)中国被称为“制扇王国”,折扇的起源历史悠久,最早可以追溯到西汉时期.现有一把折扇,其结构如图.完全展开后扇面的圆心角为23π,上板长为16cm.若把该扇面围成一个圆台,A.2 B.4C.6 D.32(2)在《九章算术》中,将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马.已知四棱锥P－ABCD为阳马,底面ABCD是边长为2的正方形,有两条侧棱长为3,则该阳马的表面积为.

答案(1)D(2)10＋25解析(1)作出图形如图,由题意知BD＝16cm,∠BSE＝2π3设∠SBA＝∠SDC＝θ,AB＝rcm,SB＝lcm,则2πrl＝2π所以cosθ＝rl＝13,所以sin所以圆台的高为BDsinθ＝16×2＝3223(cm).(2)如图,不妨设PA⊥平面ABCD,由题意,AB＝BC＝CD＝AD＝2,易知PB＝PD＝3,则PA＝32易知△PAB,△PAD为直角三角形,因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥BC,又AB⊥BC,PA∩AB＝A,所以BC⊥平面PAB,所以BC⊥PB,△PBC为直角三角形,同理可得CD⊥PD,△PCD为直角三角形,所以该阳马的表面积S＝2S△PAB＋2S△PBC＋S正方形ABCD＝2×12×2×5＋2×12×2×3＋22＝10＋2考点三体积角度1公式法例3(2026·武汉质检)中国冶炼铸铁的技术比欧洲早2000年左右,冶炼铸铁技术的诞生标志着真正的铁器时代的开始.现将一个表面积为1600πcm2的实心铁球熔化后,浇铸成一个正四棱台形状的实心铁锭(浇铸过程体积无变化),该铁锭的上、下底面的边长分别为20πcm和40πcm,则该铁锭的高为cm.

答案80解析设实心铁球的半径为Rcm,则4πR2＝1600π,解得R＝20,则实心铁球的体积为43πR3＝320003π(cm设正四棱台的实心铁锭的高为hcm,因为实心铁球的体积和正四棱台的实心铁锭体积相等,所以13h[(20π)2＋(40π)2＋(20π)2解得h＝807角度2割补法例4(1)如图为一个木楔子的直观图,其中四边形ABCD是边长为2的正方形,且△ADE,△BCF均为正三角形,EF∥CD,EF＝4,则该木楔子的体积为()A.823 C.423 (2)(2024·天津卷改编)一个五面体ABC－DEF.已知AD∥BE∥CF,且两两之间距离为1,AD＝1,BE＝2,CF＝3,则该五面体的体积为.

答案(1)A(2)3解析(1)如图,分别过点A,B作EF的垂线,垂足分别为G,H,连接DG,CH,易得EG＝HF＝1,AG＝GD＝BH＝HC＝3.取AD的中点O,连接GO,易得GO＝2,∴S△ADG＝S△BCH＝12×2×2＝2∴多面体的体积V＝V三棱锥E－ADG＋V三棱锥F－BCH＋V三棱柱AGD－BHC＝2V三棱锥E－ADG＋V三棱柱AGD－BHC＝13×2×1×2＋2×2＝8(2)因为AD,BE,CF两两平行,且两两之间距离为1,则该五面体可以看作底面边长为1的正三棱柱的一部分,然后分成一个侧棱长为1的三棱柱和一个底面为梯形的四棱锥,如图,其中三棱柱的体积等于棱长均为1的直三棱柱的体积,四棱锥的高为32,底面是上底为1、下底为2、高为1的梯形故该五面体的体积V＝12×1×32×1＋13×3角度3等体积法例5(2026·南平模拟)已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1的体积为4,若将其截去三棱锥C1－B1BD1,则剩余几何体的体积为.

答案10解析设点D1到平面BCC1B1的距离为h,四边形BCC1B1的面积为S,显然有4＝Sh,因为V＝13·12S·h＝所以剩余部分几何体的体积为4－23感悟提升求空间几何体的体积的常用方法(1)公式法:规则几何体的体积,直接利用公式.(2)割补法:把不规则的几何体分割成规则的几何体,或者把不规则的几何体补成规则的几何体.(3)等体积法:通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法,特别是三棱锥的体积.训练3(1)(2024·新高考Ⅰ卷)已知圆柱和圆锥的底面半径相等,侧面积相等,且它们的高均为3,A.23π B.3C.63π D.9(2)(多选)如图,在直三棱柱ABC－A1B1C1中,AB＝2,BC＝3,CC1＝4,且AB⊥BC,P为BC1的中点,则()A.三棱锥A－BCC1的体积为4B.三棱锥C－APC1的体积为5C.四棱锥C1－ABB1A1的体积为8D.三棱锥C1－ABC的表面积为14＋2答案(1)B(2)ACD解析(1)设圆柱的底面半径为r,则圆锥的母线长为r而它们的侧面积相等,所以2πr×3＝πr×即23＝3＋r故圆锥的体积为13π×9×3＝3(2)对于A,V三棱锥A−BCC1＝V三棱锥C1−ABC＝13×CC对于B,V三棱锥而三棱锥A－BCC1与三棱锥A－PCC1有共同的高,∵P为BC1的中点,∴S△∴V三棱锥A−PCC1＝对于C,V四棱锥V三棱锥C1−ABC＝12×2×对于D,由题可知,AC＝13,AC1＝BC1＝5,∴AB2＋BC12＝A∴△ABC1是直角三角形,AB⊥BC1,∴三棱锥C1－ABC的表面积为S△ABC＋S△BCC1＋S△ACC1＋S△ABC1＝12×2一、单选题1.圆柱的母线长为4,底面半径为2,该圆柱的体积为()A.8π B.12πC.16π D.20π答案C解析因为圆柱的母线长为4,底面半径为2,所以圆柱的体积为V＝πr2h＝π×22×4＝16π.2.用斜二测画法画出的水平放置的△ABC的直观图如图所示,其中D'是B'C'的中点,且A'D'∥y'轴,B'C'∥x'轴,A'D'＝B'C'＝2,那么S△ABC等于()A.2 B.2C.22 D.4答案D解析法一由题意知,S△A'B'C'＝2×12×sin∠A'D'C'×A'D'×D'C'＝2×12×22×2×1＝2,所以S△ABC＝22S△A'B'C'＝22法二根据题意,把直观图还原,则原平面图形为等腰三角形,如图所示,其中AD⊥BC,AD＝2A'D'＝4,BC＝B'C'＝2,原平面图形的面积为S△ABC＝12BC·AD＝12×23.(2026·邵阳模拟)已知圆锥的底面半径为1,侧面积为4π,则此圆锥的侧面展开图的圆心角为()A.π6 B.C.π3 D.答案D解析设圆锥的母线长为l,可得底面圆的周长为2π·1＝2π,由题意可得12l·2π＝4π,解得l＝4所以圆锥的侧面展开图的圆心角为2π44.(2026·绍兴质检)有这样一个古算题:“今有木长二丈四尺,围之五尺,葛生其下,缠本两周,上与木齐,问葛长几何?”,其意思为“圆木长2丈4尺,圆周长为5尺,葛藤从圆木的底部开始向上生长,绕圆木两周,刚好顶部与圆木平齐,问葛藤最少长多少尺?”(注:1丈等于10尺),则这个问题中,葛藤长的最小值为()A.2丈4尺 B.2丈5尺C.2丈6尺 D.2丈8尺答案C解析取圆木两个的侧面展开图如图,在Rt△ABC中,BC(即圆木的高)长24尺,AB＝5×2＝10(尺),因此葛藤长的最小值为242＋102＝26(尺),即为25.(2026·广州模拟)在母线长为4,底面直径为6的一个圆柱中挖去一个体积最大的圆锥后,得到一个几何体,则该几何体的表面积为()A.33π B.39πC.48π D.57π答案C解析设圆柱的底面半径为r,高为h,则r＝3,h＝4,体积最大的圆锥的母线长l＝h2＋则该几何体的表面积S表＝S圆柱侧＋S圆柱底＋S圆锥侧＝2πrh＋πr2＋πrl＝24π＋9π＋15π＝48π.6.(2026·秦皇岛模拟)如图,某工厂储存原料的储存仓是由圆柱和圆锥构成的,若圆柱的高是圆锥高的2倍,且圆锥的母线长是2,侧面积是2π,则该储存仓的体积为()A.33π B.4C.733π D.2答案C解析设圆锥的底面圆半径为r,由侧面积是2π,得πr·2＝2π,解得r＝1,圆锥的高h＝22则圆柱的高为23,所以该储存仓的体积为V＝13π×12×3＋π×12×237.(2026·西安模拟)已知正三棱锥S－ABC的侧棱长为1,E,F分别是SA,SC上的动点,当△BEF周长的最小值为2时,三棱锥的侧面积为()A.34 C.54 答案A解析将正三棱锥S－ABC的侧面沿侧棱SB剪开并展开在同一平面内,如图,连接BB',当E,F分别为BB'与SA,SC的交点时,△BEF的周长最小,此时BB'＝2,而SB＝SB'＝1,SB2＋SB'2＝2＝BB'2,则∠BSB'＝90°,∠ASB＝30°,所以三棱锥的侧面积为3×12SA×SBsin30°＝34.8.(2026·烟台模拟)如图,在六面体ABCD－A1B1C1D1中,AA1⊥平面A1B1C1D1,四边形ABCD与A1B1C1D1为两个全等的矩形,且AB∥A1B1,AD∥A1D1,若BC＝A1B1＝AA1＝2,AB＝B1C1＝4,则该六面体的体积为()A.14 B.52C.623 答案B解析在长方体A1B2C2D1－ABC3D2中,A1B2＝AB＝B1C1＝4,AA1＝2,BC＝A1B1＝AA1＝2.根据题意可知,六面体ABCD－A1B1C1D1可以看成长方体A1B2C2D1－ABC3D2的一部分.因为长方体A1B2C2D1－ABC3D2的体积V＝S正方形A1B2C2D1直三棱柱BB1B2－C3C1C2的体积V1＝S△BB1B2×|B2C2|＝1直三棱柱CC2C3－DD1D2的体积V2＝S△CC2C3×|D1C2|＝1三棱锥C－C1C2C3的体积V3＝13×S△C1C2C3×|CC3|＝13×所以六面体ABCD－A1B1C1D1的体积为V－V1－V2＋V3＝32－8－8＋43二、多选题9.下列说法中正确的是()A.各侧棱都相等的棱锥为正棱锥B.长方体是直四棱柱C.用一个平面去截圆锥,圆锥底面和截面之间的部分为圆台D.球面可以看作一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面答案BD解析对于A,各侧棱都相等,但无法保证底面为正多边形,故A错误;对于B,易知长方体的侧棱和底面垂直,所以是直四棱柱,故B正确;对于C,根据圆台的定义,用平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面和截面之间的部分为圆台,故C错误;对于D,球面可以看作一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面,故D正确.10.如图所示为四边形ABCD的平面图,其中AB∥CD,AB＝2CD＝4,AD⊥AB,AD＝22,用斜二测画法画出它的直观图四边形A'B'C'D',其中∠x'A'y'＝45°,则下列说法正确的是()A.A'D'＝22B.A'B'＝4C.四边形A'B'C'D'为等腰梯形D.四边形A'B'C'D'的周长为6＋42答案BC解析由题意可画出其直观图如图,其中A'B'∥C'D',A'B'＝AB＝4,C'D'＝CD＝2,A'D'＝12AD＝2,故A错误,B正确过点D',C'分别作D'M⊥A'B',C'N⊥A'B',垂足分别为M,N,故A'M＝D'M＝C'N＝A'D'sin45°＝1,NB'＝A'B'－C'D'－A'M＝1,故B'C'＝2,则四边形A'B'C'D'为等腰梯形,故C正确;故四边形A'B'C'D'的周长为4＋2＋22＝6＋22,即D错误.11.(2026·南昌模拟)如图,平行六面体ABCD－A1B1C1D1的体积为6,点P为线段A1B上的动点,则下列三棱锥中,其体积为1的有()A.三棱锥P－C1CD B.三棱锥P－B1D1DC.三棱锥P－D1B1C D.三棱锥P－D1AC答案ACD解析记平行六面体ABCD－A1B1C1D1的体积为V＝6,对于A,由平行六面体的性质,A1B∥平面D1DCC1,故点P到平面D1DCC1的距离等于点B到平面D1DCC1的距离,故VP−C1CD＝VB−对于B,因为VP−B1D1D＝12VP−B1D1DB,对于C,因为A1B∥CD1,A1B⊄平面D1B1C,D1C⊂平面D1B1C,故A1B∥平面D1B1C,点P到平面D1B1C的距离等于点B到平面D1B1C的距离,故VP−D1B1C＝V对于D,因为A1B∥CD1,A1B⊄平