第2课时 列代数式表示数量关系

第2课时列代数式表示数量关系教学目标课题3.1第2课时列代数式表示数量关系授课人素养目标1.能分析具体问题中的简单数量关系，并用代数式表示.2.初步培养学生的观察、分析能力，发展学生的抽象能力与符号意识，感受数学与实际生活的密切联系.教学重点列代数式.教学难点根据稍复杂实际问题中的数量关系列代数式.教学活动教学步骤师生活动活动一：创设情境，新课导入设计意图设计真实情境让学生回答，既能回顾上节课所学，也为更深入地探讨列代数式做铺垫.【情境引入】在解决一些数学问题与实际问题时，往往需要先把问题中的数量关系用含有数、字母和运算符号的式子表示出来，也就是要列代数式.回忆上节课所学内容，解答下面的问题：如图，在国庆阅兵式上，有女民兵和三军女兵两种特殊方队.(1)若女民兵方队有ɑ人，三军女兵方队有b人，则两种方队共有（ɑ+b）人；(2)若三军女兵方队的平均年龄为m岁，比女民兵方队的平均年龄大n岁，则女民兵方队的平均年龄为（m-n）岁；(3)若三军女兵方队共有m排，且每排有25人，则三军女兵方队的人数为25m；(4)女民兵方队用ts走了sm，则她们的平均速度可以表示为eq\f(s,t)m/s.这就是列代数式，这节课我们将更深入地对这方面进行探究，让我们准备好一起进入今天的探索之旅吧！【教学建议】通过阅兵式的情境再现，激励学生的斗志，激发学生的学习热情．问题并不难，可让学生口答，答案的4个式子包含有＋，-，×，÷这四种运算，学生口答过程中，教师顺势板书好答案，为下一步学生观察、理解和更深入地探究列代数式埋下伏笔.活动二：自主思考，探究新知设计意图探究列代数式表示数学运算，以及用代数式表示运算律或公式等.探究点1列代数式表示数学运算中的数量关系如无特别说明，a，b两数的差，a与b的差，都指“a-b”.

思考我们在上一节课曾探讨过代数式的意义，如2ɑ+3的意义是ɑ的2倍与3的和.反过来，如果已知某种数学运算，如ɑ,b两数的和与差的积，那么该如何用代数式表示呢？如无特别说明，a，b两数的差，a与b的差，都指“a-b”.

可以按下面的步骤列代数式：所以ɑ，b两数的和与差的积为（ɑ+b）（ɑ-b）.例1用代数式表示：（1）比m的3倍小3的数；（2）m的平方的3倍与5的和；（3）m的倒数与n的积.解：（1）3m-3；（2）3m2+5；（3）nm.【对应训练】教材P73练习第1题.【教学建议】这一环节教学时教师以引导为主，不要直接明晰结论，应先鼓励学生尽可能回忆以前学过的运算法则、运算律及计算公式等，用代数式表示出来，并让学生说明其中每个字母代表的含义.注意跟学生强调：一个代数式中可能会有多个字母，它们代表的量各不相同.教学步骤师生活动设计意图通过例题使学生明确如何将实际背景中的数量关系转化成数学语言进行描述，再进一步列出代数式.探究点2列代数式表示实际情境中的数量关系例2（（教材P72例3）用代数式表示：（1）购买2个单价为ɑ元的面包和3瓶单价为b元的饮料所需的钱数.（2）把ɑ元钱存入银行，存期3年，年利率为2.75%，到期时的利息是多少元？（3）某商品的进价为x元，先按进价的1.1倍标价，后又降价80元出售，现在的售价是多少元？分析提问：想一想各小题中的数量关系是怎样的？试着填写下表：解：（1）购买2个单价为ɑ元的面包和3瓶单价为b元的饮料所需的钱数为（2ɑ+3b）元.（2）根据题意，得ɑ×2.75%×3=8.25%ɑ，因此到期时的利息为8.25%ɑ元.（3）现在的售价为（1.1x-80）元.从上面的例子可以看出，用字母表示数，字母可以和数一样参与运算，从而可以用代数式把数量或数量关系简明地表示出来，更具有一般性.【对应训练】教材P73练习第2，3，4题.【教学建议】这一环节教学可采用板演，学生自己充当小教师检查学生理解、掌握情况，仿照例题学会分析数量关系，并规范作答.最后注意强调：1.同一个字母，在不同的问题背景中可以表示不同的量，如（1）（2）中的字母ɑ；2.某些代数式中有些部分可以适当化简，如（3）中2.75%与3相乘得到8.25%.活动三：强化训练，巩固提升设计意图设计稍复杂的实际问题中的行程问题，以考查学生列代数式的能力，既强化了学生的应用能力，提高了学生对知识的掌握程度，也为后面学习方程、不等式等相关实际问题背景进行熟悉和预热.活动四：随堂训练，课堂总结探究点3代数式的意义例3（教材P72例4）甲、乙两地之间公路全长240km，汽车从甲地开往乙地，行驶速度为vkm/h.（1）汽车从甲地到乙地需要行驶多少小时？（2）如果汽车的行驶速度增加3km/h，那么汽车从甲地到乙地需要行驶多少小时？汽车加快速度后可以早到多少小时？分析提问：（1）本题包含了几个量？它们之间有什么关系？本题包含路程、速度和时间三个量.它们之间具有关系：时间=eq\f(路程,速度).（2）早到的时间与原来需要行驶的时间和加快速度后需要行驶的时间有什么联系？早到的时间=原来需要行驶的时间-加快速度后需要行驶的时间.解：（1）汽车从甲地到乙地需要行驶eq\f(240,v)h.（2）如果汽车的行驶速度增加3km/h，那么汽车从甲地到乙地需要行驶eq\f(240,v+3)h.汽车加快速度后可以早到(eq\f(240,v)-eq\f(240,v))h.【对应训练】张华同学报名参加了某市越野赛10km体验组的比赛，计划以xkm/h的平均速度跑完全程，为了取得更好的成绩，实际比赛时他以计划平均速度的1.2倍跑完了全程．（1）用代数式表示张华同学实际跑完全程所用的时间：eq\f(10,1.2x)h；（2）王老师也报名参加了此次越野赛10km体验组的比赛，他计划一半路程以ɑkm/h的平均速度前进，而另一半路程以bkm/h(ɑ≠b)的平均速度前进，用代数式表示王老师跑完全程所用的时间.解：一半路程以ɑkm/h的平均速度前进，用时eq\f(5,ɑ)h，另一半路程以bkm/h的平均速度前进，用时eq\f(5,b)h，故王老师跑完全程所用的时间为(eq\f(5,ɑ)+eq\f(5,b))h．【随堂训练】见《创优作业》“随堂小练”册子相应课时随堂训练.【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：你能分析实际问题中的数量关系，并列出代数式吗？【知识结构】【作业布置】1.教材P75习题3.1第1,3,10,11题.2.《创优作业》主体本部分相应课时训练.【教学建议】例题和练习题都属于行程问题，解决这类问题必须掌握行程问题的公式，即时间、路程、速度之间的关系.需要注意跟学生强调，列出的代数式如果形式比较复杂，出现不止一个运算符号，只要不出现关系符号（如“=”“<”），无论用多少个运算符号连接都属于代数式的范畴；同时在相同的问题背景下，相同的字母表示相同的量，不同的量是用不同的字母来表示的.板书设计第2课时列代数式表示数量关系1.列代数式表示数学运算、运算律、公式等2.根据实际问题列代数式教学反思本节课是在学生上节课已学习了代数式的基础上，更进一步结合实际对列代数式进行探究，使学生的思维逐步由数到式，能更好地完成数学文字语言与符号语言的转换.由于学生已经有一个较好的基础，可抓住学生好问好答的特性，将本节课难点渗透于各部分讲解中，寓教于乐，从而轻松实现难点突破.解题大招一用代数式表示稍复杂的数或数学运算中的数量关系1.列代数式表示稍复杂的数或数学运算解决此类题的关键是找准数量关系，如果运算较为复杂，可进行分步“拆解”，最后得到正确的代数式.同时量与量之间的先后顺序不要混淆，如之前提到的ɑ与b的差是ɑ-b，不可错写成b-ɑ.例1用代数式表示：①比x的立方的4倍大y的数；②m的3倍与n的差的平方；③ɑ，b两数的和的平方减去它们的积的2倍；④ɑ，b两数的平方的差除以ɑ，b两数的和的平方的商.解：①4x3+y；②（3m-n）2；③（ɑ+b)2-2ɑb；④eq\f(a2-b2,(a+b)2).2.列代数式表示多位数用代数式表示多位数时，一般情况下多位数有几位，就用含几个字母的代数式来表示，列代数式时把表示每个数位上的数字的字母乘以这个数位的位数（个位的位数是1，十位的位数是10，百位的位数是100，以此类推），再把积相加即可，例如100ɑ+10b+c可表示一个三位数（ɑ，b，c分别表示百位、十位、个位上的数字）.例2一个两位数,个位上的数字是ɑ,十位上的数字比个位上的数字大1,则这个两位数是10(ɑ+1)+ɑ.解题大招二列代数式解决实际问题有些实际问题中的数量关系较为复杂，可能存在多个数量关系，对于这种层次较多的题目，原则上可采取“浓缩原题，分段处理，最后组装”的方式来处理.例3某工厂需生产n个零件，原计划每天生产ɑ个零件，实际每天比原计划多生产b个零件，则实际生产所用的天数比原计划少（eq\f(n,ɑ)-eq\f(n,ɑ+b)）天.培优点列代数式解决特殊实际问题综合训练一、选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的)1.下列是代数式的是()A.0<2 B.x2-1≠0 C.-3 D.x+y=12.已知语句“b比a的3倍多1”,下列关于甲、乙的判断正确的是()甲:用a表示b的代数式是3a+1;乙:用b表示a的代数式是b+1A.甲、乙都对 B.甲、乙都错 C.甲对,乙错 D.甲错,乙对3.一个三位数,百位数字为a,十位数字为b,个位数字为c,则这个三位数为()A.abc B.a+b+c C.100a+10b+c D.100abc4.已知甲、乙两数的和为30,若甲数为x,则甲数的3倍与乙数的23的和用含有x的式子表示正确的是(A.3(30-x)+23 B.23(3x+30C.3x+23(30-x) D.3(30-x)+5.代数式a2+b2可以表示不同实际问题中的数量关系,下列举例恰当的是()A.长是a,宽是b的长方形的周长B.购买(a+b)本单价为(a+b)元的笔记本的总价钱C.买a支单价为a元的钢笔和b支单价为b元的铅笔的总价钱D.边长是a+b的正方形的面积6.下列四个说法:①书的总页数一定,未读的页数与已读的页数成正比例;②如果圆的半径不变,圆的周长与圆周率成正比例;③小麦的总产量一定,每公顷产量与公顷数成反比例;④圆柱的体积一定,圆柱的底面积与高成反比例.其中正确说法的个数是()A.1 B.2 C.3 D.47.规定新运算:x◎y=xy-y2,则12◎(-2)=(A.-5 B.3 C.-3 D.18.若2024×7=x,则下列代数式可以表示2024×5的是()A.x+4048 B.x-2024 C.x-2 D.579.某商场针对一款服装给出两个调价方案:①先提价10%,再降价10%;②先降价20%,再提价20%.下列说法正确的是()A.①②两种方案的调价结果相同B.方案①的售价比方案②的售价低C.方案①的售价比方案②的售价高D.无法比较,调整后的售价高低取决于服装原售价10.某窗户的形状如图所示,其上部是半圆形,下部是由两个相同的长方形和一个正方形构成.已知半圆的半径为acm,长方形的长和宽分别为bcm和ccm.给出下面四个结论:①窗户外围的周长是(πa+3b+2c)cm;②窗户的面积是(πa2+2bc+b2)cm2;③b+2c=2a;④b=3c.上述结论中,所有正确结论的序号是()A.①② B.①③ C.②④ D.③④二、填空题(将结果填在题中横线上)11.一支铅笔的价格是a元,一块橡皮的价格是b元,买3支铅笔和7块橡皮应付元.

12.一个长方体容器的底面是长为a,宽为b的长方形,将体积为V的水倒入这个长方体容器,则水面的高度为.(用含a,b,V的式子表示)

13.若比-2大3的数为x,-5的绝对值为y,-14的4倍为z,则x+y+z=.14.已知甲、乙两种书的售价分别为12元/本、20元/本,现购买a本甲书和b本乙书,共付款W元.(1)W=;(用含a,b的式子表示)

(2)若|a-2|+(b-1)2=0,则W的值为.

15.一组数-2,5,-8,11,-14,17……按这样的规律排列下去,则第10个数为.

16.某超市以m元/袋的价格购进了200袋相同的酱料,加价50%卖出了180袋,剩余每袋比进价增加n元后全部卖出,卖完这批酱料该超市可获得利润元.(用含m,n的代数式表示)

三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.用代数式表示:(1)长为x,宽为y的长方形的面积;(2)棱长为a的正方体的表面积;(3)某班总人数为m,女生人数是男生人数的35(4)a的相反数与b的倒数的和(b≠0);(5)x,y两数的平方和减去它们积的2倍;(6)底面半径为r,体积为V的圆锥的高.18.下图是一个“数值转换机”的示意图.输入x→乘4→减6→除以2→输出(1)输出的结果用含x的代数式表示为;

(2)当输入x=13时,求输出的值19.已知m是6的相反数,n比-m的相反数大3.(1)直接写出m=,n=.

(2)求-n-m+7的值.20.某服装厂生产一种西装和领带,西装每套定价300元,领带每条定价40元.厂方在开展促销活动期间,向客户提供两种优惠方案.方案一:买一套西装送一条领带;方案二:西装和领带的定价打九折付款.现有某客户要到该服装厂购买西装50套,领带x条(x>50).(1)若该客户按方案一购买,需付款元.(用含x的代数式表示)

若该客户按方案二购买,需付款元.(用含x的代数式表示)

(2)若该客户购买西装50套,领带60条,请通过计算说明按哪种方案购买较为合算.(3)若该客户购买西装50套,领带200条,请通过计算说明按哪种方案购买较为合算.21.观察、探究、应用(1)在下列横线上用含有a,b的代数式表示相应图形的面积.①②③④

(2)通过拼图,你发现前3个图形的面积与第4个图形的面积之间有什么关系?请用数学式子表示:(用含字母a,b的等式表示).

(3)利用(2)的结论计算:①172+2×17×3+32;②1992+398+1的值.综合训练1.C2.C3.C4.C5.C6.B7.A解析:因为x◎y=xy-y2,所以12◎(-2)=12×(-2)-(-2)2=-1-4=-8.D9.C10.B解析:根据题干图形,可知窗户的周长是12×2π×a+b+c+b+c+b=(πa+3b+2c)cm,故①正确窗户的面积是12πa2+2bc+b2,故②错误由题干图形可知b+2c=2a,故③正确;由b+2c=2a,得不出b和c之间的关系,故④错误.故选B.11.(3a+7b)12.V13.514.(1)(12a+20b)(2)44