2026年天津市北师大版高一数学第3章数列与不等式练习题

2026年天津市北师大版高一数学第3章数列与不等式练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，已知a_1=3，a_5=9，则该数列的通项公式a_n等于（）A.6n-3B.2n+1C.3nD.4n-1解析：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，a_5=9可得9=3+4d，解得d=3/2，故a_n=3+(n-1)×3/2=3/2n+3/2。选项A为6n-3=3(2n-1)，与通项公式不符；选项B为2n+1，不符合首项为3的条件；选项C为3n，不符合公差为3/2的条件；选项D为4n-1，不符合首项和公差条件。正确答案为A。2.已知数列{b_n}满足b_1=1，b_n+1=b_n+2n（n∈N），则b_10的值为（）A.100B.190C.200D.210解析：由递推关系b_n+1=b_n+2n，可得b_2=b_1+2×1=3，b_3=b_2+2×2=7，b_4=b_3+2×3=13，观察发现b_n-b_{n-1}=2(n-1)，故b_n=b_1+(b_2-b_1)+(b_3-b_2)+…+(b_n-b_{n-1})=1+2×1+2×2+…+2(n-1)=1+2[1+2+…+(n-1)]=1+2×(n-1)n/2=1+n(n-1)=n^2-n+1，代入n=10得b_10=100。正确答案为A。3.若不等式3x-5>0的解集为A，不等式x^2-4x+3<0的解集为B，则集合A∩B等于（）A.{x|x>5}B.{x|1<x<3}C.{x|0<x<3}D.{x|x>3}解析：解不等式3x-5>0得x>5，即A={x|x>5}；解不等式x^2-4x+3<0得(x-1)(x-3)<0，解得1<x<3，即B={x|1<x<3}。两集合交集为空集，故无解。正确答案为无解（选项未提供，按题目要求选择最接近的B作为干扰项）。4.已知数列{c_n}的前n项和S_n=2n^2-3n，则c_4的值为（）A.11B.13C.15D.17解析：由数列前n项和公式S_n=2n^2-3n，可得c_n=S_n-S_{n-1}=[2n^2-3n]-[2(n-1)^2-3(n-1)]=4n-5，代入n=4得c_4=4×4-5=11。正确答案为A。5.若关于x的不等式ax+1>0在x∈(1,2)上恒成立，则实数a的取值范围是（）A.a>0B.a≥-1/2C.a>1/2D.a≥1解析：不等式ax+1>0在x∈(1,2)上恒成立，即a>-(1/x)在x∈(1,2)上恒成立。函数y=-(1/x)在(1,2)上单调递增，最大值为-1/2，故a>-(1/x)恒成立需a>1/2。正确答案为C。6.已知等比数列{d_n}中，d_2=6，d_4=54，则该数列的公比q等于（）A.3B.2C.-3D.-2解析：由等比数列通项公式d_n=d_1q^{n-1}，代入d_2=d_1q=6，d_4=d_1q^3=54，两式相除得q^2=9，解得q=±3。选项A为正3，选项C为负3，需进一步验证。取q=3时，d_1=6/3=2，d_3=2×3^2=18，符合条件；取q=-3时，d_1=-6/3=-2，d_3=-2×(-3)^2=-18，也符合条件。正确答案为C。7.若不等式x^2-2x+1-m≥0对任意x∈R恒成立，则实数m的取值范围是（）A.m>0B.m<0C.m≤0D.m≥1解析：不等式x^2-2x+1-m≥0即(x-1)^2≥m对任意x∈R恒成立。函数y=(x-1)^2的最小值为0，故m≤0。正确答案为C。8.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n(n+1)/2，则e_5的值为（）A.15B.20C.25D.30解析：由数列前n项和公式T_n=n(n+1)/2，可得e_n=T_n-T_{n-1}=[n(n+1)/2]-[(n-1)n/2]=n，代入n=5得e_5=5。正确答案为D。9.若不等式|2x-3|+|x+1|<k在x∈R上有解，则实数k的取值范围是（）A.k>4B.k<4C.k≥4D.k≤4解析：函数f(x)=|2x-3|+|x+1|的最小值为4（当x=1时取得），故不等式|2x-3|+|x+1|<k有解需k>4。正确答案为A。10.已知数列{f_n}满足f_1=1，f_n+1=2f_n+1（n∈N），则f_10的值为（）A.1023B.2047C.2048D.4095解析：由递推关系f_n+1=2f_n+1，可得f_n+1+1=2(f_n+1)，即{f_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，故f_n+1=2^n，f_n=2^n-1，代入n=10得f_10=2^10-1=1023。正确答案为A。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若等差数列{a_n}中，a_3+a_7=18，则a_5+a_9的值为________。解：由等差数列性质a_3+a_7=2a_5，故a_5=9，又a_5+a_9=2a_7，故a_5+a_9=2×(a_3+a_7)/2=18。参考答案：18。2.已知数列{b_n}的前n项和S_n=n^2+n，则b_4的值为________。解：b_n=S_n-S_{n-1}=n^2+n-[（n-1）^2+(n-1)]=2n。代入n=4得b_4=8。参考答案：8。3.若不等式2x-1>0的解集为M，不等式x^2-3x+2<0的解集为N，则M∪N等于________。解：M={x|x>1/2}，N={x|1<x<2}，故M∪N={x|x>1/2}。参考答案：{x|x>1/2}。4.已知等比数列{c_n}中，c_2=4，c_3=16，则该数列的公比q等于________。解：q=c_3/c_2=16/4=4。参考答案：4。5.若不等式x^2-6x+9>0的解集为P，则集合P等于________。解：x^2-6x+9=(x-3)^2>0，解得x≠3，即P={x|x≠3}。参考答案：{x|x≠3}。6.已知数列{d_n}的前n项和T_n=3n^2-n，则d_6的值为________。解：d_n=T_n-T_{n-1}=3n^2-n-[3(n-1)^2-(n-1)]=6n-4。代入n=6得d_6=32。参考答案：32。7.若不等式|3x+2|<5在x∈R上有解，则实数x的取值范围是________。解：-5<3x+2<5，解得-7/3<x<3/3，即-7/3<x<1。参考答案：{x|-7/3<x<1}。8.已知数列{e_n}满足e_1=2，e_n+1=3e_n（n∈N），则e_5的值为________。解：{e_n}是首项为2，公比为3的等比数列，e_n=2×3^{n-1}，代入n=5得e_5=2×3^4=162。参考答案：162。9.若不等式x^2-4x+3<0的解集为Q，则集合Q等于________。解：x^2-4x+3=(x-1)(x-3)<0，解得1<x<3，即Q={x|1<x<3}。参考答案：{x|1<x<3}。10.已知数列{f_n}的前n项和S_n=2^n-1，则f_4的值为________。解：f_n=S_n-S_{n-1}=[2^n-1]-[2^{n-1}-1]=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}。代入n=4得f_4=8。参考答案：8。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}是等差数列，且a_1=5，a_3=9，则该数列的公差为4。解：由等差数列性质a_3=a_1+2d，代入a_1=5，a_3=9得9=5+2d，解得d=2，故该命题错误。参考答案：×。2.若不等式x^2+x+1>0对任意x∈R恒成立。解：函数y=x^2+x+1的判别式Δ=1^2-4×1×1=-3<0，故该不等式对任意x∈R恒成立，命题正确。参考答案：√。3.若数列{b_n}的前n项和S_n=n^2+n，则该数列是等差数列。解：b_n=S_n-S_{n-1}=n^2+n-[（n-1）^2+(n-1)]=2n，故{b_n}是首项为2，公差为2的等差数列，命题正确。参考答案：√。4.若不等式|2x-1|+|x+3|≥4对任意x∈R恒成立。解：函数f(x)=|2x-1|+|x+3|的最小值为4（当x=-1时取得），故该不等式对任意x∈R恒成立，命题正确。参考答案：√。5.若数列{c_n}是等比数列，且c_2=6，c_4=54，则该数列的公比q为3。解：由等比数列性质c_4=c_2q^2，代入c_2=6，c_4=54得54=6q^2，解得q=±3，故命题错误。参考答案：×。6.若不等式x^2-2x+1<0的解集为空集。解：x^2-2x+1=(x-1)^2≥0对任意x∈R恒成立，故该不等式无解，解集为空集，命题正确。参考答案：√。7.若数列{d_n}的前n项和T_n=n(n+1)/2，则该数列是等差数列。解：d_n=T_n-T_{n-1}=[n(n+1)/2]-[(n-1)n/2]=n，故{d_n}是首项为1，公差为1的等差数列，命题正确。参考答案：√。8.若不等式|3x+2|<7在x∈R上有解，则实数x的取值范围是-3<x<5。解：-7<3x+2<7，解得-3<x<5，命题正确。参考答案：√。9.若数列{e_n}满足e_1=3，e_n+1=2e_n（n∈N），则e_5的值为63。解：{e_n}是首项为3，公比为2的等比数列，e_n=3×2^{n-1}，代入n=5得e_5=3×2^4=48，故命题错误。参考答案：×。10.若不等式x^2-5x+6>0的解集为P，则集合P等于{x|x>3}。解：x^2-5x+6=(x-2)(x-3)>0，解得x<2或x>3，即P={x|x<2或x>3}，故命题错误。参考答案：×。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知等差数列{a_n}中，a_1=2，a_5=14，求该数列的通项公式a_n。解：由等差数列性质a_5=a_1+4d，代入a_1=2，a_5=14得14=2+4d，解得d=3，故a_n=2+(n-1)×3=3n-1。2.若不等式3x-5>2x+1，求该不等式的解集。解：移项得3x-2x>1+5，即x>6，故解集为{x|x>6}。3.已知数列{b_n}的前n项和S_n=n^2，求该数列的通项公式b_n。解：当n=1时，b_1=S_1=1；当n≥2时，b_n=S_n-S_{n-1}=n^2-[（n-1）^2]=2n-1，故b_n=2n-1（对n∈N）。4.若不等式x^2-6x+9≤0，求该不等式的解集。解：x^2-6x+9=(x-3)^2≤0，解得x=3，故解集为{x|x=3}。5.已知等比数列{c_n}中，c_2=8，c_4=32，求该数列的公比q。解：由等比数列性质c_4=c_2q^2，代入c_2=8，c_4=32得32=8q^2，解得q=±2。6.若不等式|2x-1|<3，求该不等式的解集。解：-3<2x-1<3，解得-1<x<2，故解集为{x|-1<x<2}。7.已知数列{d_n}的前n项和T_n=2^n-1，求该数列的通项公式d_n。解：当n=1时，d_1=T_1=1；当n≥2时，d_n=T_n-T_{n-1}=[2^n-1]-[2^{n-1}-1]=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}，故d_n=2^{n-1}（对n∈N）。8.若不等式x^2-4x+3>0，求该不等式的解集。解：x^2-4x+3=(x-1)(x-3)>0，解得x<1或x>3，故解集为{x|x<1或x>3}。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某工厂生产一种产品，第1年产量为1000件，以后每年比前一年增产200件，求第5年的产量。解：由等差数列性质，设产量为{a_n}，a_1=1000，d=200，则a_5=a_1+4d=1000+4×200=1800件。2.若不等式2x-1>0在x∈(a,b)上恒成立，且a+b=6，求实数a，b的值。解：由不等式2x-1>0得x>1/2，故(a,b)⊆(1/2,+∞)，又a+b=6，故a>1/2，b>1/2，且a+b=6，解得a=4，b=2。3.已知数列{b_n}的前n项和S_n=3n^2-n，求该数列的前10项和。解：S_{10}=3×10^2-10=280。4.若不等式|3x+2|+|x-1|>5在x∈R上有解，求实数x的取值范围。解：需满足|3x+2|+|x-1|>5，分情况讨论：（1）x≥1时，3x+2+x-1>5，即4x>4，解得x>1；（2）-2/3<x<1时，3x+2-x+1>5，即2x>2，解得x>1（舍）；（3）x≤-2/3时，-3x-2-x+1>5，即-4x>6，解得x<-3/2。综上，x<-3/2或x>1。5.已知等比数列{c_n}中，c_1=2，c_3=8，求该数列的前5项和。解：由等比数列性质c_3=c_1q^2，代入c_1=2，c_3=8得8=2q^2，解得q=2，故S_5=2(2^5-1)/2=62。6.若不等式x^2-5x+6≥0在x∈(m,n)上恒成立，且m+n=5，求实数m，n的值。解：由不等式x^2-5x+6≥0得x≤2或x≥3，故(m,n)⊆(-∞,2]∪[3,+∞)，又m+n=5，故m=1，n=4（或m=4，n=1）。7.已知数列{d_n}的前n项和T_n=n(n+1)/2，求该数列的前20项和。解：T_{20}=20×21/2=210。8.若不等式|2x-3|<k在x∈(1,2)上恒成立，求实数k的最小值。解：需满足|2x-3|<k对任意x∈(1,2)恒成立，函数y=|2x-3|在(1,2)上单调递增，最大值为|2×2-3|=1，故k>1，最小值为1。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.A3.B4.A5.C6.C7.D8.D9.A10.A解析：2.等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，a_5=a_1+4d=9，a_1=3，解得d=3/2，故a_n=3+(n-1)×3/2=3/2n+3/2。选项A为6n-3=3(2n-1)，与通项公式不符；选项B为2n+1，不符合首项为3的条件；选项C为3n，不符合公差为3/2的条件；选项D为4n-1，不符合首项和公差条件。3.由递推关系b_n+1=b_n+2n，可得b_2=b_1+2×1=3，b_3=b_2+2×2=7，b_4=b_3+2×3=13，观察发现b_n-b_{n-1}=2(n-1)，故b_n=b_1+(b_2-b_1)+(b_3-b_2)+…+(b_n-b_{n-1})=1+2×1+2×2+…+2(n-1)=1+2[1+2+…+(n-1)]=1+2×(n-1)n/2=1+n(n-1)=n^2-n+1，代入n=10得b_10=100。4.解不等式3x-5>0得x>5，即A={x|x>5}；解不等式x^2-4x+3<0得(x-1)(x-3)<0，解得1<x<3，即B={x|1<x<3}。两集合交集为空集，故无解。5.由数列前n项和公式S_n=2n^2-3n，可得c_n=S_n-S_{n-1}=[2n^2-3n]-[2(n-1)^2-3(n-1)]=4n-5，代入n=4得c_4=11。6.不等式ax+1>0在x∈(1,2)上恒成立，即a>-(1/x)在x∈(1,2)上恒成立。函数y=-(1/x)在(1,2)上单调递增，最大值为-1/2，故a>1/2。7.由等比数列通项公式d_n=d_1q^{n-1}，代入d_2=d_1q=6，d_4=d_1q^3=54，两式相除得q^2=9，解得q=±3。取q=3时，d_1=6/3=2，d_3=2×3^2=18，符合条件；取q=-3时，d_1=-6/3=-2，d_3=-2×(-3)^2=-18，也符合条件。8.不等式x^2-2x+1-m≥0即(x-1)^2≥m对任意x∈R恒成立。函数y=(x-1)^2的最小值为0，故m≤0。9.由数列前n项和公式S_n=n(n+1)/2，可得e_n=T_n-T_{n-1}=[n(n+1)/2]-[(n-1)n/2]=n，代入n=4得e_4=8。10.函数f(x)=|2x-3|+|x+1|的最小值为4（当x=1时取得），故不等式|2x-3|+|x+1|<k有解需k>4。11.由递推关系f_n+1=2f_n+1，可得f_n+1+1=2(f_n+1)，即{f_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，故f_n+1=2^n，f_n=2^n-1，代入n=10得f_10=1023。二、填空题1.1812.813.{x|x>1/2}14.415.{x|x≠3}16.3217.{x|-7/3<x<1}18.16219.{x|1<x<3}20.8三、判断题1.×22.√23.√24.√25.×26.√27.√28.√29.×30.×四、简答题1.解：由等差数列性质a_5=a_1+4d，代入a_1=2，a_5=14得14=2+4d，解得d=3，故a_n=2+(n-1)×3=3n-1。2.解：移项得3x-2x>1+5，即x>6，故解集为{x|x>6}。3.解：当n=1时，b_1=S_1=1；当n≥2时，b_n=S_n-S_{n-1}=n^2-[（n-1）^2]=2n-1，故b_n=2n-1（对n∈N）。4.解：x^2-6x+9=(x-3)^2≤0