2025-2026年四川省人教版高二数学第四十七章排列组合练习题

2025-2026年四川省人教版高二数学第四十七章排列组合练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在排列组合问题中，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同排列的个数记作A(n,m)，其计算公式为A(n,m)=______。根据这一公式，若从5个不同元素中取出3个元素的排列数为60，则n的值为______。A.n(n-1)(n-2)...(n-m+1)B.n!/(n-m)!C.m!/(n-m)!D.C(n,m)×m!【答案】B【解析】排列数A(n,m)表示从n个不同元素中取出m个元素的所有不同排列的个数，其计算公式为A(n,m)=n(n-1)(n-2)...(n-m+1)。根据题意，从5个不同元素中取出3个元素的排列数为60，即A(5,3)=5×4×3=60，因此n=5。选项A为排列的递推公式，选项C为组合数与排列数的混淆公式，选项D为组合数与阶乘的乘积形式，均不符合排列数的定义。2.某班级有10名男生和8名女生，现需组成一个5人小组，要求小组中至少有2名女生，则不同组队方案的总数为______。A.C(10,3)×C(8,2)B.C(10,3)×C(8,3)C.C(18,5)-C(10,5)D.C(10,2)×C(8,3)+C(10,3)×C(8,2)【答案】D【解析】小组中至少有2名女生的条件可分解为两种情况：2名女生和3名男生，或3名女生和2名男生。-2名女生和3名男生的组队方案数为C(8,2)×C(10,3)=28×120=3360；-3名女生和2名男生的组队方案数为C(8,3)×C(10,2)=56×45=2520。因此，总方案数为3360+2520=5880，选项D正确。选项A仅考虑2名女生和3名男生的组合，选项B为3名男生和2名女生的组合，选项C错误地用总人数减去纯男生组队数，未考虑女生比例限制。3.若A(n,3)=60，B(n,2)=20，则n的值为______。A.4B.5C.6D.7【答案】B【解析】根据排列数公式A(n,3)=n(n-1)(n-2)=60，解得n=5。验证B(5,2)=5×4/2=10，与题意B(n,2)=20矛盾，故n≠5。重新解方程n(n-1)(n-2)=60，得n=5或n=-4（舍去），但B(5,2)=10≠20，因此无解。实际题设矛盾，正确答案应为无法解答，但按选项逻辑，B为唯一合理值。4.在集合{1,2,3,4,5}中，选取3个元素组成无重复数字的三位数，其中数字3必须出现在百位的情况数为______。A.24B.36C.48D.60【答案】A【解析】数字3固定在百位后，剩余两个位置从{1,2,4,5}中选取，排列数为A(4,2)=12。但若3在十位或个位，则排列数为C(4,2)×A(3,1)=12×3=36，总情况为12+36=48，选项C正确。5.某校文艺汇演有6个节目，其中含1个独唱、2个舞蹈、3个器乐演奏，若独唱节目必须排在第1或第6位，则不同排节目顺序的总数为______。A.720B.360C.480D.240【答案】B【解析】独唱节目固定在第1或第6位，其余5个节目（2舞蹈+3器乐）的排列数为5!=120。独唱在第1位时，剩余节目顺序为120；独唱在第6位时，剩余节目顺序为120。因此总排列数为120+120=240，选项D正确。6.从6名男生和4名女生中选出3人组成委员会，要求至少包含1名女生，则不同委员会的组队方案数为______。A.C(10,3)B.C(6,3)+C(4,3)C.C(10,3)-C(6,3)D.C(6,3)×C(4,3)【答案】C【解析】至少1名女生的条件等价于总方案数减去纯男生方案数。总方案数为C(10,3)=120，纯男生方案数为C(6,3)=20，因此至少1名女生的方案数为120-20=100，选项C正确。选项A为总方案数，选项B为1男2女或2男1女的组合，选项D为乘法原理错误应用。7.若A(n,4)=360，则n的值为______。A.6B.7C.8D.9【答案】A【解析】根据排列数公式A(n,4)=n(n-1)(n-2)(n-3)=360，解得n=6。验证A(6,4)=6×5×4×3=360，符合题意。选项B为A(7,4)=840，选项C为A(8,4)=1680，选项D为A(9,4)=3024，均不符合。8.在5名志愿者中安排3人分别负责A、B、C三个岗位，要求甲志愿者必须参与，则不同安排方案的总数为______。A.C(4,2)×A(3,3)B.A(4,2)×A(3,3)C.C(4,2)×3!D.A(4,2)×3!【答案】D【解析】甲志愿者必须参与，从剩余4人中选2人参与岗位安排，方案数为A(4,2)=12。3个岗位的排列数为3!=6，因此总方案数为12×6=72，选项D正确。选项A为组合数错误应用，选项B为乘法原理错误，选项C为组合数与阶乘乘积。9.若集合S={1,2,3,4,5,6}，从S中选取3个元素组成无重复数字的三位数，其中数字1和2不能相邻，则不同三位数的个数为______。A.120B.96C.108D.144【答案】B【解析】总排列数为A(6,3)=120。数字1和2相邻时，将1和2视为一个整体，与剩余4个元素排列，排列数为A(5,2)×2!=40。因此不相邻的方案数为120-40=80，选项B正确。10.从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同组合的个数记作C(n,m)，其计算公式为______。若C(7,m)=21，则m的值为______。A.n!/(m!(n-m)!)B.m!/(n!(m-n)!)C.C(n,m)×m!D.A(n,m)/m!【答案】A【解析】组合数C(n,m)表示从n个不同元素中取出m个元素的所有不同组合的个数，其计算公式为C(n,m)=n!/(m!(n-m)!）。根据题意，C(7,m)=21，解得m=3（C(7,3)=35/5=7，矛盾；C(7,2)=21，符合）。因此m=2。选项A正确，选项B为排列数与组合数的混淆公式，选项C为组合数与阶乘的乘积形式，选项D为排列数与组合数的比值。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.从6个不同元素中取出4个元素的组合数为______。【答案】15【解析】C(6,4)=6!/(4!×2!)=15。2.若A(n,3)=60，则n的值为______。【答案】5【解析】A(n,3)=n(n-1)(n-2)=60，解得n=5。3.从10名候选人中选出3人组成评审团，不同组队方案的总数为______。【答案】120【解析】C(10,3)=10!/(3!×7!)=120。4.在集合{1,2,3,4,5}中，选取3个元素组成无重复数字的三位数，其中数字3必须出现在百位的情况数为______。【答案】12【解析】3固定在百位，剩余两个位置从{1,2,4,5}中选取，排列数为A(4,2)=12。5.若A(n,4)=360，则n的值为______。【答案】6【解析】A(n,4)=n(n-1)(n-2)(n-3)=360，解得n=6。6.从7名运动员中选出4人参加比赛，要求甲运动员必须参加，则不同组队方案的总数为______。【答案】35【解析】从剩余6人中选3人，C(6,3)=20。7.在5名志愿者中安排3人分别负责A、B、C三个岗位，要求甲志愿者必须参与，则不同安排方案的总数为______。【答案】36【解析】从剩余4人中选2人参与，A(4,2)=12，3个岗位排列数为3!=6，总方案数12×6=72。8.从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同组合的个数记作C(n,m)，其计算公式为______。【答案】n!/(m!(n-m)!)【解析】组合数公式为C(n,m)=n!/(m!(n-m)!）。9.若C(7,m)=21，则m的值为______。【答案】2【解析】C(7,2)=7!/(2!×5!)=21。10.在集合{1,2,3,4,5}中，选取3个元素组成无重复数字的三位数，其中数字1和2不能相邻，则不同三位数的个数为______。【答案】48【解析】总排列数为A(5,3)=60。数字1和2相邻时，将1和2视为一个整体，与剩余3个元素排列，排列数为A(4,2)×2!=24。因此不相邻的方案数为60-24=36，选项B正确。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.排列数A(n,m)与组合数C(n,m)的关系为A(n,m)=C(n,m)×m!。该等式正确吗？______【答案】正确【解析】排列数A(n,m)表示从n个元素中取出m个元素的排列数，组合数C(n,m)表示从n个元素中取出m个元素的组合数。每个组合对应m个排列，因此A(n,m)=C(n,m)×m!。2.若A(n,3)=60，则n的值唯一确定。该命题正确吗？______【答案】错误【解析】A(n,3)=n(n-1)(n-2)=60，解得n=5或n=-4（舍去），因此n的值唯一确定的前提是n为正整数，但n=-4时公式仍成立，故命题错误。3.从10名候选人中选出3人组成评审团，不同组队方案的总数为C(10,3)×3!。该等式正确吗？______【答案】错误【解析】评审团无顺序要求，应使用组合数C(10,3)=120。若考虑顺序，则应使用排列数A(10,3)=720，但题目未明确顺序要求，故C(10,3)正确，等式错误。4.在集合{1,2,3,4,5}中，选取3个元素组成无重复数字的三位数，其中数字3必须出现在百位的情况数为A(4,2)。该等式正确吗？______【答案】正确【解析】3固定在百位，剩余两个位置从{1,2,4,5}中选取，排列数为A(4,2)=12。5.若C(7,m)=21，则m的值唯一确定。该命题正确吗？______【答案】错误【解析】C(7,2)=21，但C(7,5)=21，因此m的值不唯一确定。6.从6个不同元素中取出4个元素的组合数为C(6,4)。该等式正确吗？______【答案】正确【解析】C(6,4)=6!/(4!×2!)=15。7.在5名志愿者中安排3人分别负责A、B、C三个岗位，不同安排方案的总数为A(5,3)。该等式正确吗？______【答案】正确【解析】岗位有顺序要求，应使用排列数A(5,3)=60。8.从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同组合的个数记作C(n,m)，其计算公式为C(n,m)=n!/(m!(n-m)!)。该等式正确吗？______【答案】正确【解析】组合数公式为C(n,m)=n!/(m!(n-m)!）。9.若A(n,4)=360，则n的值唯一确定。该命题正确吗？______【答案】错误【解析】A(n,4)=n(n-1)(n-2)(n-3)=360，解得n=6或n=-4（舍去），因此n的值唯一确定的前提是n为正整数，但n=-4时公式仍成立，故命题错误。10.在集合{1,2,3,4,5}中，选取3个元素组成无重复数字的三位数，其中数字1和2不能相邻，则不同三位数的个数为A(5,3)-A(4,2)。该等式正确吗？______【答案】错误【解析】数字1和2相邻时，将1和2视为一个整体，与剩余3个元素排列，排列数为A(4,2)×2!=24。因此不相邻的方案数为A(5,3)-24=60-24=36，等式错误。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.请解释排列数A(n,m)与组合数C(n,m)的区别和联系。【答案】排列数A(n,m)表示从n个不同元素中取出m个元素的所有不同排列的个数，考虑元素的顺序；组合数C(n,m)表示从n个不同元素中取出m个元素的所有不同组合的个数，不考虑元素的顺序。两者的关系为A(n,m)=C(n,m)×m!，即每个组合对应m个排列。2.请说明排列数A(n,m)的计算公式及其适用条件。【答案】排列数A(n,m)的计算公式为A(n,m)=n(n-1)(n-2)...(n-m+1)。适用条件为n为正整数，m为非负整数且m≤n。当m=n时，A(n,n)=n!。3.请解释组合数C(n,m)的计算公式及其适用条件。【答案】组合数C(n,m)的计算公式为C(n,m)=n!/(m!(n-m)!）。适用条件为n为正整数，m为非负整数且m≤n。当m=0或m=n时，C(n,0)=C(n,n)=1。4.请说明从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同排列的个数与所有不同组合的个数的关系。【答案】从n个不同元素中取出m个元素的所有不同排列的个数为A(n,m)，所有不同组合的个数为C(n,m)。每个组合对应m个排列，因此A(n,m)=C(n,m)×m!。5.请解释数字相邻问题的处理方法。【答案】数字相邻问题可使用捆绑法：将相邻的数字视为一个整体，与剩余元素排列，再对整体内部进行排列。例如，数字1和2相邻时，将1和2视为一个整体，与剩余元素排列，排列数为A(4,2)×2!=24。6.请解释数字不相邻问题的处理方法。【答案】数字不相邻问题可使用插空法：先排列剩余元素，再在空位中插入不相邻的数字。例如，数字1和2不能相邻时，先排列剩余3个数字，排列数为A(3,3)=6，然后空位中插入1和2，插空数为A(4,2)=12，总方案数为6×12=72。7.请说明组合数C(n,m)的性质。【答案】组合数C(n,m)的性质包括：①C(n,m)=C(n,n-m)；②C(n,0)=C(n,n)=1；③C(n,m)随m增大单调递增，当m=n/2时取最大值；④C(n,m)为整数。8.请说明排列数A(n,m)的性质。【答案】排列数A(n,m)的性质包括：①A(n,m)=A(n,n-m)；②A(n,0)=1；③A(n,m)随m增大单调递减；④A(n,m)为整数。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1.某学校组织文艺汇演，有6个节目，其中含1个独唱、2个舞蹈、3个器乐演奏。若独唱节目必须排在第1位，且舞蹈节目不能相邻，请计算不同排节目顺序的总数。【答案】独唱节目固定在第1位后，剩余5个节目（2舞蹈+3器乐）的排列数为5!=120。舞蹈节目相邻时，将2个舞蹈视为一个整体，与3个器乐排列，排列数为A(4,4)=24，舞蹈内部排列数为2!=2，总方案数为24×2=48。因此舞蹈不相邻的方案数为120-48=72。2.从10名候选人中选出3人组成评审团，要求甲乙两人中至少有1人参加，请计算不同组队方案的总数。【答案】甲乙至少1人参加的情况可分解为：①甲参加且乙不参加，从剩余8人中选2人，C(8,2)=28；②乙参加且甲不参加，从剩余8人中选2人，C(8,2)=28；③甲乙均参加，从剩余8人中选1人，C(8,1)=8。因此总方案数为28+28+8=64。3.从6个不同元素中取出4个元素，组成无重复数字的四位数，其中数字1必须出现在十位，请计算不同四位数的个数。【答案】数字1固定在十位后，剩余3个位置从{2,3,4,5,6}中选取，排列数为A(5,3)=60。4.从7名运动员中选出4人参加比赛，要求甲运动员必须参加，且乙运动员不能参加，请计算不同组队方案的总数。【答案】甲必须参加，乙不能参加，从剩余5人中选3人，C(5,3)=10。5.在集合{1,2,3,4,5}中，选取3个元素组成无重复数字的三位数，其中数字3必须出现在百位或个位，请计算不同三位数的个数。【答案】数字3固定在百位时，剩余两个位置从{1,2,4,5}中选取，排列数为A(4,2)=12；数字3固定在个位时，剩余两个位置从{1,2,4,5}中选取，排列数为A(4,2)=12。因此总方案数为12+12=24。6.从10名候选人中选出3人组成评审团，要求至少包含1名女生，且甲乙两人中至少有1人参加，请计算不同组队方案的总数。【答案】甲乙至少1人参加且至少1名女生的情况可分解为：①甲参加且乙不参加，至少1名女生，从剩余8人中选1人，C(8,1)=8，剩余2人从剩余7人中选，C(7,2)=21，总方案数8×21=168；②乙参加且甲不参加，至少1名女生，从剩余8人中选1人，C(8,1)=8，剩余2人从剩余7人中选，C(7,2)=21，总方案数8×21=168；③甲乙均参加，至少1名女生，从剩余8人中选1人，C(8,1)=8，总方案数8。因此总方案数为168+168+8=344。7.从6个不同元素中取出4个元素，组成无重复数字的四位数，其中数字1和2不能相邻，请计算不同四位数的个数。【答案】总排列数为A(6,4)=360。数字1和2相邻时，将1和2视为一个整体，与剩余4个元素排列，排列数为A(5,3)×2!=120。因此不相邻的方案数为360-120=240。8.从7名运动员中选出4人参加比赛，要求甲乙两人中至少有1人参加，且丙运动员不能参加，请计算不同组队方案的总数。【答案】甲乙至少1人参加且丙不参加的情况可分解为：①甲参加且乙不参加，从剩余5人中选3人，C(5,3)=10；②乙参加且甲不参加，从剩余5人中选3人，C(5,3)=10；③甲乙均参加，从剩余5人中选1人，C(5,1)=5。因此总方案数为10+10+5=25。【标准答案及解析】一、单项选择题1.B2.D3.B4.A5.B6.C7.A8.D9.B10.A解析：2.排列数公式A(n,m)=n(n-1)(n-2)...(n-m+1)，A(5,3)=5×4×3=60，n=5。3.组合数C(10,3)=120，排列数A(10,3)=720，乘法原理错误。4.A(7,2)=7×6/2=21，m=2。5.3固定在百位，剩余两个位置从{1,2,4,5}中选取，A(4,2)=12。6.独唱固定在第1或第6位，剩余5个节目排列数为5!=120，总方案数120+120=240。二、填空题1.1512.513.12014.1215.616.2017.7218.n!/(m!(n-m)!)19.220.36解析：2.C(6,4)=6!/(4!×2!)=15。3.C(7,2)=21，m=2。三、判断题1.√22.×23.×24.√25.×26.√27.√28.√29.×30.×解析：2.A(n,m)=C(n,m)×m!，正确。3.C(7,2)=21，C(7,5)=21，m不唯一，错误。四、简答题1.排列数考虑顺序，组合数不考虑顺序；A(n,m)=C(n,m)×m!。2.A(n,m)=n(n-1)(n-2)...(n-m+1)，n为正整数，m≤n。3.C(n,m)=n!/(m!(n-m