2025-2026年浙江省苏教版八年级数学下册第6章一元二次方程测试卷

2025-2026年浙江省苏教版八年级数学下册第6章一元二次方程测试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在解一元二次方程x²-6x+9=0时，下列方法中正确的是（）A.将方程左边分解为(x-3)(x-3)，右边化为0B.将方程左边分解为(x+3)(x-3)，右边化为0C.将方程左边分解为(x-3)²，右边化为0D.将方程左边分解为(x+3)²，右边化为0参考答案：C解析：解一元二次方程时，应将方程左边配成完全平方形式。原方程x²-6x+9可以写成(x-3)²，因此正确的方法是将方程左边分解为(x-3)²，右边化为0。选项A和B的分解形式错误，因为x²-6x+9不是两个不同因式的乘积；选项D的分解形式错误，因为方程的常数项为正9，应配成(x-3)²而非(x+3)²。2.若一元二次方程2x²-5x+k=0有两个相等的实数根，则k的值是（）A.-6.25B.6.25C.±6.25D.-12.5参考答案：B解析：一元二次方程ax²+bx+c=0有两个相等的实数根的条件是判别式Δ=b²-4ac=0。对于方程2x²-5x+k=0，a=2，b=-5，c=k，因此Δ=(-5)²-4×2×k=25-8k。令Δ=0，解得25-8k=0，即k=6.25。选项A、C、D的值均不满足判别式为0的条件。3.若方程x²-2x-3=0的两根分别为x₁和x₂，则x₁+x₂的值是（）A.-2B.2C.-3D.3参考答案：A解析：根据一元二次方程的根与系数的关系，若方程x²+px+q=0的两根为x₁和x₂，则x₁+x₂=-p，x₁x₂=q。对于方程x²-2x-3=0，p=-2，q=-3，因此x₁+x₂=-(-2)=2。选项A、B、C、D均不正确，正确答案应为2。4.下列方程中，是一元二次方程的是（）A.x²+y=4B.2x³-x=1C.x²-3x=0D.3x-2=5参考答案：C解析：一元二次方程的定义是只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程。选项A是二元二次方程，选项B是三次方程，选项D是一次方程，只有选项Cx²-3x=0符合一元二次方程的定义。5.用配方法解方程x²+6x+5=0时，下列变形正确的是（）A.(x+3)²=14B.(x+3)²=4C.(x-3)²=14D.(x-3)²=4参考答案：B解析：用配方法解一元二次方程时，应将方程左边配成完全平方形式。原方程x²+6x+5=0，先移项得x²+6x=-5，然后在左边加上(6/2)²=9，得x²+6x+9=-5+9，即(x+3)²=4。选项A、C、D的变形均不正确。6.若方程x²-4x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A.k>4B.k<4C.k≥4D.k≤4参考答案：B解析：一元二次方程ax²+bx+c=0有两个不相等的实数根的条件是判别式Δ=b²-4ac>0。对于方程x²-4x+k=0，a=1，b=-4，c=k，因此Δ=(-4)²-4×1×k=16-4k。令Δ>0，解得16-4k>0，即k<4。选项A、C、D的取值范围均不满足条件。7.若方程x²-px+q=0的两根分别为2和-3，则方程化为(x-1)²=0的形式是（）A.(x-1)²=0B.(x+1)²=0C.(x-5)²=0D.(x+5)²=0参考答案：C解析：根据一元二次方程的根与系数的关系，若方程x²-px+q=0的两根为x₁和x₂，则p=x₁+x₂，q=x₁x₂。对于方程x²-px+q=0的两根为2和-3，p=2+(-3)=-1，q=2×(-3)=-6。因此方程可化为x²+x-6=0，即(x+3)(x-2)=0，进一步变形为(x-1)²=(x-2)²，即(x-1)²=5²，即(x-1)²=25。选项C的变形正确。8.若方程x²-2x+k=0的一个根是1，则k的值是（）A.1B.3C.-1D.-3参考答案：A解析：若方程x²-2x+k=0的一个根是1，则将x=1代入方程得1²-2×1+k=0，即1-2+k=0，解得k=1。选项B、C、D的值均不满足方程。9.若方程x²-5x+m=0的两根的平方和为19，则m的值是（）A.6B.10C.14D.18参考答案：A解析：根据一元二次方程的根与系数的关系，若方程x²-5x+m=0的两根为x₁和x₂，则x₁+x₂=5，x₁x₂=m。两根的平方和为x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂=5²-2m=25-2m。根据题意，25-2m=19，解得m=6。选项A的值正确。10.若方程x²-2x+k=0有两个负根，则k的取值范围是（）A.k>1B.k<1C.k≥1D.k≤1参考答案：A解析：一元二次方程x²-2x+k=0有两个负根的条件是：①判别式Δ=4-4k≥0，即k≤1；②两根之和为负，即-(-2)=2<0，不成立；③两根之积为正，即k>0。综合①和③，得0<k≤1。选项A的取值范围不满足条件，正确答案应为0<k≤1。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.方程x²-4x+4=0的解是________。参考答案：x₁=x₂=2解析：原方程x²-4x+4=0可以写成(x-2)²=0，因此x-2=0，解得x=2。2.若方程x²-px+q=0的两根分别为3和-2，则p=________，q=________。参考答案：p=1，q=-6解析：根据根与系数的关系，p=x₁+x₂=3+(-2)=1，q=x₁x₂=3×(-2)=-6。3.方程2x²-8x+6=0化简后为________。参考答案：x²-4x+3=0解析：将方程2x²-8x+6=0两边同时除以2，得x²-4x+3=0。4.若方程x²-2x+k=0有两个相等的实数根，则k=________。参考答案：1解析：根据判别式Δ=4-4k=0，解得k=1。5.若方程x²-3x+m=0的两根的平方和为7，则m=________。参考答案：2解析：设方程的两根为x₁和x₂，则x₁+x₂=3，x₁x₂=m，x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂=3²-2m=9-2m。根据题意，9-2m=7，解得m=2。6.方程(x-1)²=4的解是________。参考答案：x₁=3，x₂=-1解析：将方程(x-1)²=4展开，得x²-2x+1=4，即x²-2x-3=0，解得x₁=3，x₂=-1。7.若方程x²-5x+k=0的一个根是2，则k=________。参考答案：6解析：将x=2代入方程得2²-5×2+k=0，即4-10+k=0，解得k=6。8.若方程x²-2x+k=0有两个正根，则k的取值范围是________。参考答案：0<k≤1解析：一元二次方程x²-2x+k=0有两个正根的条件是：①判别式Δ=4-4k≥0，即k≤1；②两根之和为正，即-(-2)=2>0；③两根之积为正，即k>0。综合①、②、③，得0<k≤1。9.方程x²+6x+9=0的解是________。参考答案：x₁=x₂=-3解析：原方程x²+6x+9=0可以写成(x+3)²=0，因此x+3=0，解得x=-3。10.若方程x²-px+q=0的两根分别为1+√2和1-√2，则p=________，q=________。参考答案：p=-2，q=1解析：根据根与系数的关系，p=x₁+x₂=(1+√2)+(1-√2)=2，q=x₁x₂=(1+√2)(1-√2)=1-2=-1。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若方程x²-4x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是k<4。参考答案：正确解析：根据判别式Δ=4-4k>0，解得k<4。2.方程x²-3x+2=0的解是x₁=1，x₂=2。参考答案：正确解析：原方程x²-3x+2=0可以写成(x-1)(x-2)=0，因此x₁=1，x₂=2。3.若方程x²-px+q=0的两根分别为x₁和x₂，则x₁+x₂=p，x₁x₂=q。参考答案：正确解析：根据一元二次方程的根与系数的关系，x₁+x₂=-p，x₁x₂=q。若方程为x²-px+q=0，则x₁+x₂=p，x₁x₂=q。4.方程(x-2)²=9的解是x₁=5，x₂=-1。参考答案：正确解析：将方程(x-2)²=9展开，得x²-4x+4=9，即x²-4x-5=0，解得x₁=5，x₂=-1。5.若方程x²-2x+k=0有两个负根，则k的取值范围是k>0。参考答案：错误解析：一元二次方程x²-2x+k=0有两个负根的条件是：①判别式Δ=4-4k≥0，即k≤1；②两根之和为负，即-(-2)=2<0；③两根之积为正，即k>0。综合①、②、③，得0<k≤1。6.方程x²-5x+6=0的解是x₁=2，x₂=3。参考答案：正确解析：原方程x²-5x+6=0可以写成(x-2)(x-3)=0，因此x₁=2，x₂=3。7.若方程x²-px+q=0的两根分别为2和-3，则方程化为(x-1)²=0的形式是(x-1)²=25。参考答案：正确解析：根据根与系数的关系，p=2+(-3)=-1，q=2×(-3)=-6。因此方程可化为x²+x-6=0，即(x+3)(x-2)=0，进一步变形为(x-1)²=(x-2)²，即(x-1)²=25。8.方程x²-4x+4=0的解是x₁=2，x₂=-2。参考答案：错误解析：原方程x²-4x+4=0可以写成(x-2)²=0，因此x-2=0，解得x=2。9.若方程x²-2x+k=0有两个正根，则k的取值范围是k>0。参考答案：错误解析：一元二次方程x²-2x+k=0有两个正根的条件是：①判别式Δ=4-4k≥0，即k≤1；②两根之和为正，即-(-2)=2>0；③两根之积为正，即k>0。综合①、②、③，得0<k≤1。10.方程x²-3x+2=0的解是x₁=1，x₂=2。参考答案：正确解析：原方程x²-3x+2=0可以写成(x-1)(x-2)=0，因此x₁=1，x₂=2。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.什么是完全平方公式？请举例说明。参考答案：完全平方公式是指将一个二次三项式表示为一个二项式的平方的形式。完全平方公式有两种形式：(a+b)²=a²+2ab+b²(a-b)²=a²-2ab+b²例如：(x+3)²=x²+6x+9，(x-2)²=x²-4x+4。2.解一元二次方程时，常用的方法有哪些？参考答案：解一元二次方程常用的方法有：①因式分解法：将方程左边分解为两个一次因式的乘积，然后分别解得方程的解。②配方法：将方程左边配成完全平方形式，然后利用直接开平方法解方程。③公式法：利用一元二次方程的求根公式x=±√(Δ)/2a解方程。④图像法：利用函数图像的交点求解方程。3.若方程x²-px+q=0的两根分别为x₁和x₂，请写出x₁+x₂和x₁x₂的表达式。参考答案：根据一元二次方程的根与系数的关系，若方程x²-px+q=0的两根分别为x₁和x₂，则x₁+x₂=p，x₁x₂=q。4.什么是判别式？判别式有什么作用？参考答案：一元二次方程ax²+bx+c=0的判别式Δ=b²-4ac。判别式的作用是判断方程的根的情况：①Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；②Δ=0时，方程有两个相等的实数根；③Δ<0时，方程没有实数根。5.若方程x²-2x+k=0有两个正根，请写出k的取值范围。参考答案：一元二次方程x²-2x+k=0有两个正根的条件是：①判别式Δ=4-4k≥0，即k≤1；②两根之和为正，即-(-2)=2>0；③两根之积为正，即k>0。综合①、②、③，得0<k≤1。6.什么是根与系数的关系？请举例说明。参考答案：根与系数的关系是指一元二次方程的两根与方程的系数之间的关系。若方程x²-px+q=0的两根分别为x₁和x₂，则x₁+x₂=p，x₁x₂=q。例如，方程x²-5x+6=0的两根分别为2和3，因此2+3=5，2×3=6。7.若方程x²-3x+k=0的两根的平方和为7，请写出k的值。参考答案：设方程的两根为x₁和x₂，则x₁+x₂=3，x₁x₂=k，x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂=3²-2k=9-2k。根据题意，9-2k=7，解得k=2。8.若方程x²-2x+k=0有两个负根，请写出k的取值范围。参考答案：一元二次方程x²-2x+k=0有两个负根的条件是：①判别式Δ=4-4k≥0，即k≤1；②两根之和为负，即-(-2)=2<0；③两根之积为正，即k>0。综合①、②、③，得0<k≤1。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某长方形的周长为20厘米，面积为24平方厘米，求长方形的长和宽。参考答案：设长方形的长为x厘米，宽为y厘米，则根据题意得：①2(x+y)=20，即x+y=10；②xy=24。将①变形为y=10-x，代入②得x(10-x)=24，即x²-10x+24=0。解这个一元二次方程，得x₁=4，x₂=6。当x=4时，y=10-4=6；当x=6时，y=10-6=4。因此，长方形的长和宽分别为6厘米和4厘米。2.某工厂生产一种产品，固定成本为2000元，每件产品的可变成本为50元，售价为80元。求该工厂生产多少件产品才能盈利？参考答案：设该工厂生产x件产品，则总收入为80x元，总成本为2000+50x元。盈利条件为总收入>总成本，即80x>2000+50x，解得30x>2000，即x>200/3。因为x必须是整数，所以x的最小值为67。因此，该工厂生产至少67件产品才能盈利。3.某学校组织学生参加植树活动，共有120棵树苗，若每人植树4棵，则剩余20棵树苗；若每人植树5棵，则还差20棵树苗。求该学校有多少名学生参加植树活动？参考答案：设该学校有x名学生参加植树活动，则根据题意得：①4x+20=120，即4x=100，x=25；②5x-20=120，即5x=140，x=28。因此，该学校有28名学生参加植树活动。4.某小区计划修建一个矩形花园，花园的周长为60米，面积为人均绿地面积的两倍。若花园的长比宽多10米，求花园的长和宽。参考答案：设花园的长为x米，宽为y米，则根据题意得：①2(x+y)=60，即x+y=30；②xy=2(x+y)，即xy=60；③x=y+10。将③代入①得(y+10)+y=30，即2y+10=30，解得y=10。将y=10代入③得x=10+10=20。因此，花园的长为20米，宽为10米。5.某工厂生产一种产品，固定成本为3000元，每件产品的可变成本为40元，售价为60元。求该工厂生产多少件产品才能盈利？参考答案：设该工厂生产x件产品，则总收入为60x元，总成本为3000+40x元。盈利条件为总收入>总成本，即60x>3000+40x，解得20x>3000，即x>150。因为x必须是整数，所以x的最小值为151。因此，该工厂生产至少151件产品才能盈利。6.某学校组织学生参加运动会，共有100名学生参加，若每人跑3圈，则剩余20圈；若每人跑4圈，则还差30圈。求每圈的路程。参考答案：设每圈的路程为x米，则根据题意得：①3x+20=100x，即3x=100x-20，解得x=20/97；②4x-30=100x，即4x=100x+30，解得x=-30/96。因此，该学校每圈的路程为20/97米。7.某工厂生产一种产品，固定成本为4000元，每件产品的可变成本为30元，售价为50元。求该工厂生产多少件产品才能盈利？参考答案：设该工厂生产x件产品，则总收入为50x元，总成本为4000+30x元。盈利条件为总收入>总成本，即50x>4000+30x，解得20x>4000，即x>200。因为x必须是整数，所以x的最小值为201。因此，该工厂生产至少201件产品才能盈利。【标准答案及解析】一、单项选择题1.C2.B3.A4.C5.B6.B7.C8.A9.A10.A二、填空题1.x₁=x₂=22.p=1，q=-63.x²-4x+3=04.15.26.x₁=3，x₂=-17.68.0<k≤19.x₁=x₂=-310.p=-2，q=1三、判断题1.正确2.正确3.正确4.正确5.错误6.正确7.正确8.错误9.错误10.正确四、简答题1.完全平方公式是指将一个二次三项式表示为一个二项式的平方的形式。完全平方公式有两种形式：(a+b)²=a²+2ab+b²(a-b)²=a²-2ab+b²例如：(x+3)²=x²+6x+9，(x-2)²=x²-4x+4。2.解一元二次方程常用的方法有：①因式分解法：将方程左边分解为两个一次因式的乘积，然后分别解得方程的解。②配方法：将方程左边配成完全平方形式，然后利用直接开平方法解方程。③公式法：利用一元二次方程的求根公式x=±√(Δ)/2a解方程。④图像法：利用函数图像的交点求解方程。3.根据一元二次方程的根与系数的关系，若方程x²-px+q=0的两根分别为x₁和x₂，则x₁+x₂=p，x₁x₂=q。4.一元二次方程ax²+bx+c=0的判别式Δ=b²-4ac。判别式的作用是判断方程的根的情况：①Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；②Δ=0时，方程有两个相等的实数根；③Δ<0时，方程没有实数根。5.一元二次方程x²-2x+k=0有两个正根的条件是：①判别式Δ=4-4k≥0，即k≤1；②两根之和为正，即-(-2)=2>0；③两根之积为正，即k>0。综合①、②、③，得0<k≤1。6.根与系数的关系是指一元二次方程的两根与方程的系数之间的关系。若方程x²-px+q=0的两根分别为x₁和x₂，则x₁+x₂=p，x₁x₂=q。例如，方程x²-5x+6=0的两根分别为2和3，因此2+3=5，2×3=6。7.设方程的两根为x₁和x₂，则x₁+x₂=3，x₁x₂=k，x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂=3²-2k=9-2k。根据题意，9-2k=7，解得k=2。8.一元二次方程x²-2x+k=0有两个负根的条件是：①判别式Δ=4-4k≥0，即k≤1；②两根之和为负，即-(-2)=2<0；③两根之积为正，即k>0。综合①、②、③，得0<k≤1。五、应用题1.设长方形的长为x厘米，宽为y厘米，则根据题意得：①2(x+y)=20，即x+y=10；②xy=24。将①变形