2025-2026年安徽省北师大版高三数学第一章函数练习题

2025-2026年安徽省北师大版高三数学第一章函数练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)＝|x－1|＋|x＋2|的最小值为（）A．1B．2C．3D．4解析：函数f(x)＝|x－1|＋|x＋2|表示数轴上点x到点1和点－2的距离之和。当x在区间[－2,1]内时，距离之和最小，为3。故选C。2.若函数f(x)＝ln(x＋a)在(0,＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．(－1,＋∞)B．(－2,＋∞)C．(－∞,－1)D．(－∞,－2)解析：函数f(x)＝ln(x＋a)的定义域为x＋a＞0，即x＞－a。在(0,＋∞)上单调递增需导数f′(x)＝1/(x＋a)＞0，解得a＞－1。故选A。3.函数f(x)＝sin2x＋cos2x的最小正周期为（）A．πB．2πC．4πD．π/2解析：f(x)＝sin2x＋cos2x＝√2sin(2x＋π/4)，周期为2π/2＝π。故选A。4.若函数f(x)＝x³－3x＋1在区间[－2,2]上的最大值与最小值分别为M和m，则M－m＝（）A．－4B．4C．8D．12解析：f′(x)＝3x²－3，令f′(x)＝0得x＝±1。f(－2)＝－1，f(－1)＝3，f(1)＝－1，f(2)＝5。M＝5，m＝－3，M－m＝8。故选C。5.函数f(x)＝e^x－2x在R上的零点个数为（）A．0B．1C．2D．3解析：f′(x)＝e^x－2，令f′(x)＝0得x＝ln2。f(0)＝1，f(ln2)＝2－2ln2＜0，f(1)＝e－2＞0。由零点存在性定理，存在一个零点。故选B。6.函数f(x)＝|x|sinx在(－π,π)上的极值点个数为（）A．2B．3C．4D．5解析：f′(x)＝｜sinx｜｜x|＋｜x|cosx•sgn(x)，其中sgn(x)为符号函数。在(－π,π)内，f′(x)＝0的解为x＝0，x＝±π/2。故选C。7.若函数f(x)＝x²＋2ax＋3在x＝1处取得极小值，则a＝（）A．1B．－1C．2D．－2解析：f′(x)＝2x＋2a，f′(1)＝0得a＝－1。验证f′′(1)＝2＞0，确为极小值点。故选B。8.函数f(x)＝log₃(2x－1)的定义域为（）A．(－∞,1/2)B．[1/2,＋∞)C．(0,＋∞)D．(－1,1)解析：2x－1＞0得x＞1/2。故选B。9.函数f(x)＝sin(x＋π/6)－cos(x－π/3)的最小正周期为（）A．2πB．πC．4πD．π/2解析：f(x)＝sinx＋√3/2cosx－cosx－√3/2sinx＝√3/2sinx－1/2cosx＝sin(x－π/6)，周期为2π。故选A。10.若函数f(x)＝x³－ax在x＝1处取得极值，则a＝（）A．3B．2C．1D．0解析：f′(x)＝3x²－a，f′(1)＝0得a＝3。验证f′′(1)＝6＞0，确为极小值点。故选A。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|的值域为________。参考答案：[1,＋∞)解析：f(x)在x＝1.5处取最小值1，故值域为[1,＋∞)。2.若函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图像关于y轴对称，且最小正周期为π，则φ＝________(k∈Z)。参考答案：kπ＋π/2解析：f(x)为偶函数需φ＝kπ＋π/2，周期为π得ω＝2。3.函数f(x)＝x³－3x＋1在区间[－2,2]上的最大值为________。参考答案：5解析：f(2)＝5，f(－2)＝－1，f(1)＝－1，f(－1)＝3，最大值为5。4.函数f(x)＝ln(x＋a)在(0,＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是________。参考答案：(－1,＋∞)解析：x＋a＞0且f′(x)＝1/(x＋a)＞0，得a＞－1。5.函数f(x)＝e^x－2x在R上的零点个数为________。参考答案：1解析：f′(x)＝e^x－2，f(0)＝1，f(ln2)＝2－2ln2＜0，f(1)＝e－2＞0，零点存在。6.函数f(x)＝|x|sinx在(－π,π)上的极值点个数为________。参考答案：4解析：f′(x)＝0的解为x＝0，x＝±π/2。7.若函数f(x)＝x²＋2ax＋3在x＝1处取得极小值，则f(0)＝________。参考答案：－a＋3解析：a＝－1，f(0)＝3－1＝2。8.函数f(x)＝log₃(2x－1)的定义域为________。参考答案：[1/2,＋∞)解析：2x－1＞0得x＞1/2。9.函数f(x)＝sin(x＋π/6)－cos(x－π/3)的最小正周期为________。参考答案：2π解析：f(x)＝√3/2sinx，周期为2π。10.若函数f(x)＝x³－ax在x＝1处取得极值，则f′(0)＝________。参考答案：－a解析：a＝3，f′(0)＝－3。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)＝|x|在R上单调递减。参考答案：×解析：在(－∞,0)上单调递减，在(0,＋∞)上单调递增。2.若函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为2π，则ω＝2。参考答案：×解析：周期为2π/|ω|，ω可取2或－2。3.函数f(x)＝x³－3x＋1在x＝1处取得极大值。参考答案：×解析：f′(1)＝0，f′′(1)＝2＞0，为极小值点。4.函数f(x)＝ln(x＋a)在(0,＋∞)上单调递增，则a必须大于0。参考答案：×解析：a＞－1即可，如a＝0.5满足条件。5.函数f(x)＝|x|sinx在(－π,π)上的极值点个数为3。参考答案：×解析：极值点为x＝0，x＝±π/2，共4个。6.若函数f(x)＝x²＋2ax＋3在x＝1处取得极值，则a＝1。参考答案：×解析：a＝－1，a＝1时f′(1)＝0但f′′(1)＝0，非极值点。7.函数f(x)＝log₃(2x－1)的定义域为(0,＋∞)。参考答案：×解析：定义域为[1/2,＋∞)。8.函数f(x)＝sin(x＋π/6)－cos(x－π/3)的最小正周期为π。参考答案：×解析：周期为2π。9.若函数f(x)＝x³－ax在x＝1处取得极值，则a＝1。参考答案：×解析：a＝3，a＝1时f′(1)＝0但f′′(1)＝0，非极值点。10.函数f(x)＝|x|在R上处处可导。参考答案：×解析：x＝0处不可导。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.求函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|的最小值及取值范围。参考答案：最小值为1，值域为[1,＋∞)。解析：f(x)在x＝1.5处取最小值1，故值域为[1,＋∞)。2.函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图像关于y轴对称，且最小正周期为π，求ω和φ的关系。参考答案：ω＝2，φ＝kπ＋π/2(k∈Z)。解析：f(x)为偶函数需φ＝kπ＋π/2，周期为π得ω＝2。3.函数f(x)＝x³－3x＋1在区间[－2,2]上的最大值与最小值分别为多少？参考答案：最大值5，最小值－3。解析：f(2)＝5，f(－2)＝－1，f(1)＝－1，f(－1)＝3，最大值为5，最小值为－3。4.函数f(x)＝ln(x＋a)在(0,＋∞)上单调递增，求a的取值范围。参考答案：a＞－1。解析：x＋a＞0且f′(x)＝1/(x＋a)＞0，得a＞－1。5.函数f(x)＝e^x－2x在R上的零点个数为多少？参考答案：1。解析：f′(x)＝e^x－2，f(0)＝1，f(ln2)＝2－2ln2＜0，f(1)＝e－2＞0，零点存在。6.函数f(x)＝|x|sinx在(－π,π)上的极值点有哪些？参考答案：x＝0，x＝±π/2。解析：f′(x)＝0的解为x＝0，x＝±π/2。7.若函数f(x)＝x²＋2ax＋3在x＝1处取得极小值，求a的值。参考答案：a＝－1。解析：f′(x)＝2x＋2a，f′(1)＝0得a＝－1。验证f′′(1)＝2＞0，确为极小值点。8.函数f(x)＝log₃(2x－1)的定义域是什么？参考答案：[1/2,＋∞)。解析：2x－1＞0得x＞1/2。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.求函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|的最小值及取值范围。参考答案：最小值为1，值域为[1,＋∞)。解析：f(x)在x＝1.5处取最小值1，故值域为[1,＋∞)。2.函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图像关于y轴对称，且最小正周期为π，求ω和φ的关系。参考答案：ω＝2，φ＝kπ＋π/2(k∈Z)。解析：f(x)为偶函数需φ＝kπ＋π/2，周期为π得ω＝2。3.函数f(x)＝x³－3x＋1在区间[－2,2]上的最大值与最小值分别为多少？参考答案：最大值5，最小值－3。解析：f(2)＝5，f(－2)＝－1，f(1)＝－1，f(－1)＝3，最大值为5，最小值为－3。4.函数f(x)＝ln(x＋a)在(0,＋∞)上单调递增，求a的取值范围。参考答案：a＞－1。解析：x＋a＞0且f′(x)＝1/(x＋a)＞0，得a＞－1。5.函数f(x)＝e^x－2x在R上的零点个数为多少？参考答案：1。解析：f′(x)＝e^x－2，f(0)＝1，f(ln2)＝2－2ln2＜0，f(1)＝e－2＞0，零点存在。6.函数f(x)＝|x|sinx在(－π,π)上的极值点有哪些？参考答案：x＝0，x＝±π/2。解析：f′(x)＝0的解为x＝0，x＝±π/2。7.若函数f(x)＝x²＋2ax＋3在x＝1处取得极小值，求a的值。参考答案：a＝－1。解析：f′(x)＝2x＋2a，f′(1)＝0得a＝－1。验证f′′(1)＝2＞0，确为极小值点。8.函数f(x)＝log₃(2x－1)的定义域是什么？参考答案：[1/2,＋∞)。解析：2x－1＞0得x＞1/2。六、案例分析题（本大题共9小题，每小题2分，共18分）1.某工厂生产某种产品，成本函数为C(x)＝x²－4x＋5，求成本的最小值。参考答案：最小值为3，当x＝2时取得。解析：C′(x)＝2x－4，C′(2)＝0，C′′(2)＝2＞0，最小值为C(2)＝3。2.某商品的需求函数为p＝10－0.1x，求收益函数R(x)的最大值。参考答案：最大值为50，当x＝50时取得。解析：R(x)＝xp＝10x－0.1x²，R′(x)＝10－0.2x，R′(50)＝0，R′′(50)＝－0.2＜0，最大值为R(50)＝500－50＝50。3.某城市人口增长模型为P(t)＝1000e^{0.02t}，求人口翻倍所需时间。参考答案：约35.7年。解析：1000e^{0.02t}＝2000，解得t＝ln2/0.02≈35.7。4.某投资收益函数为f(t)＝20e^{0.05t}－10，求t＝3时的收益。参考答案：约27.64。解析：f(3)＝20e^{0.15}－10≈27.64。5.某公司生产函数为Q＝120√x－3x，求x＝16时的产量。参考答案：72。解析：Q(16)＝120√16－3×16＝72。6.某商品的需求函数为p＝50－2√x，求收益函数R(x)的最大值。参考答案：最大值为625，当x＝25时取得。解析：R(x)＝x(50－2√x)＝50x－2x√x，R′(x)＝50－x/√x，R′(25)＝0，R′′(25)＝－1/5＜0，最大值为R(25)＝1250－125＝625。7.某工厂生产某种产品，成本函数为C(x)＝x³－6x²＋9x＋10，求成本的最小值。参考答案：最小值为10，当x＝2时取得。解析：C′(x)＝3x²－12x＋9，C′(2)＝0，C′′(2)＝6＞0，最小值为C(2)＝10。8.某商品的需求函数为p＝20－0.5x，求收益函数R(x)的最大值。参考答案：最大值为200，当x＝20时取得。解析：R(x)＝xp＝20x－0.5x²，R′(x)＝20－x，R′(20)＝0，R′′(20)＝－1＜0，最大值为R(20)＝400－200＝200。七、论述题（本大题共11小题，每小题2分，共22分）1.论述函数单调性的判定方法及其应用。参考答案：（1）判定方法：若f′(x)≥0，则f(x)单调递增；若f′(x)≤0，则f(x)单调递减。（2）应用：求函数单调区间、证明不等式、求极值等。解析：单调性是函数的重要性质，通过导数符号可判定单调区间，进而求极值、证明不等式等。2.论述函数极值与最值的区别与联系。参考答案：（1）区别：极值是局部性质，最值是全局性质。（2）联系：闭区间上的最值一定是极值或端点值。解析：极值点处导数为0或导数不存在，最值是函数在定义域上的最大值与最小值。3.论述函数周期性的判定方法及其应用。参考答案：（1）判定方法：若存在T≠0使f(x＋T)＝f(x)对所有x成立，则f(x)周期为T。（2）应用：简化函数图像绘制、解决与周期函数相关的问题。解析：周期函数具有重复性，通过周期可简化研究。4.论述函数零点的判定方法及其应用。参考答案：（1）判定方法：若f(a)•f(b)＜0且f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在(a,b)内有零点。（2）应用：求方程根、研究函数性质等。解析：零点存在性定理是方程根的理论基础。5.论述函数奇偶性的判定方法及其应用。参考答案：（1）判定方法：f(x)为偶函数需f(－x)＝f(x)，为奇函数需f(－x)＝－f(x)。（2）应用：简化函数图像绘制、研究函数性质等。解析：奇偶性反映函数对称性，可简化研究。6.论述函数图像变换的规律。参考答案：（1）平移：f(x)→f(x＋a)向左平移a个单位。（2）伸缩：f(x)→af(x)纵坐标伸缩a倍。解析：图像变换是研究函数性质的重要方法。7.论述函数极限的几何意义。参考答案：当x趋近于a时，f(x)趋近于A，则lim(x→a)f(x)＝A。解析：极限描述函数值变化趋势，是微积分的基础。8.论述函数导数的物理意义。参考答案：导数表示函数变化率，如速度、加速度等。解析：导数在物理学中有广泛应用。9.论述函数积分的应用。参考答案：求面积、位移、原函数等。解析：积分是微积分的重要部分，应用广泛。10.论述函数建模在解决实际问题中的作用。参考答案：通过函数模型可描述变化规律，解决优化、预测等问题。解析：函数建模是数学应用的重要手段。【标准答案及解析】一、单项选择题1.C2.A3.A4.C5.B6.C7.B8.B9.A10.A解析：见各题解析。二、填空题1.[1,＋∞)12.kπ＋π/2(k∈Z)13.514.(－1,＋∞)15.12.417.－a＋318.[1/2,＋∞)19.2π20.－a解析：见各题解析。三、判断题1.×22.×23.×24.×25.×26.×27.×28.×29.×30.×解析：见各题解析。四、简答题1.最小值为1，值域为[1,＋∞)。解析：f(x)在x＝1.5处取最小值1。2.ω＝2，φ＝kπ＋π/2(k∈Z)。解析：f(x)为偶函数需φ＝kπ＋π/2，周期为π得ω＝2。3.最大值5，最小值－3。解析：f(2)＝5，f(－2)＝－1，f(1)＝－1，f(－1)＝3。4.a＞－1。解析：x＋a＞0且f′(x)＝1/(x＋a)＞0，得a＞－1。5.1。解析：f′(x)＝e^x－2，f(0)＝1，f(ln2)＜0，f(1)＞0。6.x＝0，x＝±π/2。解析：f′(x)＝0的解为x＝0，x＝±π/2。7.a＝－1。解析：f′(x)＝2x＋2a，f′(1)＝0得a＝－1，f′′(1)＝2＞0。8.[1/2,＋∞)。解析：2x－1＞0得x＞1/2。五、应用题1.最小值为1，值域为[1,＋∞)。解析：f(x)在x＝1.5处取最小值1。2.ω＝2，φ＝kπ＋π/2(k∈Z)。解析：f(x)为偶函数需φ＝kπ＋π/2，周期为π得ω＝2。3.最大值5，最小值－3。解析：f(2)＝5，f(－2)＝－1，f(1)＝－1，f(－1)＝3。4.a＞－1。解析：x＋a＞0且f′(x)＝1/(x＋a)＞0，得a＞－1。5.1。解析：f′(x)＝e^x－2，f(0)＝1，f(ln2)＜0，f(1)＞0。6.x＝0，x＝±π/2。解析：f′(x)＝0的解为x＝0，x＝±π/2。7.a＝－1。解析：f′(x)＝2x＋2a，f′(1)＝0得a＝－1，f′′(1)＝2＞0。8.[1/2,＋∞)。解析：2x－1＞0得x＞1/2。六、案例分析题1.最小值为3，当x＝2时取得。解析：C′(x)＝2x－4，C′(2)＝0，C′′(2)＝2＞0，最小值为C(2)＝3。2.最大值为50，当x＝50时取得。解析：R′(x)＝20－x，R′(50)＝0，R′′(50)＝－1＜0，最大值为R(50)＝500－200＝50。3.约35.7年。解析：1000e^{0.02t}＝2000，解得t＝ln2/0.02≈35.7。4.约27.64。解析：f(3)＝20e^{0.15}－10≈27.64。5.72。解析：Q(16)＝120√16－3×16＝72。6.最大值为625，当x＝25时取得。解析：R′(x)＝50－x/√x，R′(25)＝0，R′′(25)＝－1/5＜0，最大值为R(25)＝1250－125＝625。7.最小值为10，当x＝2时取得。解析：C′(x)＝3x²－12x＋9，C′(2)＝0，C′′(2)＝6＞0，最小值为C(2)＝10。