安徽省亳州市蒙城第一中学2025~2026学年高二下册期末测试数学试卷【附解析】

数学满分150分，考试时间120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.2.一组数据：1，2，3，4，5的第60百分位数是（）A.4 B.3.5 C.3 D.2.53.设是两个不共线的向量，若向量与共线，则（）A.2 B. C. D.4.已知复数满足，则复数在复平面内所对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限5.已知是偶函数，且，当时，，则等于（）A. B. C. D.6.甲、乙两位旅游博主准备周末去A，B，C，D这4个景点中的某一个景点打卡，事件M表示甲、乙至少有1人去A景点，事件N表示甲、乙去相同的景点，则（）A. B. C. D.7.已知数列的通项公式是，，设的前项和为，则（）A.100π B.75π C.50π D.25π8.已知，分别为双曲线的左、右焦点，过作的两条渐近线的平行线，与渐近线交于、两点.若，则的渐近线方程为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.顶点在原点，对称轴是坐标轴，并且经过点的抛物线的标准方程是（）A. B. C. D.10.已知函数（）的最小正周期为，则（）A. B.函数的图象关于点对称C.函数的图象关于直线对称 D.在上单调递增11.如图，在纸片中，，，且的面积为32，取边的中点，在该纸片中剪去以为边的等边得到新的纸片，再取的中点，在纸片中剪去以为边的等边得到新的纸片，再取的中点，在纸片中剪去以为边的等边得到新的纸片，以此类推得到纸片，设的周长为，面积为，则（）A. B.C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.某班6人（含学生甲）站成一排拍照，若甲不站最右端也不站最左端，则不同站法数为________．13.已知函数在区间上单调递增，则实数m的取值范围为__________.14.已知某球恰好与圆台的上下底面及侧面都相切，若该圆台的上底面半径为1，母线长为4，则该圆台外接球的表面积为__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在中，角的对边分别是，且.（1）求角的大小；（2）若，求的面积.16.如图，正方体的棱长为分别为的中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.17.某工厂为了提高产品的合格率，采取，两种制造工艺制造了一批产品，现对该种产品进行随机抽查，得到的2×2列联表如下表所示：种制造工艺种制造工艺合计合格450不合格30合计500500（1）补全2×2列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为产品是否合格与制造工艺有关？（2）在不合格的样本产品中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取8件，从这8件产品中随机抽取3件产品进行不合格原因检查，设这3件产品中来自A种制造工艺的有件，求的分布列及期望．附：，其中．0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82818.如图，椭圆的一个焦点为，且过点.（1）求椭圆的方程；（2）若为垂直于轴的动弦，直线与轴交于点，直线与交于点.（ⅰ）求证：点恒在椭圆上；（ⅱ）求面积的最大值.19.已知函数（）.（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）若在上的最大值为0，求a的值；（3）若，恒成立，求的最大值.

数学满分150分，考试时间120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据交集定义可直接求解得到结果.解答过程：由，得.2.一组数据：1，2，3，4，5的第60百分位数是（）A.4 B.3.5 C.3 D.2.5答案：B解析：思路：根据百分位数的求法，即可求得答案.解答过程：因为，所以这组数据的第60百分位数是.故选：B.3.设是两个不共线的向量，若向量与共线，则（）A.2 B. C. D.答案：B解析：思路：根据平面向量共线定理计算即可.解答过程：由共线向量定理可知存在实数，使得，即，又与是不共线向量，所以解得.故选：B．4.已知复数满足，则复数在复平面内所对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案：B解析：思路：结合复数的除法运算可求得.解答过程：，所以复数在复平面内所对应的点是，位于第二象限．故选：B.5.已知是偶函数，且，当时，，则等于（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据题意，得到是周期为的周期函数，求得，代入计算，即可求解.解答过程：因为函数满足，可得是以为周期的周期函数，又因为是偶函数，且当时，，则.6.甲、乙两位旅游博主准备周末去A，B，C，D这4个景点中的某一个景点打卡，事件M表示甲、乙至少有1人去A景点，事件N表示甲、乙去相同的景点，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：应用条件概率公式求解即可解答过程：事件表示甲乙两人都不去A景点，，事件表示甲乙两人都去A景点，，所以．7.已知数列的通项公式是，，设的前项和为，则（）A.100π B.75π C.50π D.25π答案：C解析：思路：当为奇数时，，当为偶数时，，分组求和得到答案.解答过程：，当为奇数时，，当为偶数时，，所以.故选：C8.已知，分别为双曲线的左、右焦点，过作的两条渐近线的平行线，与渐近线交于、两点.若，则的渐近线方程为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据条件先计算出的值，然后通过联立求得点的坐标，利用的坐标表示出，由此可求的值，则渐近线方程可知.解答过程：易知点，关于轴对称，令，，，，，(负值舍去)，由，可得，则，，渐近线方程为.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.顶点在原点，对称轴是坐标轴，并且经过点的抛物线的标准方程是（）A. B. C. D.答案：BC解析：思路：根据题意可得抛物线开口向左或开口向上，利用待定系数法求解即可.解答过程：因为抛物线经过，所以抛物线开口向左或开口向上，设开口向左的抛物线方程为（），将点代入，得，所以开口向左的抛物线方程为，故B正确,错误；设开口向上的抛物线方程为（），将点代入，得，所以开口向上的抛物线方程为，故C正确，错误.故选:BC.10.已知函数（）的最小正周期为，则（）A. B.函数的图象关于点对称C.函数的图象关于直线对称 D.在上单调递增答案：ACD解析：思路：根据题意，利用余弦型函数的图象与性质，结合选项，逐项分析、求解，即可得到答案.解答过程：对于A，由函数的最小正周期为，可得，解得，所以A正确；对于B，由函数，可得，所以不是函数的对称中心，所以B错误；对于C，由，令，可得，当时，可得，所以函数的图象关于直线对称，所以C正确；对于D，令，可得，即函数的单调递增区间为，当时，的单调递增区间为，因为，所以在上单调递增，所以D正确.11.如图，在纸片中，，，且的面积为32，取边的中点，在该纸片中剪去以为边的等边得到新的纸片，再取的中点，在纸片中剪去以为边的等边得到新的纸片，再取的中点，在纸片中剪去以为边的等边得到新的纸片，以此类推得到纸片，设的周长为，面积为，则（）A. B.C. D.答案：ABD解析：思路：根据题中定义结合累加法求通项公式、等比数列前项和公式以及图形的变化情况逐项分析即可.解答过程：对于A，在纸片中，，，且的面积为32，边的中点为，所以且，由题意，得，，比多了两条边，，少了线段，又是等边三角形，所以，可得，故A正确；对于B，由，，，得，所以，当时，，，…，，以上各式相加，得，所以，又满足上式，所以，故B正确；对于C，比少了一个以为边的等边三角形，所以，故C错误；对于D，由，得，，当时，，，…，，以上各式相加得：，所以，又满足上式，所以，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.某班6人（含学生甲）站成一排拍照，若甲不站最右端也不站最左端，则不同站法数为________．答案：480解析：思路：优先排列限制元素甲，剩下人全排列即可.解答过程：先安排甲从除最左端和最右端的4个位置中选一个站，有种站法；将剩余的人任意排序，有种站法．所以不同站法数有种．13.已知函数在区间上单调递增，则实数m的取值范围为__________.答案：解析：思路：将函数在区间上单调递增转化为其导函数在区间上恒成立，分离参数，并构造函数，分析其最值即可得到的取值范围.解答过程：由函数在区间上单调递增，得在区间上恒成立，即在区间上恒成立.令，因为在区间上单调递减，所以的最大值为.所以.即实数m的取值范围为.14.已知某球恰好与圆台的上下底面及侧面都相切，若该圆台的上底面半径为1，母线长为4，则该圆台外接球的表面积为__________.答案：解析：思路：根据圆台的几何性质，结合已知条件，分圆台外接球球心在圆台内和外两种情况讨论，求出圆台外接球半径，进一步求得圆台外接球的表面积.解答过程：设圆台的上底面半径为，下底面半径为，母线长为，根据切线长定理，得，所以，则圆台的高；设圆台外接球半径为，球心到下底面的距离为，若圆台外接球球心在圆台内，则，解得，所以圆台外接球的表面积为；若圆台外接球球心在圆台外，则，解得（舍）.综上，圆台外接球的表面积为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在中，角的对边分别是，且.（1）求角的大小；（2）若，求的面积.答案：（1）（2）解析：（1）由及正弦定理可得，所以，又，所以，所以，又，所以.（2）由余弦定理，有，即，又，联立解得，或（舍去），所以.16.如图，正方体的棱长为分别为的中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.答案：（1）证明：取的中点为，连接.因为分别是的中点，所以.在正方体中，，又为的中点，所以，四边形是平行四边形，.又平面平面，所以平面．（2）解析：思路：（1）取棱的中点，使目标直线与平面

内的一条直线平行，从而由线面平行的判定定理直接得证；（2）建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求得直线

的方向向量和平面

的法向量；利用线面角的正弦值等于方向向量与法向量夹角余弦的绝对值，通过向量数量积公式计算即得结果．（1）略．（2）以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，因为正方体的棱长为分别为的中点，所以所以，设是平面的法向量，则，即，令，则，所以是平面的一个法向量，设直线与平面所成角为，则，即直线与平面所成角的正弦值为．17.某工厂为了提高产品的合格率，采取，两种制造工艺制造了一批产品，现对该种产品进行随机抽查，得到的2×2列联表如下表所示：种制造工艺种制造工艺合计合格450不合格30合计500500（1）补全2×2列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为产品是否合格与制造工艺有关？（2）在不合格的样本产品中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取8件，从这8件产品中随机抽取3件产品进行不合格原因检查，设这3件产品中来自A种制造工艺的有件，求的分布列及期望．附：，其中．0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828答案：（1）

种制造工艺种制造工艺

合计合格470450920不合格305080合计5005001000认为产品是否合格与制造工艺有关．（2）．0123解析：思路：（1）零假设为：产品是否合格与制造工艺无关，计算出，结合小概率值的独立性检验判断即可.（2）根据分层抽样确定的取值，求出对应的概率，结合分布列及期望计算即可.（1）2×2列联表如下：

种制造工艺种制造工艺合计合格470450920不合格305080合计5005001000零假设为：产品是否合格与制造工艺无关，，根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为产品是否合格与制造工艺有关．（2）在不合格的样本产品中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取8件，其中种制造工艺有（件），种制造工艺有（件）．由题意，得X的取值可以是0，1，2，3，则，，，．所以的分布列为：0123所以．18.如图，椭圆的一个焦点为，且过点.（1）求椭圆的方程；（2）若为垂直于轴的动弦，直线与轴交于点，直线与交于点.（ⅰ）求证：点恒在椭圆上；（ⅱ）求面积的最大值.答案：（1）（2）(ⅰ)证明见解析；(ⅱ)解析：思路：（1）根据椭圆的焦点及椭圆上的点建立方程，求出即可得解；（2）（ⅰ）求出点的坐标，证明点的坐标满足椭圆方程即可；（ⅱ）设出的方程为，联立椭圆方程，得出根与系数的关系，据此求出的表达式，换元后求最值即可.（1）因为椭圆一个焦点为，所以，点代入椭圆方程可得，又，解得，所以椭圆方程为.（2）(i)由题意得，，设，则