安徽省合肥市六校联考2025~2026学年高一下册期末考试数学试卷【附解析】

数学满分：150分一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1.已知复数满足，则的虚部为（）A. B. C. D.2.已知向量，若，则（）A. B. C. D.3.如图，用斜二测画法作出四边形的直观图为四边形，若轴，轴，且，则四边形的面积为（）A. B. C. D.4.已知为两个不同的平面，为两条不同的直线，则下列命题错误的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则5.已知，与的夹角为，是与向量方向相同的单位向量，则在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.6.已知某随机试验中，事件，，发生的概率分别是，，，则下列说法正确的是（）A.与是互斥事件，且是对立事件 B.一定是必然事件C. D.的概率一定等于0.57.记，，分别为的内角，，的对边，且，，则的形状为（）A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.锐角或直角三角形8.在中，，若对任意，恒成立，则的最小值为（）A. B. C. D.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分）9.已知复数，，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.在复平面内对应的点位于第一象限10.若数据的平均数为3，方差为4，则下列说法正确的是（）A.数据的平均数为13B.数据的方差为12C.D.11.如图，在棱长为的正方体中，为的中点，为线段上动点（包括端点），则下列说法中正确的是（

）A.三棱锥的体积为定值B.直线与直线所成角的余弦值为C.的最小值为D.点在正方体表面上运动（包含边界），且，则点的轨迹长度为三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.样本数据7，8，10，11，23，24，30，35的第40百分位数为_______.13.如图，在四棱锥中，四边形是边长为的正方形，且，已知四棱锥的表面积是，则它的体积为________．14.在中，在边所在直线上，且满足，，则______.四、解答题（本大题有5个小题，共77分）15.已知平面向量与的夹角为，且．（1）求的值；（2）若，求实数的值．16.如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，垂足为，，交于点，点是的中点．（1）求证：平面．（2）求证：平面．（3）求直线与平面所成角的大小．17.为了解一种植物果实的情况，随机抽取一批该植物果实样本测量重量（单位：克），按照，，，，分为5组，其频率分布直方图如图所示．（1）求图中的值；（2）估计这种植物果实重量的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）已知这种植物果实重量不低于32.5克的即为优质果实．若所取样本容量，从该样本分布在和的果实中，随机抽取2个，求抽到的都是优质果实的概率．18.在中，角的对边分别为，且.（1）求角的大小；（2）若，的面积为，求该三角形的周长；（3）若，，为的平分线，求的长.19.如图，在四棱锥中，，，，，，设，其中.（1）求证：平面平面；（2）若，求二面角的余弦的取值范围；（3）当时，求三棱锥的外接球体积的最小值.

数学满分：150分一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1.已知复数满足，则的虚部为（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：

已知，移项得：

，因此虚部为.2.已知向量，若，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据共线向量的坐标表示，列出方程求得，得到的坐标，结合向量模的坐标运算公式，即可求解.解答过程：由向量，因为，可得，解得，所以，则，所以．3.如图，用斜二测画法作出四边形的直观图为四边形，若轴，轴，且，则四边形的面积为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：先由直观图的定义和性质得到四边形为边长为的正方形即可求解.解答过程：由题可得轴且，轴且，所以四边形为边长为的正方形，所以四边形的面积为．4.已知为两个不同的平面，为两条不同的直线，则下列命题错误的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则答案：D解析：解答过程：对于A，由，可得，故A正确；对于B，垂直于同一条直线的两个平面平行，故B正确；对于C，根据面面垂直的性质定理可知C正确；对于D，若，则或与相交，故D错误．5.已知，与的夹角为，是与向量方向相同的单位向量，则在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：由题意得，，则，，则在向量上的投影向量为.6.已知某随机试验中，事件，，发生的概率分别是，，，则下列说法正确的是（）A.与是互斥事件，且是对立事件 B.一定是必然事件C. D.的概率一定等于0.5答案：C解析：思路：结合概率运算公式和互斥事件、对立事件、必然事件的概念，求解即可.解答过程：选项A：若与是互斥事件，则，若是对立事件，则（样本空间），题干中未说明事件，，之间的关系，无法确定与是否互斥、对立，故A错误.选项B：若事件，，互斥，则，若事件，，存在包含关系，则概率会小于1，因此不一定是必然事件，故B错误.选项C：.又，所以．该结果满足，故C正确.选项D：.只有当事件，互斥时，，此时，因此的概率不一定等于0.5，故D错误.7.记，，分别为的内角，，的对边，且，，则的形状为（）A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.锐角或直角三角形答案：C解析：思路：应用正弦定理得出，再应用余弦定理计算得出两角和余弦值即可得出角的范围判断形状.解答过程：因为，由正弦定理得，又，故，由余弦定理得，故，得，所以，得，所以，或，，所以为钝角三角形.8.在中，，若对任意，恒成立，则的最小值为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：依题意建立平面直角坐标系，根据向量坐标的数量积运算，及恒成立条件得到，进而根据二次函数的性质即可求出的最小值．解答过程：以为原点，以所在的直线为轴，建立如下图所示的平面直角坐标系，设，，，，则，，，，则，对任意恒成立，又对任意恒成立，则，则，所以的最小值为．二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分）9.已知复数，，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.在复平面内对应的点位于第一象限答案：AB解析：思路：根据复数的运算以及复数的几何意义求解即可.解答过程：已知复数，，则.，，在复平面内对应的点.10.若数据的平均数为3，方差为4，则下列说法正确的是（）A.数据的平均数为13B.数据的方差为12C.D.答案：ACD解析：思路：由题意可得，，利用平均数的性质可得A；利用方差的性质计算可得B：由即可得C；结合方差与平均数计算即可得D.解答过程：依题意，，，对A：，故A正确:对B：依题意，，所以数据的方差为：，故B错误；对C：，故C正确;对D：由，解得，故D正确.故选：ACD.11.如图，在棱长为的正方体中，为的中点，为线段上动点（包括端点），则下列说法中正确的是（

）A.三棱锥的体积为定值B.直线与直线所成角的余弦值为C.的最小值为D.点在正方体表面上运动（包含边界），且，则点的轨迹长度为答案：ABD解析：思路：根据体积桥可确定A正确；作出异面直线所成角，结合余弦定理可求得B正确；将与沿直线展开到同一平面内，根据可求得C错误；过作出平面的平行平面截正方体所得的截面，根据线面垂直关系可确定点轨迹即为正六边形，知D正确.解答过程：对于A，连接，四边形为正方形，，平面，平面，，平面，，平面，点到平面的距离，又，，即三棱锥的体积为定值，A正确；对于B，延长至点，使得，连接，，，又，四边形为平行四边形，，异面直线与所成角即为（或其补角），，，，，直线与直线所成角的余弦值为，B正确；对于C，将与沿直线展开到同一平面内，如下图所示，（当且仅当为线段与交点时取等号），；，，；，为等边三角形，，，，的最小值为，C错误；对于D，，，，平面，平面，又平面，；同理可证得：，，平面，平面；取中点，连接，，平面，平面，平面，，平面，平面，平面，，平面，平面平面，作出平面截正方体所得的截面，其中分别为的中点，则截面平面；平面，平面，则当平面时，，点的轨迹即为正六边形，点的轨迹长度为，D正确.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.样本数据7，8，10，11，23，24，30，35的第40百分位数为_______.答案：11解析：解答过程：因为，所以第40百分位数为第4个数据11.13.如图，在四棱锥中，四边形是边长为的正方形，且，已知四棱锥的表面积是，则它的体积为________．答案：解析：思路：先判断四棱锥是正四棱锥，由表面积求出斜高，由勾股定理求得棱锥的高，再利用棱锥的体积公式可得结果.解答过程：四边形是边长为的正方形，且，是正四棱锥，设中点为，与交与，则平面，连接，则是四棱锥的高，因为四棱锥的表面积是，，即，，，故答案为.方法提示：本题主要考查正棱锥的性质与应用，考查了锥体的表面积与体积，属于中档题.空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：（1）求简单几何体的体积时若所给的几何体为柱体锥体或台体，则可直接利用公式求解；(2)求组合体的体积时若所给定的几何体是组合体，不能直接利用公式求解，则常用转换法、分割法、补形法等进行求解.14.在中，在边所在直线上，且满足，，则______.答案：解析：思路：利用正弦，余弦定理及二倍角公式化简整理，最后解直角三角形即可．解答过程：如图，由余弦定理得，所以，因为，所以，在中，由正弦定理得，得，则，，在中，由余弦定理得，​因此得，所以，，所以，在中，，所以．四、解答题（本大题有5个小题，共77分）15.已知平面向量与的夹角为，且．（1）求的值；（2）若，求实数的值．答案：（1）（2）．解析：思路：（1）根据题意，由平面向量模长公式以及数量积运算，代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，由平面向量垂直，代入计算，即可得到结果；（1）．．（2），，，解得．16.如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，垂足为，，交于点，点是的中点．（1）求证：平面．（2）求证：平面．（3）求直线与平面所成角的大小．答案：（1）证明见解析（2）证明见解析（3）解析：思路：（1）根据中位线定理及线面平行的判定定理证明即可.（2）根据线面垂直的性质定理及线面垂直的判定定理证明即可.（3）根据线线平行及线面角的定义，在三角形中求解即可.（1）证明：因为底面是正方形，，为对角线，所以为中点，又点是的中点，所以.又平面，平面，所以平面.（2）证明：因为平面，，平面，所以，，且为直角三角形.因为底面是正方形，所以.又，平面，，所以平面，因为平面，所以.在中，，点是的中点，所以.又，平面，，所以平面.（3）正方形中，，所以直线与平面所成角即为直线与平面所成角，又平面，所以即为直线与平面所成角，也即直线与平面所成角.在中，，点是的中点，所以，，所以.故直线与平面所成角为.17.为了解一种植物果实的情况，随机抽取一批该植物果实样本测量重量（单位：克），按照，，，，分为5组，其频率分布直方图如图所示．（1）求图中的值；（2）估计这种植物果实重量的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）已知这种植物果实重量不低于32.5克的即为优质果实．若所取样本容量，从该样本分布在和的果实中，随机抽取2个，求抽到的都是优质果实的概率．答案：（1）（2）平均数为，中位数为（3）解析：思路：（1）由频率之和为1即可求出；（2）由频率分布直方图结合平均数和中位数求法即可求出；（3）列出任取2个的所有基本事件，即可求出概率.（1）由图知，组距，由，得．（2）各组中点值和相应的频率依次为：中点值3035404550频率0.10.20.3750.250.075所以，果实重量在的频率为，果实重量在的频率为，果实重量在的频率为，所以中位数满足关系，由，解得．（3）由已知，果实重量在和内的分别有4个和3个，分别记为和，从中任取2个的取法有：，，，共21种取法，其中都是优质果实的取法有，共3种取法，所以抽到的都是优质果实的概率．18.在中，角的对边分别为，且.（1）求角的大小；（2）若，的面积为，求该三角形的周长；（3）若，，为的平分线，求的长.答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）根据正弦定理，将条件转化为，再对该式变形，得出，即可求出角；（2）根据三角形的面积公式求出，再根据余弦定理，求出即可；（3）根据，利用面积公式即可求出的长.（1）因为，由正弦定理，可得，整理得，所以，即，又因为，可得，所以，因为，可得，所以，即，又因为，所以.（2）由（1）知：且的面积为，可得，可得，因为，由余弦定理知，可得，可得，解得，所以的周长为.（3）因为为的平分线且，可得，由，可得，又因为，可得，整理得，所以.19.如图，在四棱锥中，，，，，，设，其中.（1）求证：平面平面；（2）若，求二面角的余弦的取值范围；（3）当时，求三棱锥的外接球体积的最小值.答案：（1）证明见解析（2）（3）解析：思路：（1）利用线面垂直去证明面面垂直即可；（2）找到二面角的平面角，由余弦定理可求解；（3）由于是不规则四面体的外接球，转