安徽省合肥市普通高中六校联盟2025~2026学年高二下册7月期末考试数学试卷【附解析】

数学（考试时间：120分钟满分：150分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合要求的．1.数列的第9项为（）A. B. C. D.2.五名同学依次站成一排，要求其中的甲和乙必须相邻，则不同的站队方式的种数为()A.12 B.24 C.48 D.1203.若函数的极小值点为，则实数的值为（）A. B. C. D.4.抛掷两枚质地均匀的骰子，记事件为“两个点数不相同”，为“至少出现一个6点”，则（）A. B. C. D.5.对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（）A. B.C. D.6.设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（）A.有极大值 B.有极小值C.有极大值 D.有极小值7.已知数列满足，，则数列的前100项和为（）A. B.C. D.8.已知函数，，若对任意的，存在唯一的，使得，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9.在的展开式中，下列说法正确的是（）A.常数项为160 B.各二项式系数的和为64C.各项系数的和为1 D.各二项式系数的最大值为24010.设函数，则（）A.是的极小值点 B.当时，C.当时， D.当时，11.有3台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台加工的次品率分别为，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件数的比为，现任取一个零件，记事件“零件为第i台车床加工”，事件“零件为次品”，则（）A. B.C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.由具有线性相关关系的一组样本数据，得到回归直线方程为，若，则____________．13.经研究发现，某苹果园中苹果的重量（单位：）近似服从正态分布，已知，．若从该苹果园中随机采摘1个苹果，则该苹果的重量在内的概率为__________．14.为排查新型冠状病毒肺炎患者，需要进行核酸检测、现有两种检测方式：（1）逐份检测；（2）混合检测：将其中份核酸分别取样混合在一起检测，若检测结果为阴性，则这份核酸全为阴性，因而这份核酸只要检一次就够了，如果检测结果为阳性，为了明确这份核酸样本究竟哪几份为阳性，就需要对这份核酸再逐份检测，此时，这份核酸的检测次数总共为次．假设在接受检测的核酸样本中，每份样本的检测结果是阴性还是阳性都是独立的，并且每份样本是阳性的概率都为（），若，利用概率统计的知识分析出混合检测方式优于逐份检测方式．则的取值范围是__________（参考数据：）四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知公比的等比数列的前项和为，且，．（1）求数列的通项公式；（2）若的公比，且，求．16.已知函数，令．（1）求曲线在处的切线方程；（2）求的最小值．17.某市为了鼓励新能源汽车的发展，推行了许多购车优惠政策，包括：地方财政补贴、免征车辆购置税、充电设施奖补、车船税减免、放宽汽车消费信贷等．为了了解群众对新能源车和传统燃油车的偏好是否与年龄有关，调查组对该市80名不同年龄段（19岁及以上）的车主进行了问卷调查，其中有40名车主偏好新能源汽车，这40名偏好新能源汽车车主各年龄段所占百分比见下图：在所有被调查车主中随机抽取1人，抽到偏好传统燃油车且在岁年龄段的概率为．（1）请将下列被调查车主的列联表直接补充完整．

偏好新能源汽车偏好燃油车合计19～35岁

35岁以上

合计

依据的独立性检验，能否认为该市车主偏好新能源汽车与年龄有关联？（2）将上述调查中的频率视为概率，从该市偏好新能源汽车的车主中选取4人，求这4人中在岁年龄段的人数的分布列及方差．附：，其中．0.1000.0500.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82818.已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）求证：当时，；（3）若恒成立，求的取值范围．19.已知数列满足，，记．（1）求，的值；（2）证明：数列为等比数列，并求出数列的通项公式；（3）设，为数列的前项和，证明：．

数学（考试时间：120分钟满分：150分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合要求的．1.数列的第9项为（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：数列，分子：，是等差数列，首项为，公差为，所以通项为；分母：，通项为，故数列的通项为，所以第9项：.2.五名同学依次站成一排，要求其中的甲和乙必须相邻，则不同的站队方式的种数为()A.12 B.24 C.48 D.120答案：C解析：思路：借助捆绑法把相邻的甲乙打包，分单元内部排序、整体全排列两步相乘求解排列总数.解答过程：将甲、乙捆绑合并为1个单元，单元内部的站位排列数为，剩余3人与该单元构成4个独立元素，4个元素全排列的排列数为.可得总站法种数.3.若函数的极小值点为，则实数的值为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：先确定函数定义域并求导，利用极值点处导数为代入求出，再将代回导数式因式分解，分段判断导数正负，验证左侧递减、右侧递增，确认为极小值点，完成求解．解答过程：函数的定义域为，，因为是的极值点，所以，解得，若，则，时，，单调递增，时，，单调递减，时，，单调递增，所以确实是的极小值点，符合题意，综上，．4.抛掷两枚质地均匀的骰子，记事件为“两个点数不相同”，为“至少出现一个6点”，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据题意，分别求得事件和的概率，结合条件概率的计算公式，即可求解.解答过程：抛掷两枚质地均匀的骰子，共有种情形，其中事件“至少出现一个6点”的情况数为种，可得，又由事件“两个点数不相同”，可得，所以，由条件概率的公式，可得.故选：A.5.对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：根据题中给出的散点图，先判断是正相关还是负相关，然后根据散点图的集中程度分析相关系数的大小解答过程：解：由图可知，图2和图3是正相关，图1和图4是负相关，囷1和图2的点相对更加集中，所以相关性更强，所以接近于，接近1，所以，故选：A6.设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（）A.有极大值 B.有极小值C.有极大值 D.有极小值答案：A解析：解答过程：由图可知，当时，，而，则；当时，，而，则；当时，，而，则，所以函数在上单调递增，在上单调递减，则有极大值，无极小值.7.已知数列满足，，则数列的前100项和为（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：由题意，数列是等差数列，由此可得的通项公式，然后利用裂项相消求和法即可求解数列的前100项和.解答过程：解：因为，所以数列是等差数列，且首项为，公差为3，则，，所以，所以数列的前100项和．故选：A.8.已知函数，，若对任意的，存在唯一的，使得，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：先求，的值域，结合函数的图象，将问题转化为在，的值域内任取，则直线与函数，的图象只有一个交点，然后可得．解答过程：，令，解得或.令，解得.所以在上单调递减，在单调递增，所以当时，在上的最小值为，又，，所以在上的最大值为.因为，，由图可知，要使有唯一解，则因为对任意的，存在唯一的，使得，所以，解得，即实数的取值范围是.二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9.在的展开式中，下列说法正确的是（）A.常数项为160 B.各二项式系数的和为64C.各项系数的和为1 D.各二项式系数的最大值为240答案：BC解析：思路：根据二项式展开式的通项公式的性质以及各项系数和的求法来逐一分析选项．解答过程：由二项式的展开式的通项为，，令，解得．则常数项为，所以选项A错误；根据二项式系数和的性质，可得的各二项式系数的和为，所以选项B正确；要求各项系数的和，可令，则，所以各项系数的和为1，所以选项C正确；因为，所以二项式系数最大的是中间项，即第项，其二项式系数为，所以选项D错误．故选：BC．10.设函数，则（）A.是的极小值点 B.当时，C.当时， D.当时，答案：ACD解析：解答过程：，所以当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；所以是函数的极大值点，是函数的极小值点，A选项正确；当，，且函数单调递增，所以，B选项错误；当时，，所以，即，C选项正确；当时，，，因为，所以，所以，即，D选项正确.11.有3台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台加工的次品率分别为，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件数的比为，现任取一个零件，记事件“零件为第i台车床加工”，事件“零件为次品”，则（）A. B.C. D.答案：AC解析：思路：利用古典概型概率公式可判断AC；利用条件概率定义可判断BD.解答过程：设三台车床加工的零件的总数为，则第1，2，3台车床加工的零件数的分别为，对于A，，故A正确；对于B，，故B错误；对于C，，故C正确；对于D，，故D错误.故选：AC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.由具有线性相关关系的一组样本数据，得到回归直线方程为，若，则____________．答案：解析：思路：由回归直线过样本中心点可列方程求解.解答过程：由题意，解得.故答案为：.13.经研究发现，某苹果园中苹果的重量（单位：）近似服从正态分布，已知，．若从该苹果园中随机采摘1个苹果，则该苹果的重量在内的概率为__________．答案：0.2##解析：解答过程：因为，所以，所以由对称性可知，即，所以，同理可得，所以.14.为排查新型冠状病毒肺炎患者，需要进行核酸检测、现有两种检测方式：（1）逐份检测；（2）混合检测：将其中份核酸分别取样混合在一起检测，若检测结果为阴性，则这份核酸全为阴性，因而这份核酸只要检一次就够了，如果检测结果为阳性，为了明确这份核酸样本究竟哪几份为阳性，就需要对这份核酸再逐份检测，此时，这份核酸的检测次数总共为次．假设在接受检测的核酸样本中，每份样本的检测结果是阴性还是阳性都是独立的，并且每份样本是阳性的概率都为（），若，利用概率统计的知识分析出混合检测方式优于逐份检测方式．则的取值范围是__________（参考数据：）答案：解析：思路：设混检总次数为，求出全部阴性和至少1份阳性的概率，进而求出混检的期望，利用“混合检测方式优于逐份检测”构造不等式，解不等式求的取值范围．解答过程：设混检总次数为，份全为阴性概率为，此时只需检测1次；至少一份阳性的概率：，此时需要检测次，故混检的期望次数为：，逐份检测固定为次，若混检优于逐份检测，则，所以，即，解得．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知公比的等比数列的前项和为，且，．（1）求数列的通项公式；（2）若的公比，且，求．答案：（1）或（2）解析：思路：（1）根据等比数列的性质，利用等比数列前项和公式结合已知条件求出公比，进而求出；（2）利用等比数列前项和公式结合已知条件构造方程，解方程求．（1）由．且，若，则，不满足，故，故，则，化简得，解得（舍去），若得，若得．（2）由于，所以即，得．16.已知函数，令．（1）求曲线在处的切线方程；（2）求的最小值．答案：（1）（2）0解析：思路：（1）根据导数求切线斜率，再结合点斜式求解切线方程；（2）根据导数符号确定函数单调性，进而求解函数最值.（1），则，则在处切线斜率，切点为，即，整理得切线方程.（2）由，因，故，即在上单调递增，又，则当时，，单调递减；当时，，单调递增，故在处取最小值，，即最小值为0．17.某市为了鼓励新能源汽车的发展，推行了许多购车优惠政策，包括：地方财政补贴、免征车辆购置税、充电设施奖补、车船税减免、放宽汽车消费信贷等．为了了解群众对新能源车和传统燃油车的偏好是否与年龄有关，调查组对该市80名不同年龄段（19岁及以上）的车主进行了问卷调查，其中有40名车主偏好新能源汽车，这40名偏好新能源汽车车主各年龄段所占百分比见下图：在所有被调查车主中随机抽取1人，抽到偏好传统燃油车且在岁年龄段的概率为．（1）请将下列被调查车主的列联表直接补充完整．

偏好新能源汽车偏好燃油车合计19～35岁

35岁以上

合计

依据的独立性检验，能否认为该市车主偏好新能源汽车与年龄有关联？（2）将上述调查中的频率视为概率，从该市偏好新能源汽车的车主中选取4人，求这4人中在岁年龄段的人数的分布列及方差．附：，其中．0.1000.0500.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828答案：（1）偏好新能源汽车偏好燃油车合计19～35岁24153935岁以上162541合计404080偏好新能源汽车与年龄有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05（2）解析：01234思路：（1）结合题设即可求得列联表，再计算的值，与临界值比较即可判断；（2）由题意可得，进而结合二项分布的概率公式求解分布列，再根据二项分布的方差公式求解方差.（1）由题意，偏好传统燃油车且在岁年龄段的人数为，故偏好传统燃油车且在35岁以上年龄段的人数为，新能源汽车40名车主中在岁年龄段的人数为，新能源汽车35岁以上年龄段的人数为，列联表如下所示：

偏好新能源汽车偏好燃油车合计19～35岁24153935岁以上162541合计404080提出零假设：偏好新能源汽车与年龄无关，而，根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即偏好新能源汽车与年龄有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05.（2）由题意，，则