安徽省马鞍山市2025~2026学年高一下册期末教学质量监测数学试卷【附解析】

数学一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数在复平面内所对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限2.如图，在矩形中，点分别是和的中点，则（）A. B. C. D.3.已知m，l为空间中不重合的直线，，，为空间中不重合的平面，则下列说法正确的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则4.若，是同一平面内两个不共线向量，则下列各组向量不能作为该平面的基底的是（）A.与 B.与C.与 D.与5.已知数据的平均数为11，标准差为3，则的平均数和标准差分别为（）A.33，9 B.33，7 C.31，9 D.31，76.已知向量，，则在上的投影向量为（）A. B.C. D.7.一个箱子里有20个小球，分别以编号．甲从中随机抽取1个小球，记下其编号．记事件“编号为奇数”，事件“编号为偶数”，事件“编号小于18”，事件“编号大于18”，则下列结论错误的是（）A.A与B互斥 B.A与B互为对立事件C.C与D互为对立事件 D.B与D互为独立事件8.在中，，，点满足，，则（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数满足，是的共轭复数，则（）A. B.C.的最小值为1 D.10.在边长为2的等边中，和的中点分别为和，点满足，，则（）A. B.向量与的夹角为C.的最小值为 D.的最小值为11.六棱锥的高为，底面是边长为的正六边形.若该六棱锥的外接球半径为2，则顶点P与底面的中心之间的距离可能为（）A. B. C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知圆锥的高为6，侧面积是底面积的2倍，则该圆锥的母线长为__________.13.某中学有高一年级学生1050人，高二年级学生1000人，高三年级学生950人.现采用在各年级中按比例分配的分层随机抽样，从三个年级共抽取60名学生进行身高调查，则高一年级抽取的学生数为__________.14.如图，在中，，，，，点是的中点，与交于点，则__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.从0，1，2，3，4，5，6这7个数中随机选择数，求下列事件的概率.（1）若随机选择一个数，则这个数平方的个位数字为6；（2）若随机选择两个不同的数，则这两个数之和的个位数字为6.16.某市统计局统计了某城际地铁自开通以来的天每天的客流量，发现它们都在万人次之间，将它们分成组（单位：万人次）：，制作成如图所示的频率分布直方图.（1）求频率分布直方图中的值；（2）求这天中客流量不少于万人次的天数；（3）假设这些数据在各组内均匀分布，估计这天客流量的第百分位数.17.如图1，在直角梯形中，，，，.为的中点，将沿着翻折成，如图2.（1）若为棱的中点，求证：平面；（2）当时，求二面角的余弦值.18.已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若且.（1）求角；（2）求面积的最大值.19.如图，在三棱锥中，，，平面平面．（1）求三棱锥的体积；（2）求异面直线与所成的角的余弦值；（3）若点在棱上，当直线与平面所成的角最大时，求该角的正弦值．

数学一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数在复平面内所对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案：D解析：解答过程：复数在复平面内所对应的点为，位于第四象限.2.如图，在矩形中，点分别是和的中点，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：由相等向量，向量的加法运算即可求解.解答过程：在矩形中，因为点分别是和的中点，故，则，由图可知和，，都不是相等向量，所以A正确，BCD错误.3.已知m，l为空间中不重合的直线，，，为空间中不重合的平面，则下列说法正确的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则答案：B解析：思路：A选项根据线面平行的判定定理判断；B选项根据线面垂直的性质判断；C选项根据线面平行的性质判断；D选项根据面面垂直的性质判断．解答过程：A选项，根据线面平行的判定定理可知，平面外一条直线与平面内一条直线平行，则线面平行，选项中未强调平面外的直线，故A错误；B选项，根据垂直于同一个平面的两条直线互相平行可判断，B选项正确；C选项，线面平行，则这条直线与平面内的直线没有公共点，可能平行可能异面，故C错误；D选项，垂直于同一个平面的两个平面可以相交，可以平行，故D错误．4.若，是同一平面内两个不共线向量，则下列各组向量不能作为该平面的基底的是（）A.与 B.与C.与 D.与答案：D解析：思路：利用平面向量的基本定理和基底的概念逐项判断即可.解答过程：对于A选项，因为不存在，使得，所以该组向量可以作为该平面的基底，故A错误；对于B选项，不存在，使得，所以该组向量可以作为该平面的基底，故B错误；对于C选项，不存在，使得，所以该组向量可以作为该平面的基底，故C错误；对于D选项，因为，所以该组向量不可以作为该平面的基底，故D正确.5.已知数据的平均数为11，标准差为3，则的平均数和标准差分别为（）A.33，9 B.33，7 C.31，9 D.31，7答案：C解析：思路：根据平均数和标准差的性质计算即可.解答过程：因为数据的平均数为11，标准差为3，即，所以的平均数为.根据标准差的性质可知，数据的标准差为.6.已知向量，，则在上的投影向量为（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：根据投影向量的计算公式即可求解．解答过程：在上的投影向量为．7.一个箱子里有20个小球，分别以编号．甲从中随机抽取1个小球，记下其编号．记事件“编号为奇数”，事件“编号为偶数”，事件“编号小于18”，事件“编号大于18”，则下列结论错误的是（）A.A与B互斥 B.A与B互为对立事件C.C与D互为对立事件 D.B与D互为独立事件答案：C解析：思路：分别求出样本空间和事件，即可根据互斥事件和对立事件的概念去进行判断．解答过程：由题意甲从中任取一个球的样本空间为，事件表示，事件表示，事件表示，事件表示，所以，则与互斥，且与互为对立事件，故AB正确；因为，所以C与D不是对立事件，故C错误；因为，所以，所以B与D为相互独立事件，故D正确．8.在中，，，点满足，，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：由向量线性运算得到，通过平方得到，在中，两次使用余弦定理即可求解.解答过程：由，得故

，

，

代入已知，得​：

，

即，解得.

，.​​二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数满足，是的共轭复数，则（）A. B.C.的最小值为1 D.答案：BCD解析：思路：根据复数的几何意义、共轭复数的概念等知识逐项判断即可.解答过程：设，由得：A选项：，，不一定等于2，A错误；B选项：，B正确；C选项：表示圆心为原点的单位圆上的点到点的距离，最小值为，C正确；D选项：，D正确10.在边长为2的等边中，和的中点分别为和，点满足，，则（）A. B.向量与的夹角为C.的最小值为 D.的最小值为答案：ACD解析：思路：以中点为原点建立平面直角坐标系，写出各点坐标，由得到动点的坐标；A利用向量中线公式验证，B通过向量夹角余弦公式计算夹角，C用两点间距离公式结合二次函数求线段最小值，D将向量点积化为二次函数求最值．解答过程：如图，以为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，的边长为，，，，，，由，且，得，对于A，由向量平行四边形法则，在中，是的中点，所以，A正确；对于B，，，所以，又，所以，B错误；对于C，，，，当时，取最小值为，C正确；对于D，，，，当时，取最小值为，D正确．11.六棱锥的高为，底面是边长为的正六边形.若该六棱锥的外接球半径为2，则顶点P与底面的中心之间的距离可能为（）A. B. C. D.答案：CD解析：思路：利用正六边形的特征及外接球的性质分类讨论球心的位置计算即可.解答过程：易知底面的外接圆半径长等于其边长，其圆心即正六边形的中心，设为点Q，又该六棱锥的外接球半径为2，设六棱锥的外接球球心为O，则，作球O如下，因为六棱锥的高为，取的中点G，延长到H，使，则P在以G或为圆心且平行于底面的圆面上，①当P在以G为圆心且平行于底面的圆面上时，因，则，又因，则；②当P在以H为圆心且平行于底面的圆面上时，同理可得.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知圆锥的高为6，侧面积是底面积的2倍，则该圆锥的母线长为__________.答案：解析：解答过程：设圆锥的底面半径为，母线长为，圆锥的底面积为，侧面积为，侧面积是底面积的2倍，则有，得，圆锥的高，圆锥的高、底面半径和母线构成直角三角形，有，代入和得：，解得，因此，母线长.13.某中学有高一年级学生1050人，高二年级学生1000人，高三年级学生950人.现采用在各年级中按比例分配的分层随机抽样，从三个年级共抽取60名学生进行身高调查，则高一年级抽取的学生数为__________.答案：21解析：解答过程：由题意，抽样比为，则高一年级抽取的学生数为.14.如图，在中，，，，，点是的中点，与交于点，则__________.答案：##解析：思路：以作为基底，利用三点共线设参数求出系数，再展开利用数量积运算即可进行求值.解答过程：因为，所以，因为是的中点，所以，因为三点共线，设，即，又因为三点共线，可设，则，所以，解得，所以，，所以.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.从0，1，2，3，4，5，6这7个数中随机选择数，求下列事件的概率.（1）若随机选择一个数，则这个数平方的个位数字为6；（2）若随机选择两个不同的数，则这两个数之和的个位数字为6.答案：（1）（2）解析：（1）从这7个数中人选1个数，有7种选择，因为这7个数中只有4和6的平方的个位数字为6，所以若随机选择一个数，则这个数平方的个位数字为6的概率为；（2）随机选择两个不同的数共有种，两个数之和的个位数字为6，符合条件的共有3种，所以随机选择两个不同的数，则这两个数之和的个位数字为6的概率为.16.某市统计局统计了某城际地铁自开通以来的天每天的客流量，发现它们都在万人次之间，将它们分成组（单位：万人次）：，制作成如图所示的频率分布直方图.（1）求频率分布直方图中的值；（2）求这天中客流量不少于万人次的天数；（3）假设这些数据在各组内均匀分布，估计这天客流量的第百分位数.答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）根据频率分布直方图各组面积之和等于求解即可；（2）先计算出不少于万人次的天数的频率，然后再计算即可；（3）根据百分位数计算方法计算即可.（1）由题意知：，解得：.（2）不少于万人次的天数的频率为，故不少于万人次的天数为天.（3）因为，所以第百分位数一定在区间内，设第百分位数为，则，解得：，所以第百分位数为.17.如图1，在直角梯形中，，，，.为的中点，将沿着翻折成，如图2.（1）若为棱的中点，求证：平面；（2）当时，求二面角的余弦值.答案：（1）连接，设，连接.由四边形为平行四边形可得，与互相平分，即点是的中点，又因为为中点，所以.因为面，面，所以面.（2）解析：思路：（1）利用平行四边形对角线互相平分得到中点，结合是中点构造三角形中位线，证出线线平行，最后利用线面平行判定定理即可证出线面平行；（2）先利用勾股定理证明垂直底面，用三垂线定理找出二面角的平面角，再在中求解余弦值即可.（1）略（2）取的中点为，连接和.因为，所以，且，同理，所以在中，，，则，即，又因为，面，所以面.过点作的垂线，垂足为，连接，则，又，则为二面角的平面角.在中，，，所以，解得.故.即二面角的余弦值为.18.已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若且.（1）求角；（2）求面积的最大值.答案：（1）（2）解析：思路：（1）由题设结合正弦定理及同角三角函数的基本关系化简求解即可；（2）由余弦定理可得，再根据基本不等式可得，进而结合三角形的面积公式求解即可.（1）由，根据正弦定理，得，在中，，则，即，因为，所以.（2）由余弦定理，得，而，，则，当且仅当时取等号，所以，则，故面积的最大值为.19.如图，在三棱锥中，，，平面平面．（1）求三棱锥的体积；（2）求异面直线与所成的角的余弦值；（3）若点在棱上，当直线与平面所成的角最大时，求该角的正弦值．答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）根据面面垂直的性质，一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一平面，由此得到高，根据三棱锥体积公式计算即可；（2）通过作平行线，将异面直线转化为共面直线找到夹角，利用解三角形的方法计算异面直线夹角；（3）过作平面的垂线，连接垂足与点即可作出线面角，再利用直角三角形的边角关系进行计算线面夹角．（1）取棱BC的中点为，连接，因为为边长2的等