福建省福州市福州第一中学2025~2026学年第四学段模块考试（高二下册期末）数学试卷【附解析】

数学满分：150分完卷时间：120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.（）A.63 B.10 C.21 D.02.设实数x满足，则函数的最小值为（）A.4 B.5 C.6 D.73.设，，若是的必要条件，则（）A. B.C. D.4.从数字1，2，3，4，5中一次随机选取两个不同的数，其中至少有一个为奇数，则这两个数为一奇一偶的概率为（）A. B. C. D.5.由下表中的成对样本数据得到经验回归方程为，则（）x12345y24568附：①经验回归方程中，，；②参考数据：，．A. B.C. D.6.若，则（）A. B. C. D.7.设随机变量，若，则（）附参考数据：①；②；③．A. B.在上有最大值C. D.8.从的方格表中随机选出4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中．若选中方格中的4个数之和为X，则随机变量X的期望（）A.0 B.C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.若随机事件M，N满足：，，，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.M与N相互独立10.下列关于排列数、组合数的等式（，，）中，正确的是（）A. B.C. D.11.在信道内发送5位二进制码数据流，前4位为信息码，最后一位为偶校验码，使得5位二进制码数据流中1的个数为偶数．例如：若信息码为1100，则校验码为0，所发送数据流为11000；若信息码为1000，则校验码为1，所发送数据流为10001．每位二进制码信号的传输相互独立，当发送时，收到的概率为，收到的概率为．接收方收到数据后，若数据流中1的个数是奇数个，则数据传输错误，要求重新发送该数据，则下列说法正确的是（）A.5位二进制码数据流传输全部正确的概率为B.若发送的数据流为10010，则接收到的数据流为11101的概率为；C.接收方要求重新发送该数据的概率为D.若所接收数据流中1的个数是偶数个，则信息码传输正确的概率为三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.两批同种规格的产品，第一批占，次品率为；第二批占，次品率为．将两批产品混合，从混合产品中任取一件，则这件产品是次品的概率为__________．13.已知，且，记随机变量为，，中的最小值，则______.14.若数列不是等比数列，且使得，那么称数列为“局部等比数列”．若从集合中抽取个数构成一个数列，则数列为“局部等比数列”的概率为__________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，．（1）求A；（2）若的面积为，求a和．16.某学校对学生是否经常锻炼的情况开展调查，采用简单随机抽样的方法抽取男生、女生各50人．调查数据发现：经常锻炼的学生共46人，其中女生16人．（1）根据以上数据，完成下述列联表：经常锻炼不经常锻炼合计男生女生合计（2）依据的独立性检验，分析该校学生在体育锻炼的经常性方面是否与性别有关；（3）现从调查的男生中，按是否经常锻炼的比例分层抽样选出5人，再从这5人中随机抽取3人赠送书签，记赠送书签的3人中经常锻炼的人数为X，求X的分布列及数学期望．附：，．0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.84110.82817.某地区为了解本地直播带货情况，采用随机抽样的方法，抽取一个容量为200的样本．通过数据分析得知，直播销售主播年龄等级分布如图1所示，一周内使用直播销售的频率分布扇形图如图2所示．若将销售主播按照年龄分为“年轻人”（20岁~39岁）和“非年轻人”（19岁及以下或者40岁及以上）两类，将一周内直播销售使用的次数为6次或6次以上的称为“经常使用直播销售用户”，直播销售使用次数为5次或不足5次的称为“不常使用直播销售用户”，已知“经常使用直播销售用户”中有是“年轻人”．记，（1）计算的估计值；（2）利用样本估计总体，以频率估计概率，若在该地区“非年轻人”中随机抽取4人，记这抽到的4人中“不经常使用直播”人数为Z，求Z的分布列和数学期望；（3）某投资公司准备将100万元投资到“销售该地区农产品”的项目上，有如下两方案：方案一：线下销售．根据市场调研，利用传统的线下销售，到年底可能获利，可能亏损，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，，；方案二：线上直播销售．根据市场调研，利用线上直播销售，到年底可能获利，可能亏损，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，，．请你从期望和方差的角度为投资公司选择一个合理的方案，并说明理由．18.在一个口袋中装有6个红球和4个黑球，这些球除颜色外完全相同．有一个摸奖游戏，游戏规定：每位参与者进行4次摸球，每次从袋中摸出一个球，现有A，B两种摸球方式：A是有放回摸球，记摸到红球的次数为X；B是不放回摸球，记摸到红球的次数为Y．（1）若游戏规定：摸到的红球数不少于摸到的黑球数则中奖．则在这个规定下，游戏的参与者应该选择哪种摸球方式更有利于中奖？（2）求当取得最大时k的值．（3）定义变换函数：，现采用A摸球方式对函数进行连续变换，记，求随机变量Z的数学期望和方差．19.某城市进行街舞比赛，采用单淘汰制，即每名选手负一次即被淘汰出局．已知共有名选手将其随机编号后对阵比赛，所有选手在任何一场比赛中获胜的概率均为．现有甲、乙两位孪生兄弟参加比赛．（1）当时，下图1为4名选手的对阵示意图，求甲、乙在第二轮比赛过程中相遇的概率；（2）当时，下图2为8名选手的对阵示意图，求甲、乙在比赛过程中相遇的概率；（3）当时，对阵示意图和以上图类似．（i）求甲、乙两人在第三轮比赛中相遇的概率（用含n的式子表示）；（ii）若甲、乙两人在比赛过程中相遇的概率小于0.01，求n的最小值．

数学满分：150分完卷时间：120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.（）A.63 B.10 C.21 D.0答案：C解析：思路：根据排列数公式及组合数公式计算可得.解答过程：由题意得，故C正确.故选：C.2.设实数x满足，则函数的最小值为（）A.4 B.5 C.6 D.7答案：B解析：解答过程：因为，所以，则，s时，等号成立，故函数的最小值为5.3.设，，若是的必要条件，则（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：根据指数函数的单调性可化简，即可根据子集的关系求解.解答过程：，当时，，当时，，由于是的必要条件，故，因此且，即.4.从数字1，2，3，4，5中一次随机选取两个不同的数，其中至少有一个为奇数，则这两个数为一奇一偶的概率为（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：设事件为至少有一个为奇数，事件为这两个数为一奇一偶，由题意可得，，所以.5.由下表中的成对样本数据得到经验回归方程为，则（）x12345y24568附：①经验回归方程中，，；②参考数据：，．A. B.C. D.答案：D解析：思路：由线性回归方程系数公式求解．解答过程：，，，，则，，得．6.若，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据二项展开式的各项系数和的计算公式，利用赋值法计算.解答过程：由，即，设，则，令，则，令，则，所以.故选：B.7.设随机变量，若，则（）附参考数据：①；②；③．A. B.在上有最大值C. D.答案：D解析：解答过程：对于A，由正态分布的对称性，可得，所以，当且仅当时取等，故A错误；对于B，正态分布的图象是一条连续的曲线，且向左右两边无限延伸，表示随机变量取小于等于的概率，当时，，当时，，所以在上单调递增，值域为，无最大值，B错误；对于C，由A可知，，故C错误；对于D，因为，所以，，,所以，，，所以，，所以，故D正确.8.从的方格表中随机选出4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中．若选中方格中的4个数之和为X，则随机变量X的期望（）A.0 B.C. D.答案：B解析：思路：设每行被选中数字为，则，从而，据此可得答案.解答过程：设每行被选中数字为，则.由表格数据可得：，，，，从而.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.若随机事件M，N满足：，，，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.M与N相互独立答案：ABC解析：解答过程：对于A，因为，，，所以，故A正确；对于B，因为，所以，故B正确；对于C，，故C正确；对于D，，所以M与N不相互独立，故D错误.10.下列关于排列数、组合数的等式（，，）中，正确的是（）A. B.C. D.答案：AD解析：解答过程：A.根据组合数的对称性可知，，故A正确；B.，故B错误；C.，，所以，故C错误；D.因为，两边取导数得，，令，得，故D正确.11.在信道内发送5位二进制码数据流，前4位为信息码，最后一位为偶校验码，使得5位二进制码数据流中1的个数为偶数．例如：若信息码为1100，则校验码为0，所发送数据流为11000；若信息码为1000，则校验码为1，所发送数据流为10001．每位二进制码信号的传输相互独立，当发送时，收到的概率为，收到的概率为．接收方收到数据后，若数据流中1的个数是奇数个，则数据传输错误，要求重新发送该数据，则下列说法正确的是（）A.5位二进制码数据流传输全部正确的概率为B.若发送的数据流为10010，则接收到的数据流为11101的概率为；C.接收方要求重新发送该数据的概率为D.若所接收数据流中1的个数是偶数个，则信息码传输正确的概率为答案：ACD解析：思路：利用相互独立事件同时发生的概率计算公式以及条件概率计算公式即可求解.解答过程：对于A，每位二进制码信号传输正确的概率为，且传输相互独立，因此5位二进制码数据流全部传输正确的概率为，故A正确；对于B，发送数据流为，接收到的数据流为11101，逐位对比，仅第1位传输正确，其余4位都传输错误，因此概率为，故B错误；对于C，设接收方要求重新发送该数据的概率为，不用重新发数据的概率为，接收方要求重新发送该数据，意味着数据流在传输时传错的数码的个数的位数为奇数，错位的概率为，因此需要重新发数据的概率

，不用重新发数据的概率

，所以，①又因为，②由①②得，，所以C正确；对于D，设事件：信息码传输正确，事件：接收数据流的个数为偶数，，表示：前4位（信息码）全对，且所接收数据流中1的个数是偶数；前4位（信息码）全对时，仅校验码也正确时，数据流中1的个数是偶数，因此，因此，故

D正确.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.两批同种规格的产品，第一批占，次品率为；第二批占，次品率为．将两批产品混合，从混合产品中任取一件，则这件产品是次品的概率为__________．答案：（或）解析：思路：代入全概率公式，即可求解.解答过程：这件产品是次品的概率.13.已知，且，记随机变量为，，中的最小值，则______.答案：0.09##解析：思路：的可能取值为，利用排列组合知识求出相应的概率，求出期望和方差.解答过程：，且，相当于6个1之间的5个空中插入两个挡板，故共有种情况，的可能取值为，其中时，只有三个数为，故，则，所以，.故答案为：14.若数列不是等比数列，且使得，那么称数列为“局部等比数列”．若从集合中抽取个数构成一个数列，则数列为“局部等比数列”的概率为__________．答案：解析：思路：充分理解“局部等比数列”的概念，运用排列求总数，然后分类讨论即可解答过程：从集合中抽取个数构成一个数列，共有种情况，若数列为“局部等比数列”，则数列中仅连续三项等比，这三项共有四类：第一类：2，4，8或8，4，2，此时共有6种情况，分别是：2，4，8，32或16，2，4，8或32，2，4，8，8，4，2，16或8，4，2，32或32，8，4，2；第二类：4，8，16或16，8，4，此时共有4种情况，分别是：4，8，16，2或32，4，8，16，16，8，4，32或2，16，8，4；第三类：8，16，32或32，16，8，此时共有6种情况，分别是：8，16，32，2或8，16，32，4或2，8，16，32，32，16，8，2或2，32，16，8或4，32，16，8；第四类：2，8，32或32，8，2，此时共有8种情况，分别是：2，8，32，4或2，8，32，16或4，2，8，32或16，2，8，32，32，8，2，4或32，8，2，16或4，32，8，2或16，32，8，2；所以若数列为“局部等比数列”，则共有种情况，故数列为“局部等比数列”的概率为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，．（1）求A；（2）若的面积为，求a和．答案：（1）（2），解析：（1）由题可知，故（2），所以，，.16.某学校对学生是否经常锻炼的情况开展调查，采用简单随机抽样的方法抽取男生、女生各50人．调查数据发现：经常锻炼的学生共46人，其中女生16人．（1）根据以上数据，完成下述列联表：经常锻炼不经常锻炼合计男生女生合计（2）依据的独立性检验，分析该校学生在体育锻炼的经常性方面是否与性别有关；（3）现从调查的男生中，按是否经常锻炼的比例分层抽样选出5人，再从这5人中随机抽取3人赠送书签，记赠送书签的3人中经常锻炼的人数为X，求X的分布列及数学期望．附：，．0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.84110.828答案：（1）2×2列联表如下：经常锻炼不经常锻炼合计男生302050女生163450合计4654100（2）依据的独立性检验，认为该校学生体育锻炼的经常性与性别有关（3）的分布列为：123数学期望（或1.8）解析：思路：（1）利用已知数据计算可求得2×2的列联表.（2）根据题意求得，并与临界值比较可得结论.（3）根据X的取值情况列出X的分布列，通过期望公式求解即可.（1）因为经常锻炼的学生共46人，其中女生16人，所以男生有人；因为男生共有人，又经常锻炼的男生有人，所以不经常锻炼的男生有人，因为女生共有人，又经常锻炼的女生有人，所以不经常锻炼的女生有人，所以2×2列联表如下：经常锻炼不经常锻炼合计男生302050女生163450合计4654100（2）零假设：该校学生在体育锻炼的经常性方面与性别无关；，依据的独立性检验，不成立，所以我们认为该校学生体育锻炼的经常性与性别有关；（3）从男生中分层抽样选出的5人中，经常锻炼的有人，不经常锻炼的有人，所以随机变量X的值为1，2，3，则，，，所以的分布列为：123数学期望（或1.8）.17.某地区为了解本地直播带货情况，采用随机抽样的方法，抽取一个容量为200的样本．通过数据分析得知，直播销售主播年龄等级分布如图1所示，一周内使用直播销售的频率分布扇形图如图2所示．若将销售主播按照年龄分为“年轻人”（20岁~39岁）和“非年轻人”（19岁及以下或者40岁及以上）两类，将一周内直播销售使用的次数为6次或6次以上的称为“经常使用直播销售用户”，直播销售使用次数为5次或不足5次的称为“不常使用直播销售用户”，已知“经常使用直播销售用户”中有是“年轻人”．记，（1）计算的估计值；（2）利用样本估计总体，以频率估计概率，若在该地区“非年轻人”中随机抽取4人，记这抽到的4人中“不经常使用直播”人数为Z，求Z的分布列和数学期望；（3）某投资公司准备将100万元投资到“销售该地区农产品”的项目上，有如下两方案：方案一：线下销售．根据市场调研，利用传统的线下销售，到年底可能获利，可能亏损，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，，；方案二：线上直播销售．根据市场调研，利用线上直播销售，到年底可能获利，可能亏损，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，，．请你从期望和方差的角度为投资公司选择一个合理的方案，并说明理由．答案：（1）（2）分布列为：01234（3）选择方案二，理由如下：设方案一的收益率为，则的分布列为：所以，.设方案二的收益率为，则的分布列为：所以，.因为方案一的数学期望小于方案二的数学期望，故选择方案二.解析：思路：（1）由已知可得，，进而利用条件概率公式计算可求得的估计值；（2）由（1）可得，利用二项分布可求得分布列和数学期望；（3）求得两种方案的分布列，计算期望和方差，进而可得结论；（1）由图1可知，“非年轻人”的频率为，即；由图2可知，“经常使用直播销售用户”的频率为，所以，因为“经常使用直播销售用户”中有是“年轻人”，所以.所以，所以，所以.（2）由（1）知，在“非年轻人”中，“不经常使用直播”的概率为.从“非年轻人”中抽取4人，Z服从二项分布，即，Z的可能取值为0，1，2，3，4，则，，，，，所以分布列为：01234.（3）略.18.在一个口袋中装有6个红球和4个黑球，这些球除颜色外完全相同．有一个摸奖游戏，游戏规定：每位参与者进行4次摸球，每次从袋中摸出一个球，现有A，B两种摸球方式：A是有放回摸球，记摸到红球的次数为X；B是不放回摸球，记摸到红球的次数为Y．（1）若游戏规定：摸到的红球数不少于摸到的黑球数则中奖．则在这个规定下，游戏的参与者应该选择哪种摸球方式更有利于中奖？（2）求当取得最大时k的值．（3）定义变换函数：，现采用A摸球方式对函数进行连续变换，记，求随机变量Z的数学期望和方差．答案：（1）当摸到红球1个或0个时，不中奖.对于A模式，摸到1个红球的概率为，不摸到红球的概率为，则对于模式，不中奖的概率为，中奖的概率为；对于B模式，摸到1个红球的概率为：，不摸到红球的概率为：，则对于B模式，不中奖的概率为，中奖的概率为.因，则B模式中奖的概率更大，则游戏的参与者应该选择B模式更有利于中奖.（2）（3），.解析：思路：（1）计算两种模式下中奖概率，据此可得答案；（2）由题可得，据此可得答案；（3）由，可得对于函数，变换函数：，相当于函数：，结合，可得的取值可能为.据此可得答案.（1）略（2）由题可