福建省南平市2025~2026学年高一下册综合练习（一）数学试卷【附解析】

数学本试卷共6页．考试时间为120分钟．满分150分．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数（为虚数单位）的共轭复数是A. B. C. D.2.在平行四边形中，若，则（）A. B.C. D.3.某工厂生产产品400件，产品500件，现采用样本量比例分配的分层随机抽样方法从该厂生产的所有产品中抽取一个容量为180的样本，则样本中产品的件数为（）A.120 B.100 C.90 D.804.若圆锥的底面半径为，母线长为2，则其体积为（）A. B. C. D.5.记的内角所对的边分别为．若的面积为，且，则（）A. B. C. D.6.在一次演讲比赛中，8位评委对某选手的评分分别为8.6，8.8，8.8，9.0，9.2，9.3，9.5，9.7，记该组数据为数组，将数组中去掉一个最高分和一个最低分后所得评分记为数组，则数组与数组有相同的（）A.极差 B.平均数 C.方差 D.第40百分位数7.在三棱锥中，已知平面，且，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.8.记锐角的内角所对的边分别为．若，则的取值范围是（）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知为虚数单位，下列说法中正确的是（）A.B.在复平面内所对应的点在第二象限C.若是纯虚数，则D.若复数满足，则的最小值为110.在棱长为2的正方体中，为线段上的动点，下列说法正确的是（）A.平面B.平面平面C.若三棱锥的所有顶点均在体积为的球面上，则D.若为的中点，则平面与平面所成角的正切值为11.在中，已知，若为的外心，则下列说法正确的是（）A.B.为定值C.若，且，则D.的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若向量，则在上的投影向量为___________（用坐标表示）．13.已知复数（，为虚数单位），若，则___________．14.如图，正方体的棱长为2，，是线段上的动点，过点作平面的垂线，交平面于点，则的最小值为___________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知．（1）求的夹角；（2）若向量与垂直，求实数的值．16.如图，在四棱锥中，底面为正方形，且，（1）证明：平面平面；（2）若，求点到平面的距离．17.闽超足球联赛正开展得如火如荼，为福建足球事业的发展注入了蓬勃的新活力．啦啦队是为足球比赛加油助威的重要力量，为了评估啦啦队在赛场上的助威效果，随机抽取名啦啦队志愿者，测量他们在比赛中的呐喊声压级（单位：分贝），画出如图所示的频率分布直方图．（1）求图中的值，并估计这名志愿者呐喊声压级的平均数（同一组数据用该区间的中点值做代表）；（2）假设这名志愿者呐喊声压级分别为，平均数为，证明：．参考公式：18.记的内角所对的边分别为，已知．（1）求；（2）若，（i）求周长的最大值；（ii）当为锐角三角形时，设与的平分线交于点，求面积的取值范围．19.如图，在矩形中，，，点是线段（端点除外）上的动点，现将沿折起为．（1）若分别为的中点．（i）证明：在折起过程中，为定值，并求该定值；（ii）若三棱锥各顶点都在同一个球面上，求该球表面积的最小值．（2）设，二面角的大小为，若，求四棱锥体积的最大值．

数学本试卷共6页．考试时间为120分钟．满分150分．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数（为虚数单位）的共轭复数是A. B. C. D.答案：C解析：思路：先化简复数为代数形式，再根据共轭复数概念求解.解答过程：因为,所以其共轭复数是，选C.方法提示：本题考查共轭复数概念，考查基本分析求解能力，属基本题.2.在平行四边形中，若，则（）A. B.C. D.答案：C解析：解答过程：在平行四边形中，由，得，所以.3.某工厂生产产品400件，产品500件，现采用样本量比例分配的分层随机抽样方法从该厂生产的所有产品中抽取一个容量为180的样本，则样本中产品的件数为（）A.120 B.100 C.90 D.80答案：D解析：解答过程：依题意，样本中产品的件数为.4.若圆锥的底面半径为，母线长为2，则其体积为（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：依题意，该圆锥的高，所以该圆锥的体积为.5.记的内角所对的边分别为．若的面积为，且，则（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：由，变形得，且，由，则，显然不可能为直角，因为，得，即，由是三角形内角，则.6.在一次演讲比赛中，8位评委对某选手的评分分别为8.6，8.8，8.8，9.0，9.2，9.3，9.5，9.7，记该组数据为数组，将数组中去掉一个最高分和一个最低分后所得评分记为数组，则数组与数组有相同的（）A.极差 B.平均数 C.方差 D.第40百分位数答案：D解析：解答过程：对于A：数组的极差为，数组的极差为，A不正确；对于B：数组的平均数为，数组的平均数为，B不正确；对于C：数组的波动性较数组的波动性大，即数组的方差比数组的方差大，C不正确；对于D：由，得数组的第40百分位数为，由，得数组的第40百分位数为，D正确.7.在三棱锥中，已知平面，且，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据题设，将三棱锥补全为长方体，根据长方体的结构特征及已知求出相关线段长，结合异面直线所成角的定义确定异面直线与所成角的平面角，再应用余弦定理求异面直线所成角的余弦值.解答过程：由题意，将三棱锥补全为如下图示的长方体，且,所以，即四边形为平行四边形，则，所以异面直线与所成角，即为直线与所成角，所以或其补角是异面直线与所成角的平面角，由上，，则.8.记锐角的内角所对的边分别为．若，则的取值范围是（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：先由条件及三角恒等变换可得，再由正弦定理将边化为角，进而可得，再结合锐角三角形中角的范围及正切函数的性质可得.解答过程：由等式，得，，，即，锐角中，得，且为锐角，所以，.由正弦定理：，因为是锐角三角形，所以，，因此，所以，，，，即，因此的取值范围为.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知为虚数单位，下列说法中正确的是（）A.B.在复平面内所对应的点在第二象限C.若是纯虚数，则D.若复数满足，则的最小值为1答案：ACD解析：解答过程：A：，正确，B：对应复平面内的点为在第四象限，错误，C：为纯虚数，即，正确，D：表示对应点在以原点为圆心、半径为2的圆上，而表示点到点的距离，原点到的距离为，因此最短距离为，即的最小值为，正确.10.在棱长为2的正方体中，为线段上的动点，下列说法正确的是（）A.平面B.平面平面C.若三棱锥的所有顶点均在体积为的球面上，则D.若为的中点，则平面与平面所成角的正切值为答案：BC解析：思路：证得平面平面，结合与平面相交，可判定A错误；证得和，得到平面，结合面面垂直的判定定理，可判定B正确；把三棱锥转化为长方体的外接球，结合球的体积公式和长方体的性质，列出方程，求得，可判定C正确；连接交于点，得到是平面与所成角的平面角，在直角中，求得，可判定D错误.解答过程：对于A，如图（1）所示，在正方体中，可得，因为平面，且平面，所以平面，同理可证：平面，又因为，且平面，所以平面平面，又因为点为线段上的动点，可得与平面相交，所以与平面相交，所以A不正确；对于B，如图（2）所示，在正方体中，可得平面，因为平面，可得，又由正方形，可得，因为，且平面，所以平面，又因为平面，所以，同理可证：，因为，且平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面，所以B正确；对于C，如图（3）所示，三棱锥的外接球，即为三棱锥补成的以底面为底，以为高的长方体的外接球，设该外接球的半径为，且，可得补成的长方体的对角线长为，即，因为三棱锥的所有顶点均在体积为的球面上，可得，解得，所以，解得，即，所以C正确；对于D，如图（4）所示，连接交于点，则，在正方体中，平面，因为平面，所以，又因为，且平面，所以平面，因为平面，可得，所以是平面与平面所成角的平面角，在直角中，因为是的中点，可得，且，所以，即平面与平面所成角的正切值为，所以D错误.11.在中，已知，若为的外心，则下列说法正确的是（）A.B.为定值C.若，且，则D.的最小值为答案：ABD解析：思路：先推导两个等式，，对AB选项直接用向量的运算化简可得；对C选项，由所给向量关系进行两边分别点乘，再结合两个等式及条件可得二元一次方程，解方程可得；对D直接由正弦定理得，再由三角形中正弦函数的性质可得.解答过程：如图：是的中点，所以.，同理.因为，所以.对A选项，，A正确；对B选项，（定值），故B正确；对C选项，已知，两边分别点乘，，，，即①.同理对，两边分别点乘，，所以，即②.联立①②，解得，则，C错误；对选项D，设，由正弦定理，即，，因为三角形中，所以当，即时取得最小值，D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若向量，则在上的投影向量为___________（用坐标表示）．答案：解析：解答过程：由.13.已知复数（，为虚数单位），若，则___________．答案：##0.5解析：解答过程：复数，则，由，得，所以.14.如图，正方体的棱长为2，，是线段上的动点，过点作平面的垂线，交平面于点，则的最小值为___________．答案：解析：思路：首先利用面面垂直的性质定理，确定点，再根据，将的最小值转化为求的最小值.解答过程：由正方体的性质可知，，，，平面，所以平面，平面，所以，同理，，所以平面，又平面，所以平面平面，且平面平面，，平面，所以，因为平面，平面，所以，，当点为和的交点时，，此时最小，最小值为，所以的最小值为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知．（1）求的夹角；（2）若向量与垂直，求实数的值．答案：（1）（2）解析：思路：（1）应用向量数量积的运算律及已知得，再由向量夹角公式求夹角；（2）由垂直关系及数量积的运算律，结合已知和（1）列方程求参数值.（1）由，则，所以，因此，设a→,b→的夹角为且，所以，得；（2）由，得，由已知及（1），，可得.16.如图，在四棱锥中，底面为正方形，且，（1）证明：平面平面；（2）若，求点到平面的距离．答案：（1）因为为正方形，所以，又，且平面，，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）解析：思路：（1）通过线面垂直证明面面垂直.（2）通过等体积转化求点到平面的距离.（1）略（2）如下图，设，连接，设点到平面的距离为，由题意可知，所以，所以，所以，，由（1）可知平面，因为平面，所以，在中，，所以，所以，所以是正三角形，所以，由等体积得，即，，解得，所以点到平面的距离为.17.闽超足球联赛正开展得如火如荼，为福建足球事业的发展注入了蓬勃的新活力．啦啦队是为足球比赛加油助威的重要力量，为了评估啦啦队在赛场上的助威效果，随机抽取名啦啦队志愿者，测量他们在比赛中的呐喊声压级（单位：分贝），画出如图所示的频率分布直方图．（1）求图中的值，并估计这名志愿者呐喊声压级的平均数（同一组数据用该区间的中点值做代表）；（2）假设这名志愿者呐喊声压级分别为，平均数为，证明：．参考公式：答案：（1），平均数为（2）证明：，因为，所以，所以，所以，所以．解析：思路：（1）利用频率分布直方图中所有小矩形面积之和为

1

求出，再利用各组中点值乘以对应频率求和得到平均数；（2）利用作差法，计算，化简后证明其非负即可．（1）由频率分布直方图可知，组距为

10，则，解得，这

名志愿者呐喊声压级的平均数为：

，故的值为，平均数为．（2）略．18.记的内角所对的边分别为，已知．（1）求；（2）若，（i）求周长的最大值；（ii）当为锐角三角形时，设与的平分线交于点，求面积的取值范围．答案：（1）（2）（i）；（ii）解析：思路：（1）利用余弦定理进行边角互化即可得到，再用余弦定理求解即可；（2）（i）应用余弦定理、基本不等式得，进而有，结合三角形三边关系求范围；（ii）应用正弦定理、三角形面积公式及三角恒等变换得由，利用三角函数即可求面积的取值范围.（1）已知，由余弦定理.​,代入已知等式得：，即，再由余弦定理又，所以.（2）（i）由(1)知​，由余弦定理,得到由代入上式得到设三角形周长，由基本不等式，令则因，故，当且仅当时取等号，此时周长