福建省莆田市2025~2026学年高二下册期末质量调研数学试卷【附解析】

数学本试卷共4页，19小题，满分150分．考试时间120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若随机变量服从二项分布，则（）A. B. C. D.2.若函数，则（）A.0 B.1 C.2 D.e3.若随机事件满足，，则（）A. B. C. D.4.在四面体中，是的中点，则（）A. B.C. D.5.根据成对分类变量与的样本观测数据，计算得到，依据的独立性检验，可认为（）附：A.变量与相互独立，该推断犯错误的概率不超过B.变量与相互独立，该推断犯错误的概率不超过C.变量与不相互独立，该推断犯错误的概率不超过D.变量与不相互独立，该推断犯错误的概率不超过6.若向量，，共面，则（）A. B. C. D.7.若函数在区间内存在单调递减区间，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.8.已知随机变量服从正态分布，随机变量服从正态分布，且满足，，则（）（附：若，则，，）A.0.1359 B.0.1573 C.0.2718 D.0.34135二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知线性相关的两个变量，的10对样本观测数据满足，用最小二乘法得到关于的回归直线方程为；若剔除一个数据后，剩下数据的样本中心为，其回归直线方程为，则（）A. B.C. D.10.已知正方体的棱长为1，若，则（）A.若，则B.若平面，则点轨迹的面积为C.若，则的最小值为D.若，则点的轨迹与正方体表面交线的长度为11.已知定义在上的函数的导函数为，若，且，则（）A.B.C.在处取得极大值D.若方程有两个实数根，则实数的取值范围是三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.曲线在点处的切线方程为________．13.在直三棱柱中，，，为的中点，则直线与所成角的余弦值为________．14.有4个尺寸不同的蛋糕，事先尺寸未知．现随机排列逐个呈现，按如下策略进行选择：拒绝第一个蛋糕，之后选择首个比第一个大的；若第一个本身就是最大的，则选择最后一个．按此策略选到最大尺寸蛋糕的概率为________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数在处有极值.（1）求函数的单调区间（2）求函数在区间上的最大值和最小值.16.如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，底面，，为的中点．（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．17.已知函数．（1）证明：；（2）若恒成立，求实数的取值范围．18.如图，在梯形中，，，，，，，分别为边，上的动点，且．沿将梯形翻折，使平面平面，且．（1）求的长；（2）求平面与平面所成角的余弦值；（3）若四面体的四个顶点都在球上，求三角形的面积．19.某通信系统包含个信号节点，，，…，，它们通过条光纤依次连接，光纤支持双向信号传输．每条光纤因故障信号传输中断的概率为，各光纤故障与否相互独立．两端节点，作为信号源分别发送信号，其余中间节点仅可经光纤通路接收信号．（1）若每个节点正常工作的概率为，且每个节点是否正常工作相互独立．设为个信号节点正常工作的节点数．（i）求，；（ii）证明：对任意自然数，都有．（2）已知每个节点均正常工作．（i）求所有节点都有信号的概率（结果用表示）；（ii）当时，若对任意，均可从，，，…，中适当选取个节点作为新增信号源，使得所有节点都有信号的概率大于（其中是自然对数的底数），求正整数的最小值．

数学本试卷共4页，19小题，满分150分．考试时间120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若随机变量服从二项分布，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据二项分布的性质直接求解.解答过程：由，则.2.若函数，则（）A.0 B.1 C.2 D.e答案：C解析：解答过程：，求导可得，当时，.3.若随机事件满足，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：．4.在四面体中，是的中点，则（）A. B.C. D.答案：D解析：解答过程：，是的中点，故，故．5.根据成对分类变量与的样本观测数据，计算得到，依据的独立性检验，可认为（）附：A.变量与相互独立，该推断犯错误的概率不超过B.变量与相互独立，该推断犯错误的概率不超过C.变量与不相互独立，该推断犯错误的概率不超过D.变量与不相互独立，该推断犯错误的概率不超过答案：C解析：思路：根据独立性检验规则直接判断即可.解答过程：由题知，零假设：变量与相互独立，查表得临界值，由，则原假设不成立，即变量与不相互独立，且该推断犯错误的概率不超过.6.若向量，，共面，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：利用空间三个向量共面的充要条件，将共面关系转化为线性表示关系，列方程组求解参数．解答过程：空间中三个向量共面的充要条件为：若与不共线，则存在实数对，使得，所以，所以，即，，．7.若函数在区间内存在单调递减区间，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：将函数存在单调递减区间转化为不等式在有解问题，结合不等式的性质可得.解答过程：函数的定义域为，求导得：

.若在内存在单调递减区间，则存在，使得.由于，故等价于，整理得.当时，，因此，即.要存在满足，只需小于在区间内的最大值即可，因为当，当，所以.故实数的取值范围是.8.已知随机变量服从正态分布，随机变量服从正态分布，且满足，，则（）（附：若，则，，）A.0.1359 B.0.1573 C.0.2718 D.0.34135答案：A解析：思路：利用正态分布的对称性求解得参数值，将所求概率转化为标准正态分布下的概率进行求解.解答过程：已知，令，则，即与服从同一分布，因为，即，所以，即，因为，即，所以，解得，因此，故选项A正确.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知线性相关的两个变量，的10对样本观测数据满足，用最小二乘法得到关于的回归直线方程为；若剔除一个数据后，剩下数据的样本中心为，其回归直线方程为，则（）A. B.C. D.答案：AC解析：思路：本题考查线性回归方程的核心性质：回归直线恒过样本中心点，先计算剔除数据后的样本均值，再代入新回归方程求解截距即可判断各选项。解答过程：选项A：已知10个的和为，剔除数据的横坐标为9，剩余9个的和为，因此，A正确.选项B：原10个数据的样本横坐标均值，回归直线过样本中心，代入原回归方程得原纵坐标均值，故10个的和为，剔除数据的纵坐标为10，剩余9个的和为，因此，B错误.选项C：新回归直线过新样本中心，代入得，解得，C正确.选项D：由选项C的计算可知，D错误.10.已知正方体的棱长为1，若，则（）A.若，则B.若平面，则点轨迹的面积为C.若，则的最小值为D.若，则点的轨迹与正方体表面交线的长度为答案：ABD解析：思路：建立空间直角坐标系，对于A，分别写出的坐标表示可得，即可得到；对于B，先证明平面平面，进而可得点在等边内运动，即可求出点轨迹的面积；对于C，根据柯西不等式或不等式配方可得的最小值；对于D，先得出点在以为球心，半径的球面上，再分别考虑与正方体每个表面的交线长度即可.解答过程：如图，以为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系，则，由于，故.对于A，若，则，又，故，故，因此，故A正确；对于B，因为，平面，平面，故平面，又，平面，平面，故平面，而平面，，故平面平面，由于平面，所以平面，又，故点在内运动，轨迹面积即为的面积，易得为边长为的等边三角形，，因此点的轨迹面积为，故B正确；对于C，由于，故，这是因为，当且仅当时取等号，因此的最小值为，故C错误；对于D，，故点在以为球心，半径的球面上，考虑平面，取，则，故该球与正方形仅交于点，同理，与正方形仅交于点，与正方形仅交于点，考虑平面，取，则，故该球与正方形的交线为以点为圆心，半径为1的圆弧，长度为，同理，与正方形、正方形的交线长度均为，因此点的轨迹与正方体表面交线的长度为，故D正确.11.已知定义在上的函数的导函数为，若，且，则（）A.B.C.在处取得极大值D.若方程有两个实数根，则实数的取值范围是答案：ABC解析：思路：构造，求导，考察，求导验证，结合，得到，利用导数判断单调性，极值及函数取值范围，逐个选项进行判断即可.解答过程：因为，所以，令，则，考察函数，求导验证，所以（C为常数），结合解得，故，，符合题意，对于A，当时，，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，即，所以，A正确；对于B，，，当时，，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，B正确；对于C，由B选项可知在处取得极大值，C正确；对于D，，当时，，当时，，所以若方程有两个实数根，则实数的取值范围是，D错误.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.曲线在点处的切线方程为________．答案：解析：思路：由导数的几何意义求出曲线在点处的切线方程的斜率，再由点斜式方程求解即可.解答过程：设，因，所以曲线在点处的切线方程的斜率为，所以曲线在点处的切线方程为：，化简可得：.故答案为：13.在直三棱柱中，，，为的中点，则直线与所成角的余弦值为________．答案：解析：思路：以为原点建立空间直角坐标系，求出两条直线的方向向量，利用向量夹角公式计算异面直线所成角的余弦值可得.解答过程：由于直三棱柱中，且侧棱底面，故以为坐标原点，分别以、、的方向为、、轴正方向建立空间直角坐标系.设，可得，，，，.因为为的中点，因此的坐标为.则直线的方向向量，直线的方向向量.设异面直线与所成角为，，，，；所以.因此直线与所成角的余弦值为.14.有4个尺寸不同的蛋糕，事先尺寸未知．现随机排列逐个呈现，按如下策略进行选择：拒绝第一个蛋糕，之后选择首个比第一个大的；若第一个本身就是最大的，则选择最后一个．按此策略选到最大尺寸蛋糕的概率为________．答案：解析：思路：先计算总样本数，再按关键元素分类，逐一分析最大蛋糕位置计算成功选中最大蛋糕的排列数，进而得到最终概率．解答过程：4个尺寸不同的蛋糕随机排列，总排列数为；将蛋糕从小到大升序标记为，若最大蛋糕在第1位，拒绝第一个后，后续都比第一个小，故选不到最大，成功数为0；最大蛋糕在第2位，第二个是首个比第一个大的蛋糕，直接选中，必然成功，排列数为其余3个全排列，共；最大蛋糕排在第3位：需满足第2位比第1位小，才不会在第2位误选，等到第3位选中最大蛋糕，前2位从剩余3个中选2个排列，降序排列共3种，对应3种成功排列；最大蛋糕排在第4位：需满足第2、3位都比第1位小，即第1位是前3个里最大的，才会最后选中最大蛋糕，前3位中第1位固定为第二大，剩余两位全排列，共2种，综上，成功排列数为：，概率为．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数在处有极值.（1）求函数的单调区间（2）求函数在区间上的最大值和最小值.答案：（1）单调增区间：；单调减区间：（2）最大值为，最小值为解析：思路：（1）先对函数求导，根据极值点求出参数的值，最后根据导数的正负来确定函数的单调区间.（2）根据（1）中得到的函数单调性，找出函数在区间上的极值点和端点值，然后比较这些值的大小，从而得到最大值和最小值.（1）因为，所以，因为在处有极值，所以，即，解得，故，，令，则或，当时，，所以在上单调递减，当或时，，所以在和上单调递增，所以单调增区间：，单调减区间：，（2）由（1）知，在区间上，在上单调递减，在上单调递增，所以在处取极小值，即，，，所以最大值为，最小值为.16.如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，底面，，为的中点．（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．答案：（1）连接，交于点，连接.正方形中，、交于点，则为中点.又为的中点，所以.又平面，平面，所以平面.（2）解析：思路：（1）根据线面平行的判定定理证明即可（2）根据线面角的定义，结合等体积法求解即可.（1）略（2）因为底面，底面，所以，，..在中，，，则，同理可得，.在中，，所以，则.设直线与平面所成角为，点到平面的距离为，则，所以，解得.所以.故直线与平面所成角的正弦值为.17.已知函数．（1）证明：；（2）若恒成立，求实数的取值范围．答案：（1）因为函数的定义域为，又，设，则，所以在上单调递增，又，所以当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时，取得最小值，所以．（2）解析：思路：（1）利用导数分析的最值，可得出，即可证得结论成立；（2）分离参数得到，再利用导数分析的最值即可求得的取值范围．（1）略（2）因为对恒成立，所以对恒成立．令．解法一：，令，则在上单调递增，又，，所以，使得，即，所以当时，，即；当时，，即，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，所以的取值范围为．解法二：，设，则，所以在上单调递增，又，所以，使得，即，即，所以，所以当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，所以的取值范围为．解法三：因为，令，则，所以．由得；由得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，所以的取值范围为．18.如图，在梯形中，，，，，，，分别为边，上的动点，且．沿将梯形翻折，使平面平面，且．（1）求的长；（2）求平面与平面所成角的余弦值；（3）若四面体的四个顶点都在球上，求三角形的面积．答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）作于点,连接,证明平面，得到，再使用等面积法，计算出，最后求出的长；（2）以为原点，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，再计算出平面与平面所成角的余弦值；（3）若四面体的四个顶点都在球上，由于为直角三角形，故球心在经过斜边中点与平面垂直的直线上，设球心,利用求出球心的坐标，再求出点到直线的距离，最后求得三角形的面积.（1）作于点,连接，因为平面平面，平面平面，平面,所以，平面，平面，所以，，又，，平面,所以，平面，平面，所以，，由，得即,翻折前在梯形中，由得，沿将梯形翻折后，,在平面四边形中，，那么,又所以四边形是平行四边形，所以，,设，则，，即，解得,所以，.（2）在原直角梯形中，作于点，那么四边形为矩形，,,所以为等腰直角三角形，，由于,所以，，所以，沿将梯形翻折后，为等腰直角三角形,,以为原点，分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，那么,,,设平面法向量为，平面法向量为，那么，取，则为平面一个法向量，,取，则为平面一个法向量，,所以，平面与平面所成角的余弦值为.（3）若四面体的四个顶点都在球上，由于为直角三角形，故球心在经过斜边中点与平面垂直的直线上，设球心，则由可得，解得，所以，，点到直线的距离为,所以，.19.某通信系统包含个信号节点，，，…，，它们通过条光纤依次连接，光纤支持双向信号传输．每条光纤因故障信号传输中断的概率为，各光纤故障与否相互独立．两端节点，作为信号源分别发送信号，其余中间节点仅可经光纤通路接收信号．（1）若每个节点正常工作的概率为，且每个节点是否正常工作相互独立．设为个信号节点正常工作的节点数．（i）求，；（ii）证明：对任意自然数，都有．（2）已知每个节点均正常工作．（i）求所有节点都有信号的概率（结果用表示）；（ii）当时，若对任意，均可从，，，…，中适当选取个节点作为新增信号源，使得所有节点都有信号的概率大于（其中是自然对数的底数），求正整数的最小值．答案：（1）（i），；（ii）当时，显然成立；当时，设为个信号节点正常工作的节点数，那么，，,当时，即，整理，得；当时，，即，整理，得；综上所述，.（2）（i）;（ii）解析：思路：（1）设为个信号节点正常工作的节点数，那么，（i）利用二项分布的概率计算公式即可求解；（ii）利用二项分布的概率之和为1分类讨论即可证明；（2）