福建省厦门市2025~2026学年高一下册期末阶段性练习数学试卷【附解析】

数学满分为150分．考试用时120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设复数满足，则的虚部为（）．A. B. C. D.2.某小区随机调查了10位业主2月份每户的天然气使用量，数据如下（单位：）：18，19，20，20，21，21，22，23，23，24．估计该小区业主月均用气量的样本数据的上四分位数为（）A.21 B.22 C.22.5 D.233.如图，为水平放置的用斜二测画法画出的直观图，其中，为的中点，为轴上一点，且平行于轴，平行于轴，，则为（）A.直角三角形 B.钝角三角形 C.等边三角形 D.等腰非等边三角形4.某班级有30名男生和20名女生，现调查学生周末在家学习时长（单位：小时），得到男生样本数据的平均值为8，方差为2，女生样本数据的平均值为10.5，方差为0.75，则该班级全体学生周末在家学习时长的平均值和方差的值分别是（）A. B.C. D.5.若平面平面，，，，，，则直线与不可能（）A.相交 B.垂直 C.平行 D.异面6.在中，，，为角，，对应的边，则“”是“为直角三角形”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件7.已知，是平面内三个不同的单位向量.若，则的取值范围为（）A. B. C. D.8.如图，已知正方体的棱长为2．平面，平面和平面将该正方体分割成若干个多面体，则其中顶点所在的多面体的表面积为（）A. B.C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知，，，则（）A. B.C. D.10.已知在中，，点为线段的中点，则下列结论正确的有（）A.B.C.向量在向量上的投影向量为D.若，且三点共线，则11.在正四棱台中，，O为和的交点，平面内的点P到平面与平面的距离之积为，则（）A.该棱台的侧面积为 B.直线与所成的角为C.该棱台的外接球的体积为 D.的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若复数，则________．13.在如图所示的方格表中选3个方格，要求每行和每列均恰有1个方格被选中，在所有符合上述要求的选法中，所选方格中的3个数不全是奇数的概率为_______．14.在锐角中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的最小值为_______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.某单位组织了“苏超”志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第二、三、四组的频率之和为0.8．（1）求a，b的值；（2）估计这100名候选者面试成绩的众数和平均数（同一组数据用该组区间的中点值作代表）；（3）在第四、五两组志愿者中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中抽出2人，以确定组长人选，求抽出的2人来自不同组的概率．16.如图，在四棱锥中，，．（1）在棱上是否存在点E，使得平面？说明理由；（2）若平面平面，，，求点A到平面的距离．17.已知分别是内角的对边，.（1）若，求的面积；（2）若，求的正切值.18.某足球俱乐部举办新一届足球赛，按比赛规则，进入淘汰赛的两支球队如果在120分钟内未分出胜负，则需进行点球大战.点球大战规则如下：第一阶段，双方各派5名球员轮流罚球，双方各罚一球为一轮，球员每罚进一球则为本方获得1分，未罚进不得分，当分差拉大到即使落后一方剩下的球员全部罚进也不能追上的时候，比赛即宣告结束，剩下的球员无需出场罚球.若5名球员全部罚球后双方得分一样，则进入第二阶段，双方每轮各派一名球员罚球，直到出现某一轮一方罚进而另一方未罚进的局面，则罚进的一方获胜.设甲、乙两支球队进入点球大战，由甲队球员先罚球，甲队每位球员罚进点球的概率均为，乙队每位球员罚进点球的概率均为.假设每轮罚球中，两队进球与否互不影响，各轮结果也互不影响.（1）求每一轮罚球中，甲、乙两队打成平局的概率；（2）求经过3轮罚球后，比赛结束的概率；（3）若在点球大战的第一阶段，甲队前两名球员均得分而乙队前两名球员均未得分，甲队暂时以领先，求甲队第5个球员需出场罚球的概率.19.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，底面，，，，，M，N分别是棱上的点（含端点）．（1）证明：；（2）若N为棱的中点，且二面角的正切值为，求；（3）设点Q是边上的点（含端点），（i）连接，求与面所成角θ的正弦值的取值范围，并写出在θ角最大时Q点的位置；（ii）求的最小值．

数学满分为150分．考试用时120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设复数满足，则的虚部为（）．A. B. C. D.答案：B解析：思路：利用复数的除法化简复数，由此可得出复数的虚部.解答过程：，，因此，复数的虚部为.故选：B.2.某小区随机调查了10位业主2月份每户的天然气使用量，数据如下（单位：）：18，19，20，20，21，21，22，23，23，24．估计该小区业主月均用气量的样本数据的上四分位数为（）A.21 B.22 C.22.5 D.23答案：D解析：解答过程：上四分位数即75%分位数，题干的10个数据已经从小到大排列好，，则75%分位数取从小到大的第8个数，即23.3.如图，为水平放置的用斜二测画法画出的直观图，其中，为的中点，为轴上一点，且平行于轴，平行于轴，，则为（）A.直角三角形 B.钝角三角形 C.等边三角形 D.等腰非等边三角形答案：D解析：解答过程：由题意得，故；而是中点，得，，得，而平行于轴，平行于轴，根据斜二测画法还原图形，平行于轴，所以轴，且是中点，所以是等腰三角形，因为，，，，所以，故是等腰非等边三角形.4.某班级有30名男生和20名女生，现调查学生周末在家学习时长（单位：小时），得到男生样本数据的平均值为8，方差为2，女生样本数据的平均值为10.5，方差为0.75，则该班级全体学生周末在家学习时长的平均值和方差的值分别是（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：根据分层随机抽样的平均数和方差公式即可算出答案.解答过程：，故选：D5.若平面平面，，，，，，则直线与不可能（）A.相交 B.垂直 C.平行 D.异面答案：C解析：思路：利用平面基本性质推导两直线平行时会与已知条件矛盾，进而判断不可能的位置关系.解答过程：选项A：若直线与交线交于点，此时与相交，故相交是可能的，A不符合要求；选项B：如图直线，则，B不符合要求；选项C：假设，根据平行直线共面的性质，与确定唯一平面，由于，，平面内过点有且仅有一条直线与平行，因此，可得，又，故，与题设矛盾，因此与不可能平行，C符合要求；选项D：令，且直线与相交，此时与既不平行也不相交，为异面直线，故异面是可能的，D不符合要求.6.在中，，，为角，，对应的边，则“”是“为直角三角形”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：A解析：思路：由正弦定理及两角和与差的正弦公式即可证明充分性，举例子当时，结论不一定成立，否定必要性.解答过程：因为，由正弦定理得，且，所以，化简得又，所以，又，即；充分性得证.若为直角三角形，则当时，结论不一定成立，必要性不成立.故选：A.7.已知，是平面内三个不同的单位向量.若，则的取值范围为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：由得到这三个函数值的取值集合为或，分和，两个类型讨论，利用正弦函数的图像和性质求解即可得解.解答过程：由，可知，这三个函数值的取值集合为或，①若这三个函数值的取值集合为，则.又因为为平面内的单位向量，所以向量两两垂直，显然不成立.②这三个函数值的取值集合为，不妨设，则，设，，所以，则，所以，又，所以，则，所以的取值范围为.8.如图，已知正方体的棱长为2．平面，平面和平面将该正方体分割成若干个多面体，则其中顶点所在的多面体的表面积为（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：找到分割后顶点所在的多面体，分析该多面体表面构成，即可求得其表面积.解答过程：连接，三条体对角线交于一点，记为点.则分割后顶点所在的多面体为六面体，其表面分别是.根据正方体的性质，知，所以.中，边上的高为，所以的面积为；的面积为.所以顶点所在的多面体的表面积为.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知，，，则（）A. B.C. D.答案：AC解析：思路：根据对立事件的概率可判断A；由即可判断B；根据题意可得，故相互独立，则、也独立，再由独立事件的乘法公式判断CD．解答过程：，，，故A正确；，故B错误；，相互独立，则、也独立，，故C正确；，故D错误．10.已知在中，，点为线段的中点，则下列结论正确的有（）A.B.C.向量在向量上的投影向量为D.若，且三点共线，则答案：BCD解析：思路：首先根据已知条件判断的形状，进而可判断A；通过平面向量基本定理可判断B；通过向量在向量上的投影向量公式即可判断C；通过三点共线的向量表示可判断D.解答过程：因为，所以，所以，所以为直角三角形，因为，所以是上靠近点C的三等分点，如图：对于A，，由勾股定理知，故A错误；对于B，由题意知，所以，故B正确；对于C，由B知，所以，所以向量在向量上的投影向量为，故C正确；对于D，因为，所以，由B知，所以，又三点共线，所以，所以，故D正确.11.在正四棱台中，，O为和的交点，平面内的点P到平面与平面的距离之积为，则（）A.该棱台的侧面积为 B.直线与所成的角为C.该棱台的外接球的体积为 D.的最小值为答案：ABD解析：思路：求出斜高为再利用侧面积公式直接验证A项，利用异面直线夹角的求法直接求解B项；设上底面中心为，则，外接球球心必在中轴线​所在直线上，设外接球球心为，则，判断出球心在点下方列方程得到半径，利用球的体积公式即可验证C项；先验证点P到平面与平面的距离，分别为点到与的距离,设点到的距离为，设点P到的距离为，则，再利用基本不等式求解即可验证D项.解答过程：对于A项，记侧面斜高为，则，则该棱台的侧面积为，故A正确；对于B项，因为,所以为直线与所成的角，在中，则，故直线与所成的角为，故B正确；对于C项，设上底面中心为，则,外接球球心必在中轴线​所在直线上，设外接球球心为，半径为，令，则，若球心在和之间（棱台内部），则则，解得，故球心不可能在棱台内部，若球心在点下方，则，则，解得，满足条件，则，得到，所以该棱台的外接球的体积为，故C错误；对于D项，因为在正四棱台中,为中点，所以,,又因为平面，，所以平面，又因为平面，所以平面平面；同理可得平面平面；所以平面内的点P到平面与平面的距离，分别为点到与的距离,设点到的距离为，设点P到的距离为，则过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为,则四边形为矩形，则，所以，当且仅当时等号成立，所以的最小值为，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若复数，则________．答案：解析：思路：先根据复数三角形式乘法法则化简复数，再计算其共轭复数的模解答过程：.13.在如图所示的方格表中选3个方格，要求每行和每列均恰有1个方格被选中，在所有符合上述要求的选法中，所选方格中的3个数不全是奇数的概率为_______．答案：解析：思路：根据题意，利用列举法求得基本事件的总数和所求事件中所包含的基本事件的个数，结合古典概型的概率计算公式和对立事件的概率计算公式，即可求解.解答过程：因为每行和每列均恰有1个方格被选中，用表示第一、二、三行里所选方格的数字，则每种选法可标记为，则每种选法可能的结果为，共有6种取法，其中所选方格中的3个数均为奇数的情况有，有2种选法，所以所选方格中的3个数均为奇数的概率为，则所选方格中的3个数不全是奇数的概率为.14.在锐角中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的最小值为_______．答案：12解析：思路：先由，借助正弦定理得，通过三角恒等变换，得到.再利用三角函数的关系式得到，通过换元，利用基本不等式求最小值.解答过程：因为为锐角三角形，，由，根据正弦定理，得，即，两边同除以，得.由,因为，所以，所以，即，令，则则，当且仅当，得，即时，等号成立.所以的最小值为12.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.某单位组织了“苏超”志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第二、三、四组的频率之和为0.8．（1）求a，b的值；（2）估计这100名候选者面试成绩的众数和平均数（同一组数据用该组区间的中点值作代表）；（3）在第四、五两组志愿者中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中抽出2人，以确定组长人选，求抽出的2人来自不同组的概率．答案：（1），（2）众数为，平均数为（3）解析：思路：（1）由第二、三､四组的频率之和为0.8，所有组频率之和为1，列方程求的值；（2）由频率分布直方图中众数､平均数的定义公式计算；（3）根据分层抽样确定的人数，解决古典概型概率问题.（1）因为第二、三､四组的频率之和为0.8，所以，解得，所以第一和第五组的频率之和为，即，所以.（2）频率分布直方图中，最高矩形的中值点为，即众数为，平均数为.（3）第四､第五两组志愿者分别有人，人，采用分层抽样的方法从中抽取5人，则第四组抽3人，记为，第五组抽2人，记为，则从这5人中选出2人，有共10种结果，两人来自不同组有共6种结果，所以两人来自不同组的概率为.16.如图，在四棱锥中，，．（1）在棱上是否存在点E，使得平面？说明理由；（2）若平面平面，，，求点A到平面的距离．答案：（1）存在；理由见解析；（2）．解析：思路：（1）取，的中点E，F，连接，，，易证四边形为平行四边形，再由线面平行的判定证平面.（2）由等体积法有，取的中点O，连接，，易得面，求出、、，进而可求A到平面的距离．解答过程：（1）存在的中点E，使得平面，证明如下：分别取，的中点E，F，连接，，，则，∵，∴，∵，，∴，故四边形为平行四边形，即，又∵平面，平面，∴平面．（2）取的中点O，连接，，∴，则，∵面面，面面，平面，∴面，设点A到平面的距离为d，则，∴，又面，∴，，，可得，易知，∴，，，∴，，∴，可得，即点A到平面的距离为．17.已知分别是内角的对边，.（1）若，求的面积；（2）若，求的正切值.答案：（1）；（2）.解析：思路：（1）由及余弦定理求出，再由正弦定理求出，由内角和求出，由面积公式求解；（2）在中，有，在中，有，两式相比化简求值.（1）因为，所以.因为，所以，因为，所以.所以，又，所以，所以，，所以.（2）因为，所以为中点.由题设及余弦定理可得，因为，所以..设，在中，有①，在中，有②，①②相除，得：，所以，所以，即，所以的正切值为.18.某足球俱乐部举办新一届足球赛，按比赛规则，进入淘汰赛的两支球队如果在120分钟内未分出胜负，则需进行点球大战.点球大战规则如下：第一阶段，双方各派5名球员轮流罚球，双方各罚一球为一轮，球员每罚进一球则为本方获得1分，未罚进不得分，当分差拉大到即使落后一方剩下的球员全部罚进也不能追上的时候，比赛即宣告结束，剩下的球员无需出场罚球.若5名球员全部罚球后双方得分一样，则进入第二阶段，双方每轮各派一名球员罚球，直到出现某一轮一方罚进而另一方未罚进的局面，则罚进的一方获胜.设甲、乙两支球队进入点球大战，由甲队球员先罚球，甲队每位球员罚进点球的概率均为，乙队每位球员罚进点球的概率均为.假设每轮罚球中，两队进球与否互不影响，各轮结果也互不影响.（1）求每一轮罚球中，甲、乙两队打成平局的概率；（2）求经过3轮罚球后，比赛结束的概率；（3）若在点球大战的第一阶段，甲队前两名球员均得分而乙队前两名球员均未得分，甲队暂时以领先，求甲队第5个球员需出场罚球的概率.答案：（1）甲、乙两队打成平局的概率为（2）求经过3轮罚球后，比赛结束的概率为（3）甲队第5个球员需出场罚球的概率为解析：思路：（1）平局包含两人都罚进或两人都罚不进两个互斥事件，利用独立事件乘法分别计算两种情况的概率，再相加即可.（2）3轮后两队各剩2次罚球机会，落后方最多追回2分，因此分差≥3时比赛提前终止.3轮内分差≥3，仅有两种极端比分：甲3:0乙、乙3:0甲（前两轮分差均未达终止条件，天然成立）.分别计算两种比分的概率，求和即得总概率.（3）分析甲队第5个球员需出场的前提条件：前两轮甲队2:0领先，若甲队第5个球员需出场，说明第三、四轮罚球结束后比赛未提前终止，即前四轮总比分甲队与乙队的分差不超过1分，分别计算三种比分情况2:1、2:2、3:2的概率，再计算概率之和即可.（1）设甲队球员罚进点球为事件，未罚进为事件，乙队球员罚进点球为事件，未罚进为事件.因为，所以；同理，因为，所以.则甲、乙均罚进的概率为，甲、乙均未罚进的概率为，所以甲、乙两队打成平局的概率为.（2）设踢完轮后，甲队总得分为，乙队总得分为.分类讨论：踢完3轮分差大于或等于3，且前1、2轮未提前结束，①当3轮后甲队比乙队多3分，甲队3轮全进，乙队3轮全不进，即，则概率为：​②当3轮后乙队比甲队多3分，乙队3轮全进，甲队3轮全不进，即，则概率为：综上，求经过3轮罚球后，比赛结束的概率为.（3）因为甲队第5个球员需出场罚球，则前四轮罚球甲、乙两队分差不能超过1分，即四轮罚球结束时比分可能为或或，则需要分以下情况来讨论：①比分为的概率为：.②比分