福建省厦门市集美中学2025~2026学年高三上册9月开学质量检测数学试卷【附解析】

数学（考试时间：120分钟；满分：150分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若，则在复平面内z对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知集合，则（）A. B. C. D.3.设α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则能确定的一组条件是（）A. B.C. D.4.已知双曲线（，）的顶点到渐近线的距离为实轴长的，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.5.设随机变量，且，则（）A.0.05 B.0.3 C.0.4 D.0.456.若，则（）A. B. C. D.7.已知抛物线，过抛物线焦点F的直线与抛物线C交于A､B两点，交抛物线的准线于点P，若F为PB.中点，且，则|AB|=（）A. B. C. D.8.已知函数（且为常数），的图象与的图象关于对称，且为奇函数，则不等式的解集为（）A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知向量，，则（）A. B.C.向量在向量上的投影向量是 D.是向量的单位向量10.某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中记录的产量(吨)与相应的生产能耗(吨)的几组对应数据如表，现发现表中有个数据看不清，已知回归直线方程为，下列说法正确的是（）2345619253844A.看不清的数据的值为34B.具有正相关关系，相关系数C.第三个样本点对应的残差D.据此模型预测产量为7吨时，相应的生产能耗约为50吨11.定义在区间上的函数满足，，且对任意的，都有，则（）A.B.C.不等式在区间上恒成立D.若，都有，则的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.将一个圆锥的侧面展开后，得到一个半圆，则该圆锥轴截面的顶角等于___________.13.已知函数，是函数的一个零点，是函数的一条对称轴，若在区间上单调，则的最大值为____________．14.从八个连续整数中任取三个数，若取出的三个数中任意两个数之差不为1，则这样的取法总数为______．四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.（1）求B；（2）已知D为边上的一点，且.若，，求的长；16.如图，三棱柱，底面ABC是边长为2的正三角形，，平面平面．（1）证明：平面ABC；（2）若BC与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值．17.设函数．（1）若在区间单调递减，求的取值范围；（2）若，证明：在有唯一零点，且．18.已知椭圆经过点，且右焦点为.（1）求椭圆的方程；（2）已知直线与椭圆交于两点，以为直径的圆过原点.（i）证明：；（ii）若过原点的直线与椭圆交于两点，且，求四边形面积的范围.19.已知无穷数列的前项和为,若对于任意的正整数,均有,则称数列具有性质.（1）判断首项为,公比为的无穷等比数列是否具有性质,并说明理由;（2）已知无穷数列具有性质,且任意相邻四项之和都相等,求证:;（3）已知,数列是等差数列,,若无穷数列具有性质,求的取值范围.

数学（考试时间：120分钟；满分：150分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若，则在复平面内z对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案：D解析：思路：求出，求出其在复平面内对应的点的坐标，求出在复平面内z对应的点位于的象限.解答过程：因为，所以，所以其在复平面内对应的点为，则其对应的点位于第四象限.故选：D.2.已知集合，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：先求出，根据交集概念求出答案.解答过程：，又，所以.故选：B3.设α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则能确定的一组条件是（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：根据空间中点、线、面的位置关系即可结合选项逐一求解.解答过程：对于A,若，则可能平行，也可能相交或者异面，故A错误，对于B,若，则，故B错误，对于C,,则可能平行，可能异面，也可能相交，故C错误，对于D,，又，故，故D正确，故选：D4.已知双曲线（，）的顶点到渐近线的距离为实轴长的，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据点到直线的距离公式列方程，结合离心率公式求解即可.解答过程：因为双曲线C的顶点到一条渐近线的距离为，所以，所以，所以，双曲线C的离心率.故选：C.5.设随机变量，且，则（）A.0.05 B.0.3 C.0.4 D.0.45答案：A解析：思路：由正态分布曲线的对称性求解.解答过程：由正态分布对称性可设，则，由题意得，解得，故．故选：A.6.若，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：由二倍角公式可得，再结合已知可求得，利用同角三角函数的基本关系即可求解.解答过程：，，，，解得，，.故选：A.方法提示：关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出.7.已知抛物线，过抛物线焦点F的直线与抛物线C交于A､B两点，交抛物线的准线于点P，若F为PB.中点，且，则|AB|=（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：分别过A，B作准线的垂线，垂足为M，N，由抛物线定义知，，又F为PB.中点，求得，从而根据求得，，，进而求得.解答过程：如图，分别过A，B作准线的垂线，垂足为M，N，由抛物线定义知，，又F为PB.中点，则，，则，，，则故选：D8.已知函数（且为常数），的图象与的图象关于对称，且为奇函数，则不等式的解集为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据的图象与的图象关于对称，可求出的表达式，再根据为奇函数求出，从而可知的单调性，即可解出不等式．解答过程：设是函数的图象上任意一点，其关于直线的对称点为在的图象上，所以，其定义域为，且为奇函数，所以，即，即，令，求导当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以当且仅当时，，所以，即，故，易知函数在上递减，所以，不等式的解集为．故选：C．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知向量，，则（）A. B.C.向量在向量上的投影向量是 D.是向量的单位向量答案：AD解析：思路：根据向量坐标的线性运算及数量积的坐标运算即可判断判断A；根据向量坐标的线性运算及向量的模的坐标运算即可判断判断B；根据投影向量的计算公式即可判断C；判断向量是否与向量共线，及模是否为1，即可判断D.解答过程：解：对于A，，则，所以，故A正确；对于B，，则，故B错误；对于C，向量在向量上的投影向量为，故C错误；对于D，因为向量的模等于1，，所以向量与向量共线，故是向量的单位向量，故D正确.故选：AD.10.某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中记录的产量(吨)与相应的生产能耗(吨)的几组对应数据如表，现发现表中有个数据看不清，已知回归直线方程为，下列说法正确的是（）2345619253844A.看不清的数据的值为34B.具有正相关关系，相关系数C.第三个样本点对应的残差D.据此模型预测产量为7吨时，相应的生产能耗约为50吨答案：ACD解析：思路：利用回归直线方程结合各选项的条件逐一分析计算即可判断作答.解答过程：对于A，，由回归直线方程得，则，A正确；对于B，由回归直线方程及数表知，具有正相关关系，而相关系数的绝对值不超过1，B不正确；对于C，第三个样本点对应的残差，C正确；对于D，在回归直线方程中，时，生产能耗约(吨)，D正确.故选：ACD11.定义在区间上的函数满足，，且对任意的，都有，则（）A.B.C.不等式在区间上恒成立D.若，都有，则的最小值为答案：AB解析：思路：由题可得时，，其他段函数不确定，据此可逐项判断.解答过程：，，又，，又，所以时，，对于A，，故A正确；对于B，，，故B正确；对于C，根据题意只能推导时，，，也符合题意，故C错误；对于D，时，，,，，,则的最小值为，故D错误；故选：AB.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.将一个圆锥的侧面展开后，得到一个半圆，则该圆锥轴截面的顶角等于___________.答案：解析：思路：和分别表示底面圆半径和母线长，由题意得到等量关系，得到，从而知道轴截面的顶角值.解答过程：设底面半径为，母线成为，则，即，∴该圆锥轴截面的顶角等于，故答案为：13.已知函数，是函数的一个零点，是函数的一条对称轴，若在区间上单调，则的最大值为____________．答案：6解析：思路：设函数的最小正周期为，根据题意分析得出，其中，可得出，利用函数的单调性可得出的取值范围，可得出的可能取值，然后对的值由大到小进行检验，可得结果.解答过程：设函数的最小正周期为，因为是函数的一个零点，是函数的一条对称轴，则，其中，所以，，，因为函数在区间上单调，则，所以，.所以，的可能取值有：、.当时，，，所以，，则，，，所以，，当时，，所以，函数在上单调，符合题意；的最大值为.故答案为：方法提示：关键点点睛：本题考查三角函数中的最值的求解，解题的关键在于利用函数的周期确定的表达式与取值范围，再进行检验即可.14.从八个连续整数中任取三个数，若取出的三个数中任意两个数之差不为1，则这样的取法总数为______．答案：20解析：思路：先求出八个连续整数任选3个数的情况数，再分别求出三个连续数和三个数中只有两个数连续的个数，相减可得答案.解答过程：八个连续整数不妨设为1,2,3,4,5,6,7,8,先任选3个数，有种取法，其中三个连续数有6种，分别为1,2,3；2,3,4；3,4,5；4,5,6；5,6,7；6,7,8；三个数中只有两个数连续，比如1,2，剩余第三个数需从4,5,6,7,8中任选1个，有5种，同理7,8，剩余第三个数需从1,2,3,4,5中任选1个，有5种，比如2,3，剩余第三个数需从5,6,7,8中任选1个，有4种，同理，3,4；4,5；5,6；6,7均有4种，所以此时共有种，综上，从八个连续整数中任取三个数，若取出的三个数中任意两个数之差不为1，共有种选法．故答案为：20．四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.（1）求B；（2）已知D为边上的一点，且.若，，求的长；答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据正弦定理边角化结合三角恒等变换即可求解，（2）根据余弦定理求解，即可由正弦定理求解，进而由锐角三角函数即可求解.（1），，根据正弦定理，得，即，，，，，，又，.（2），，，根据余弦定理得,，，，在中，由正弦定理知，，，，，，，.16.如图，三棱柱，底面ABC是边长为2的正三角形，，平面平面．（1）证明：平面ABC；（2）若BC与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值．答案：（1）如图，取的中点，的中点，连接，，，因为，是的中点，所以，平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，因，，是的中点，所以，，又，平面，所以平面，因为平面，.又，平面，所以平面.（2）平面与平面所成角的余弦值为.解析：思路：（1）取的中点，的中点，由面面垂直得到线面垂直，进而得到线线垂直，得到，再证明出，从而得到平面；（2）建立空间直角坐标系，设，然后算出直线的方向向量和平面的法向量坐标，然后可求出，然后再算出平面的法向量坐标，然后可算出答案.（1）略（2）以为坐标原点，，分别为，轴，平行为轴，建系如图所示，设，则，，，，，，设平面的法向量为，，取可得，所以为平面的一个法向量，设与平面所成的角为，则，解得，从而，，设平面的法向量为，，取可得，，所以，所以，设平面与平面夹角为，所以，所以平面与平面所成角的余弦值为.17.设函数．（1）若在区间单调递减，求的取值范围；（2）若，证明：在有唯一零点，且．答案：（1）（2）证明见解析解析：思路：（1）由题意可知，对任意的，，结合参变量分离法可得出，令，则，求出函数在上的最大值，即可得出实数的取值范围；（2）利用导数分析函数在上的单调性，结合零点存在定理可证得结论成立.（1）因为，则，由题意可知，对任意的，，即，令，则，因为函数在上单调递增，故，所以.因此，实数的取值范围是.（2）当时，令可得，即，且当时，；当时，.所以，函数在上单调递减，在上单调递增，因为，则，且当时，，即函数在上无零点，因为，令，则，令，其中，则，故函数在上单调递增，故，由零点存在定理可知，存在，使得，故.18.已知椭圆经过点，且右焦点为.（1）求椭圆的方程；（2）已知直线与椭圆交于两点，以为直径的圆过原点.（i）证明：；（ii）若过原点的直线与椭圆交于两点，且，求四边形面积的范围.答案：（1）；（2）（i）由（1）知，椭圆：，设，，由消去得，则，，，由以为直径的圆过原点，得，整理得，则，即，则，此时成立，所以.（ii）.解析：思路：（1）根据给定条件，求出即得椭圆的方程.（2）（i）联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理及垂直关系的向量表示推理得证；（ii）取中点为，结合给定向量关系可得，由点在椭圆上求出，进而建立的函数关系并求出取值范围.（1）依题意，，而半焦距，则，所以椭圆的方程为.（2）（i）略（ii）设线段中点为，则，结合图可知，，又，由，得点坐标为，，于是，化简得，即，则，所以四边形面积的取值范围为.方法提示：思路点睛：圆锥曲线中的几何图形面积范