福建省漳平第二中学2025~2026学年高三上册开学核心素养检测数学试卷【附解析】

数学第I卷（选择题）一、单选题1.设集合,,,则集合中元素个数为()A. B. C. D.2.命题“，”的否定是（）A， B.，C.， D.，3已知集合，，则（）A. B. C. D.4.设全集，集合，，则A. B. C. D.5.函数的最小值是（）A. B.C. D.6.已知，，则取值范围是（）A. B. C. D.7.已知命题“关于的方程无实根”，若为真命题的充分不必要条件为，则实数的取值范围是A. B. C. D.8.若方程的两根都大于，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.二、多选题9.下列各组集合不表示同一集合的是（）A. B.C. D.10.已知a，b都是正实数，则下列不等式中恒成立的是（）A. B.C. D.11.已知二次函数，若对任意，则（）A.当时，恒成立B.当时，恒成立C.使得成立D.对任意，，均有恒成立第II卷（非选择题）三、填空题12.已知集合，，则________13.已知条件；条件，若是的充分不必要条件，则实数m的取值范围是__________．14.不等式对一切非零实数均成立.则实数的最大值是______.四、解答题15.已知二次函数图象的顶点M在第二象限，且经过点A(1,0)和点B(0,1)，与x轴的另一个交点为C．（1）求实数的取值范围；（2）当△ABC面积等于时，求△ABM的面积．16.已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，求实数m取值范围．17.已知函数．（1）求不等式的解集；（2）设函数在上的最小值为m，正数a，b满足，求证：．18.如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花园AMPN，要求B在AM上，D在AN上，且对角线MN过C点，已知米，米．（1）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则AN的长应在什么范围内？（2）当AN的长度是多少时，矩形的面积最小？并求出最小面积．19.已知函数.（1）当时，求函数的最小值；（2）若函数有四个不同的零点，求的取值范围.

数学第I卷（选择题）一、单选题1.设集合,,,则集合中元素的个数为()A. B. C. D.答案：A解析：思路：由题意可得出：从,,任选一个；或者从,任选一个；结合题中条件,确定对应的选法，即可得出结果．解答过程：解：根据条件得：从,,任选一个,从而,,任选一个,有种选法；或时,,有两种选法；共种选法；C中元素有个．故选A．方法提示：本题主要考查列举法求集合中元素个数，熟记概念即可，属于基础题型.2.命题“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，答案：D解析：思路：由全称量词命题的否定为存在量词命题即可求解.解答过程：“，”的否定是，，故选：D3.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：首先解不等式求出集合，的范围，然后利用集合的运算求解即可.解答过程：因为，故集合，因为，故集合，则，故.故选：C.方法提示：本题考查了不等式的计算，集合补集与交集的混合运算，属于基础题.4.设全集，集合，，则A. B. C. D.答案：A解析：思路：先化简集合A,B,再判断每一个选项得解.解答过程：∵，，由此可知，，，，故选A．方法提示：本题主要考查集合的化简和运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.5.函数的最小值是（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：由，利用基本不等式求最小值即可.解答过程：因为，所以，当且仅当，即时等号成立.所以函数的最小值是.故选：D.方法提示：本题考查利用基本不等式求最值，考查学生的计算求解能力，属于基础题.6.已知，，则的取值范围是（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：利用待定系数法求得，由，，结合，从而可得结果.解答过程：令则，∴，又，…∴①，∴…②∴①②得．则．故选C．方法提示：本题主要考查不等式的性质以及指数函数的性质，意在考查综合运用所学知识解答问题的能力，属于中档题.7.已知命题“关于的方程无实根”，若为真命题的充分不必要条件为，则实数的取值范围是A. B. C. D.答案：B解析：思路：先求出为真命题时得，则题目等价于，即可求出范围.解答过程：为真命题，则，解得，若为真命题的充分不必要条件为，则等价于，，解得.故选：B.方法提示：本题考查根据充分不必要条件求参数，属于基础题.8.若方程的两根都大于，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：构造函数，根据二次函数的两个零点都大于列不等式组，解不等式组求得的取值范围.解答过程：设，由题意得：，解之得实数的取值范围为：.故选：D方法提示：本小题主要考查根据一元二次方程根的分布求参数的取值范围，属于中档题.二、多选题9.下列各组集合不表示同一集合的是（）A B.C. D.答案：ABD解析：思路：利用集合的意义，逐项判断即可作答.解答过程：对于A，集合都是单元素集，而元素与不同，A不是；对于B，集合的元素为有序实数对，而集合的元素为实数，B不是；对于C，集合都含有两个元素4，5，只是排列顺序不同，而集合的元素具有无序性，C是；对于D，集合有两个元素1，2，而集合只有一个元素，D不是.故选：ABD10.已知a，b都是正实数，则下列不等式中恒成立的是（）A. B.C. D.答案：AC解析：思路：AB选项，利用基本不等式求出最小值，得到A正确，B错误；C选项，作差法比较出大小关系；D选项，先变形后利用基本不等式进行求解.解答过程：A选项，因为a，b都是正实数，故，当且仅当，即时，等号成立，A正确；B选项，因为a，b都是正实数，故，当且仅当，即时，等号成立，B错误；C选项，，故恒成立，C正确；D选项，a是正实数，故，其中，故，当且仅当，即时，等号成立，D错误.故选：AC11.已知二次函数，若对任意，则（）A.当时，恒成立B.当时，恒成立C.使得成立D.对任意，，均有恒成立答案：AD解析：思路：二次函数开口向下，对称轴为，结合二次函数的性质对选项逐一判断即可.解答过程：依题意，二次函数的对称轴为.因为，所以其函数图象为开口向下的抛物线，对于A选项，当时，，关于直线对称，所以恒成立，所以A选项正确；对于B选项，当，若，则不等式可化为，所以；若，则不等式可化为，所以，所以B选项错误；对于C选项，因为，所以，所以二次函数的图象开口向下，且二次函数与x轴无交点，所以不存在使得成立，所以C选项错误；对于D选项，，所以对任意，，均有恒成立，所以D选项正确，故选：AD.第II卷（非选择题）三、填空题12.已知集合，，则________答案：解析：思路：先求解集合中的不等式,再根据交集的定义即可求解解答过程：由题,,,,即为故答案为方法提示：本题考查交集的定义,考查解绝对值不等式,属于基础题13.已知条件；条件，若是的充分不必要条件，则实数m的取值范围是__________．答案：或解析：思路：分别计算条件，再计算和，根据范围大小得到答案.解答过程：∵条件；∴，∴或，∵条件，，∴或，若是的充分不必要条件，则，解得：或故答案为或方法提示：本题考查了充分不必要条件，意在考查学生的计算能力.14.不等式对一切非零实数均成立.则实数的最大值是______.答案：3解析：思路：根据基本不等式求解最小值，利用不等式恒成立的意义得到关于a的绝对值不等式，求得实数的取值范围，进而求得最大值即可.解答过程：因为，当时取等号，∴原不等式左边的最小值为2.故，即，即，即，故实数的最大值是3故答案为：3四、解答题15.已知二次函数图象的顶点M在第二象限，且经过点A(1,0)和点B(0,1)，与x轴的另一个交点为C．（1）求实数的取值范围；（2）当△ABC面积等于时，求△ABM的面积．答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据题设可判断，求出顶点坐标后可得关于的不等式组，从而可求参数的取值范围.（2）根据可求，利用割补法可求△ABM的面积．（1）由题意知．因为图象过点，所以，又图象过点，所以，即，故，因为顶点在第二象限，故，故.（2）由（1）得，，令，得，∴，∴．由，解得．于是，，∴．连接，所以．16.已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，求实数m的取值范围．答案：{m|m≤3}．解析：思路：由B＝和B≠分类讨论得不等式（或不等式组）解之可得．解答过程：解：A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B⊆A.①若B＝，则m＋1>2m－1，解得m<2，此时有B⊆A；②若B≠，则m＋1≤2m－1，即m≥2，由B⊆A，得，解得2≤m≤3.由①②得m≤3.∴实数m的取值范围是{m|m≤3}．17.已知函数．（1）求不等式解集；（2）设函数在上的最小值为m，正数a，b满足，求证：．答案：（1）（2）证明见解析解析：思路：（1）讨论和分别求解；（2）当时，易知函数的最小值为，可得，代入整理得，再利用基本不等式．（1）原不等式可化为①；②．解①得；解②得，所以原不等式的解集为．（2）当时，在上单调递增所以函数的最小值为，于是即，当且仅当时等号成立即18.如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花园AMPN，要求B在AM上，D在AN上，且对角线MN过C点，已知米，米．（1）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则AN的长应在什么范围内？（2）当AN的长度是多少时，矩形的面积最小？并求出最小面积．答案：（1）（2）AN长为4米时，矩形的面积最小，最小为24平方米解析：思路：（1）由题意设出AN的长为x米，因为三角形三角形，则对应线段成比例可知AM，表示出矩形的面积令其大于32得到关于x的一元二次不等式，求出解集即可；（2）解法1：利用当且仅当时取等号的方法求出S的最大值即可；解法2：讨论函数的增减性得出函数的最大值即可．（1）设的长为x米，由题意可知：∵，∴，∴，∴，由，得，∵，∴，即,解得：或，即长的取值范围是；（2）解法一：∵，∴，当且仅当，即时，取“=”号，即的长为4米，矩形的面积最小，最小为24平方米．解法二：∵∴，令得，当时，，当时，当时，S取极小值，且为最小