甘肃古浪县第三中学等校2025~2026学年高一下册期末考试数学试卷【附解析】

数学满分：150分，考试时间：120分钟）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数，则在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知随机事件和互斥，和对立，且，则（）A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.53.已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.4.已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，，则5.已知为第四象限角，，则（）A. B. C. D.6.如图，在正方体中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.7.在中，角，，所对的边分别为，，，，设的面积为，若，则的形状为（）A.直角三角形 B.钝角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形8.若，，，，则（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知i为虚数单位，复数，则（）A.的共轭复数为 B.C.为实数 D.在复平面内对应的点在第一象限10.口袋中装有大小质地完全相同的白球和黑球各2个，从中不放回地依次取出2个球，事件“取出的两球同色”，事件“第一次取出的是白球”．事件“第二次取出的是白球”，事件“取出的两球不同色”，则（）A. B.A与B相互独立C.A与C相互独立 D.11.如图，在正方体中，分别为，，的中点，点为线段上的动点，则下列说法正确的是（）A.几何体是三棱台B.直线与平面相交C.二面角的平面角的正切值为D.直线与平面所成角的正弦值的最大值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.从这4个数中一次随机抽取两个数，则所取两个数之和为9的概率是__________.13.已知，则__________.14.已知分别为三个内角的对边，且，的面积为，为的中点，则的最小值为______.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15.已知，，，．当k为何值时：（1）（2）16.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．（1）求角A的大小；（2）若，的面积为，求的周长．17.已知，，角β的终边过点.（1）求的值；（2）求的值.18.举办网络安全宣传周､提升全民网络安全意识和技能，是国家网络安全工作的重要内容.为提高广大学生的网络安全意识，某校举办了网络安全知识竞赛，比赛采用积分制，规定每队2人，每人回答一个问题，回答正确积1分，回答错误积0分.甲､乙两个班级的代表队在决赛相遇，假设甲队每人回答问题正确的概率均为，乙队两人回答问题正确的概率分别为，且两队每个人回答问题正确的概率相互独立.（1）求甲队总得分为1分的概率；（2）求两队积分相同的概率.19.如图，已知在直三棱柱中，，且，点在线段（含端点）上运动，设.（1）当平面时，求实数的值；（2）当平面平面时，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

数学满分：150分，考试时间：120分钟）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数，则在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案：A解析：解答过程：依题意，复数，则，因此在复平面内对应的点位于第一象限.2.已知随机事件和互斥，和对立，且，则（）A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.5答案：D解析：思路：利用对立事件概率公式和互斥事件加法公式计算即可.解答过程：由和对立，，可得，解得，又由随机事件和互斥可知，由，将代入计算可得.故选：D.3.已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：由，，得，又，所以向量在向量上的投影向量为．4.已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，，则答案：C解析：思路：根据空间中线面、面面平行与垂直的判定定理和性质定理，逐项验证即可.解答过程：选项A，若，则直线与直线位置关系可能为平行、相交或异面，故A错误；选项B，若，则直线与平面位置关系可能为、或与相交，故B错误；选项C，根据线面平行的性质定理以及面面垂直的判定定理可知，若，则内必存在直线平行于m，设为l，则，则，故C正确；选项D，若，则直线与平面位置关系可能为、或与相交，故D错误.5.已知为第四象限角，，则（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：由题意可得，因为为第四象限角，所以，，所以.6.如图，在正方体中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：如图：取中点，连接，.因为，所以即为异面直线与所成的角.不妨设，在中，，，所以.7.在中，角，，所对的边分别为，，，，设的面积为，若，则的形状为（）A.直角三角形 B.钝角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形答案：C解析：解答过程：由，结合正弦定理，可得，又，因为为三角形内角，所以.根据余弦定理，，可得，中，，且，所以为等边三角形.8.若，，，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：使用同角三角函数的平方关系与两角和与差的正余弦公式计算.解答过程：由，，得，由，得，，由，得，因而，，.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知i为虚数单位，复数，则（）A.的共轭复数为 B.C.为实数 D.在复平面内对应的点在第一象限答案：BD解析：思路：根据共轭复数的定义可判断A，根据模长的计算公式可判断B，根据复数的加法以及乘法运算即可判断CD.解答过程：对于A,故A错误，对于B，则，故，故B正确，对于C，为虚数，故C错误，对于D，，对应的点为，故在复平面内对应的点在第一象限，故D正确，故选：BD10.口袋中装有大小质地完全相同的白球和黑球各2个，从中不放回地依次取出2个球，事件“取出的两球同色”，事件“第一次取出的是白球”．事件“第二次取出的是白球”，事件“取出的两球不同色”，则（）A. B.A与B相互独立C.A与C相互独立 D.答案：BCD解析：思路：利用相互独立，相互对立事件的概念进行判断，即可得到结果.解答过程：设2个白球为，2个黑球为，则样本空间为：，共12个基本事件．事件，共4个基本事件；事件，共6个基本事件；事件，共6个基本事件；事件，共8个基本事件，对于A，由，故A错误；对于B，因为，则，所以事件A与B相互独立，故B正确；对于C，因为，所以事件A与C相互独立，故C正确；对于D，因为，所以事件A与D互为对立，即，故D正确．故选:BCD．11.如图，在正方体中，分别为，，的中点，点为线段上的动点，则下列说法正确的是（）A.几何体是三棱台B.直线与平面相交C.二面角的平面角的正切值为D.直线与平面所成角的正弦值的最大值为答案：AC解析：思路：对于A，通过判断延长相交于一点即可判断，对于B，连接，通过判断平面平面，即可判断，对于C，作，连接，确定为二面角的平面角，进而可求正切值，对于D，设点在平面上的射影为点，确定即为直线与平面所成的角，得到，再通过为定值，求出的最小值即可判断.解答过程：对于A，因为点分别为的中点，所以，且，所以四边形是等腰梯形，所以延长必然相交，设交点为，又分别在平面内，则点为平面的公共点，又平面平面，所以，即延长后相交于一点，又平面平面，所以几何体是三棱台，A正确，对于B，如图1，连接，由中位线可得，再取的中点为，连接，由，得四边形为平行四边形，故，由，得四边形为平行四边形，故，所以，又平面，且平面，所以平面，平面，又平面，所以平面平面，又平面,所以平面，B错误；对于C，如图2，过点作，连接，因为平面，平面，所以，又平面，所以平面，又平面，所以，即为二面角的平面角，设正方体的棱长为2，则，由，得，则，C正确；对于D，如图3，设点在平面上的射影为点，连接，则即为直线与平面所成的角，则，因为平面，所以点到平面的距离为定值，即为定值，所以当取最小值时，取最大值，点到平面的距离等于点到平面的距离，设点到平面的距离为，正方体的棱长为2，则，所以等腰梯形的高，由，所以，解得，即，在中，，所以，当时，，即，所以，即取最小值为，所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为，D错误.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.从这4个数中一次随机抽取两个数，则所取两个数之和为9的概率是__________.答案：解析：思路：结合古典概型，利用列举法找到所有基本事件，从而计算出概率.解答过程：从这4个数中一次随机抽取两个数的所有基本事件有，共6个，所取2个数之和为9的基本事件有，共2个，故所求概率.故答案为：.13.已知，则__________.答案：解析：思路：由二倍角的正切公式可得.解答过程：因为，所以.故答案为：.14.已知分别为三个内角的对边，且，的面积为，为的中点，则的最小值为______.答案：解析：思路：利用正弦定理将已知等式转化为角的关系，结合三角形内角和化简可解得角，由面积公式得到，根据中线向量公式结合基本不等式可得的最小值.解答过程：因为，由正弦定理，得，因为，所以，则，所以，即，又因为，所以，即，因为，所以，则，所以；因为的面积为，所以，即，所以；因为M为的中点，所以，所以，所以，当且仅当时取等号，所以的最小值为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15.已知，，，．当k为何值时：（1）（2）答案：（1）或2（2）解析：思路：（1）根据，利用共线向量定理求解；（2）根据，利用数量积运算求解.（1）解：因为，，，，所以，．因为，所以，整理为，解得或2；（2）因为，所以，整理为，解得：.16.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．（1）求角A的大小；（2）若，的面积为，求的周长．答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，化简求出后可得角A；（2）结合已知条件和三角形面积公式求出，再用余弦定理求，进而得周长.（1），由正弦定理可得，即，因为，所以，则，即，因为，所以.（2）因为，，所以，所以.由余弦定理可得，.故的周长为17.已知，，角β的终边过点.（1）求的值；（2）求的值.答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据已知可判断为第三象限角可求得的值，利用两角和的正弦公式求解即可；（2）由（1）可得的值，利用二倍角的正切公式得的值，角β的终边过点，可得，利用两角差的正切公式即可求解.（1）解：∵，∴为第三象限角，故，∵，∴，∴.（2）解：由（1）得，，故，，又角β的终边过点，故为第一象限角，，∴.18.举办网络安全宣传周､提升全民网络安全意识和技能，是国家网络安全工作的重要内容.为提高广大学生的网络安全意识，某校举办了网络安全知识竞赛，比赛采用积分制，规定每队2人，每人回答一个问题，回答正确积1分，回答错误积0分.甲､乙两个班级的代表队在决赛相遇，假设甲队每人回答问题正确的概率均为，乙队两人回答问题正确的概率分别为，且两队每个人回答问题正确的概率相互独立.（1）求甲队总得分为1分的概率；（2）求两队积分相同的概率.答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据题意可知甲队得1分，则一人回答正确，另一人回答错误，结合独立事件概率乘法公式运算求解；（2）根据题意可得甲、乙得分的概率，分别求两队积分同为0分，1分，2分的概率，结合独立事件概率乘法公式运算求解.（1）记“甲队总得分为1分”为事件A，甲队得1分，则一人回答正确，另一人回答错误，所以；（2）由题意可知：甲队积0分，1分，2分的概率分别为，乙队积0分，1分，2分的概率分别为，记两队积分同为0分，1分，2分的分别为事件，因为两队得分相互独立，互不影响，则，所以两队积分相同的概率为.19.如图，已知在直三棱柱中，，且，点在线段（含端点）上运动，设.（1）当平面时，求实数的值；（2）当平面平面时，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.答案：（1）（2）解析：思路：（1）连接，交于点，连接，则为的中点，由线面平行的性质定理得，从而可得为的中点，进而得实数的值；（2）过点作于点，可证得平面平面，延长交于点，过点作交于点，过点作于点，则是平面与平面所成锐二面角的平面角，然后在中求解即可.（1）连接，交于点，连接，因为四边形为矩形，所以为的中点，因为平面平面，平面，平面，所以，所以为的中点，即实数的值为；（2）在直三棱柱中，平面平面，所以，因为，所以，因为平面，所以平面，因为平面，所以，过点作于点，因为