甘肃省白银市靖远县联2025~2026学年高二下册7月期末考试数学试卷【附解析】

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若随机变量，且，则（）A.0.23 B.0.27 C.0.73 D.0.772.若集合，，则（）A. B.C. D.3.复数的实部与虚部之和为（）A.1 B.C.11 D.4.曲线在点处的切线方程为（）A. B.C. D.5.在平行六面体中，（）A. B.C. D.6.已知变量y与变量x线性相关，y与x的样本相关系数为，且样本数据的平均数分别为，，则y关于x的经验回归方程可能是（）A. B.C. D.7.已知函数的导函数，且，则在上的最小值为（）A.0 B.1C. D.8.已知某生鲜仓库的内部是一个长、宽、高分别为，，的长方体．现需在仓库内安装喷雾头（喷雾头视为质点），单个喷雾头的喷洒范围是直径为的球体，若仓库内部所有区域均需被水雾覆盖，则至少需要安装的喷雾头的个数为（）A.4 B.3 C.2 D.1二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.用长度为四条线段中的三条首尾相接组成三角形，则（）A.能组成4个三角形 B.能组成1个锐角三角形C.能组成1个直角三角形 D.能组成2个钝角三角形10.已知，分别是离心率为的椭圆的左、右焦点，抛物线与M交于A，B两点，顺次连接所得封闭图形的周长为，则（）A. B.C的准线方程为C. D.图形的面积为11.设关于X，Y，Z的三元方程的正整数解的组数为，其中a，b，c均为常数，则（）A. B.C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若，，则_________．13.在空间直角坐标系中，直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线l与平面所成的角为_________．（用弧度表示）14.已知函数在上有两个极值点，则的取值范围为_________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.某材料研究所研发了两种防冰涂层：电热防冰涂层、疏水防冰涂层．该研究所在模拟高空低温云雾环境的风洞中开展积冰试验，共记录200次试验数据，统计涂层无积冰（合格）、有积冰（不合格）的情况，整理得到如下列联表：无积冰有积冰合计电热防冰涂层7030100疏水防冰涂层8515100合计15545200（1）分别求两种防冰涂层的合格率；（2）根据上述数据，判断是否有的把握认为防冰涂层类型与防冰涂层是否有积冰有关联．附：，其中．当时，有的把握认为变量A与B有关．16.如图，在四棱锥中，分别是的中点，底面是边长为的正方形．（1）证明：平面平面．（2）若，底面，求平面与平面之间的距离．17.已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若的最小值为，求的最大值．18.某企业对旗下一款扫地机器人进行多次清扫测试．已知该机器人在单次清扫测试中，有效清扫（避开障碍物）的概率为，无效清扫（碰撞障碍物）的概率为，每次清扫测试相互独立．（1）若该机器人连续进行3次清扫测试，记有效清扫的次数为X，求X的分布列与期望．（2）规定累计出现2次无效清扫时清扫测试停止，记恰好进行到第次清扫测试后清扫测试停止的概率为．（ⅰ）求，；（ⅱ）求．19.已知函数．（1）当时，证明：在上单调递增．（2）已知函数有两个不同的零点，．（ⅰ）求m的取值范围；（ⅱ）证明：．

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若随机变量，且，则（）A.0.23 B.0.27 C.0.73 D.0.77答案：B解析：解答过程：因为随机变量，则，又因为，所以.2.若集合，，则（）A. B.C. D.答案：C解析：解答过程：因为，，所以，故.3.复数的实部与虚部之和为（）A.1 B.C.11 D.答案：D解析：解答过程：，故的实部与虚部分别为，因此实部与虚部之和为.4.曲线在点处的切线方程为（）A. B.C. D.答案：D解析：解答过程：令，则，所以，所以在点处的切线方程为，即.5.在平行六面体中，（）A. B.C. D.答案：A解析：解答过程：由题意得，所以.6.已知变量y与变量x线性相关，y与x的样本相关系数为，且样本数据的平均数分别为，，则y关于x的经验回归方程可能是（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：根据相关系数的性质以及经验回归方程过样本中心点逐项分析判断.解答过程：因为x与y的样本相关系数为，可知x与y为负相关，故C，D错误；又因为经验回归方程过样本中心点，对于A项，，则，故A错误；对于B项，，则，故B正确．7.已知函数的导函数，且，则在上的最小值为（）A.0 B.1C. D.答案：A解析：思路：根据导函数，且，求出原函数，结合的单调性确定的最小值.解答过程：因为，故，即，所以令，由，得，所以，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，，所以的最小值为0.8.已知某生鲜仓库的内部是一个长、宽、高分别为，，的长方体．现需在仓库内安装喷雾头（喷雾头视为质点），单个喷雾头的喷洒范围是直径为的球体，若仓库内部所有区域均需被水雾覆盖，则至少需要安装的喷雾头的个数为（）A.4 B.3 C.2 D.1答案：C解析：思路：将仓库沿长的方向分成两个边长为的小正方体，求出小正方体外接球的半径即可求解.解答过程：由于长方体外接球的半径为，所以1个喷雾头无法覆盖整个仓库，将仓库沿长的方向分成两个边长为的小正方体，则每个小正方体外接球的半径为，因此，每个小正方体的中心各安装1个喷雾头，球体直径可以完全覆盖对应的小正方体，即可覆盖整个仓库，所以至少需要安装的喷雾头个数为2.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.用长度为四条线段中的三条首尾相接组成三角形，则（）A.能组成4个三角形 B.能组成1个锐角三角形C.能组成1个直角三角形 D.能组成2个钝角三角形答案：CD解析：思路：三角形满足任意两边之和大于第三边，则组成三角形的三边可以为：，再分别求解即可．解答过程：三角形满足任意两边之和大于第三边，则组成三角形的三边可以为：，当取时，设，，，则.所以角为钝角，三角形为钝角三角形.当取时，设，，，则.所以角为钝角，三角形为钝角三角形.当取时，设，，，则.所以角为直角，三角形为直角三角形.故能组成1个直角三角形或能组成2个钝角三角形．10.已知，分别是离心率为的椭圆的左、右焦点，抛物线与M交于A，B两点，顺次连接所得封闭图形的周长为，则（）A. B.C的准线方程为C. D.图形的面积为答案：AC解析：思路：根据图形的周长得，由离心率计算得，进而判断A，再由计算，得抛物线的方程，即可得抛物线的准线方程，即可判断B，由椭圆的方程与抛物线的方程联立解出点的坐标，即可判断CD.解答过程：由题意得：图形的周长为，所以，又，所以，所以，故A正确；由，所以，所以抛物线，所以抛物线的准线方程为：，故B错误；所以椭圆，由，化简得，解得或（舍去），当时，，解得，所以，所以，故C正确，图形的面积为，故D错误.11.设关于X，Y，Z的三元方程的正整数解的组数为，其中a，b，c均为常数，则（）A. B.C. D.答案：BCD解析：思路：利用隔板法可判断A；分类讨论法分别计算对应三元方程的正整数解组数，再逐一验证其余选项的正误.解答过程：选项A，由题意知，即的正整数解的组数，由隔板法，正整数解组数为，故A错误.选项B：，即的正整数解的组数，由，得，对分类：

当时，，共6组；当时，，共4组；当时，，共3组；当时，，共1组，总和为，，即的正整数解的组数，由，得，对分类：当时，，共6组；当时，，共4组；当时，，共3组；当时，，共1组，总和为，两者相等，故B正确.选项C：，即的正整数解的组数，由，，得，故，对每个，的正整数解组数为，总组数为：

，C正确.选项D：，即的正整数解的组数，得，（），总组数为，，即的正整数解的组数，同理计算得总组数为，显然，即，D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若，，则_________．答案：0.25##解析：解答过程：因为，，所以.13.在空间直角坐标系中，直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线l与平面所成的角为_________．（用弧度表示）答案：##解析：思路：应用向量夹角的坐标表示求线面角的正弦值，即可得其大小.解答过程：设直线l与平面所成的角为，依题意，可得，所以，即直线l与平面所成的角为.14.已知函数在上有两个极值点，则的取值范围为_________．答案：解析：思路：由函数有两个极值点转化为方程在上有两个不同解，再结合正弦函数图象和性质可得.解答过程：由函数，

，令，得.令，由，得，因为函数在区间上有两个极值点，所以方程在上有两个不同解.当时：从递减到；当时：从递增到；当时，与恒有两个不同交点，对应原函数两个不同极值点：因此的取值范围是.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.某材料研究所研发了两种防冰涂层：电热防冰涂层、疏水防冰涂层．该研究所在模拟高空低温云雾环境的风洞中开展积冰试验，共记录200次试验数据，统计涂层无积冰（合格）、有积冰（不合格）的情况，整理得到如下列联表：无积冰有积冰合计电热防冰涂层7030100疏水防冰涂层8515100合计15545200（1）分别求两种防冰涂层的合格率；（2）根据上述数据，判断是否有的把握认为防冰涂层类型与防冰涂层是否有积冰有关联．附：，其中．当时，有的把握认为变量A与B有关．答案：（1）电热防冰涂层的合格率为，疏水防冰涂层的合格率为（2）有的把握认为防冰涂层类型与防冰涂层是否有积冰有关解析：（1）电热防冰涂层的合格率为，疏水防冰涂层的合格率为．（2）提出统计假设：防冰涂层类型与防冰涂层是否有积冰无关．根据列联表中的数据，计算得到，所以有的把握认为防冰涂层类型与防冰涂层是否有积冰有关．16.如图，在四棱锥中，分别是的中点，底面是边长为的正方形．（1）证明：平面平面．（2）若，底面，求平面与平面之间的距离．答案：（1）证明：，分别是，的中点，平面，平面，平面且，四边形是平行四边形，．平面，平面，平面．又，平面，平面，平面平面．（2）解析：思路：（1）直接根据面面平行的判定定理可得；（2）直接用向量方法计算面面间的距离可得.（1）略（2）因为底面，底面，所以.又因为底面是正方形，所以.故以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，设平面的法向量是，则，，取，得，，则．所以点到平面的距离为.故平面与平面之间的距离为．17.已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若的最小值为，求的最大值．答案：（1）当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；（2）1解析：思路：（1）求导，分和两种情况讨论，可求得的单调性；（2）利用（1）可得的最小值为，利用导数可求得的最大值．（1）由，得，当时，，所以在上单调递增；当时，令，则，解得，当时，，所以在上单调递减，当时，，所以在上单调递增；综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；（2）由（1）可知当时，在上单调递增，所以在上无最小值；当时，在处取得最小值，，所以，求导得，当时，，所以单调递增，当时，，所以单调递减，所以.18.某企业对旗下一款扫地机器人进行多次清扫测试．已知该机器人在单次清扫测试中，有效清扫（避开障碍物）的概率为，无效清扫（碰撞障碍物）的概率为，每次清扫测试相互独立．（1）若该机器人连续进行3次清扫测试，记有效清扫的次数为X，求X的分布列与期望．（2）规定累计出现2次无效清扫时清扫测试停止，记恰好进行到第次清扫测试后清扫测试停止的概率为．（ⅰ）求，；（ⅱ）求．答案：（1）分布列为X0123P数学期望为（2）（ⅰ）；（ⅱ）解析：思路：（1）根据二项分布的知识计算即可.（2）（i）进行3次清扫测试后清扫测试停止，则前2次清扫测试出现1次无效清扫，最后1次出现无效清扫；（ii）进行到第次清扫测试后清扫测试停止，则前面次中恰有1次出现无效清扫，且最后一次出现无效清扫，列出表达式，根据错位相减法计算即可.（1）由题意得，X的可能取值为0，1，2，3．可得，，，，则X的分布列为X0123P数学期望为.（2）（ⅰ）．进行3次清扫测试后清扫测试停止，则前2次清扫测试出现1次无效清扫，最后1次出现无效清扫，所以．（ⅱ）进行到第次清扫测试后清扫测试停止，则前面次中恰有1次出现无效清扫，且最后一次出现无效清扫，所以，记，则，两式相减得，则．故．19.已知函数．（1）当时，证明：在上单调递增．（2）已知函数有两个不同的零点，．（ⅰ）求m的取值范围；（ⅱ）证明：．答案：（1）