甘肃省酒泉市2025~2026学年高一下册期末考试数学试卷【附解析】

数学满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知，则（）A. B. C. D.2.已知甲组数据，，，，，，，，，，的平均数为2，方差为1，则乙组数据，，，，，，，，，相对于甲组数据，以下说法正确的是（）A.平均数变大，方差变小 B.平均数不变，方差变小C.平均数不变，方差变大 D.平均数和方差都不变3.下列命题正确的个数为（）①经过三点确定一个平面；②梯形可以确定一个平面；③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.A. B. C. D.4.已知向量＝（－1，2），＝（3，m），m∈R，则“m＝－6”是“∥”的（）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件5.已知正三棱台的体积为，，，则该正三棱台的高为（）A. B. C. D.6.在中，若，，，则（）A. B. C.或 D.或7.将函数的图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度，得到的函数解析式为（）A. B.C. D.8.三棱锥中，平面，．若，，则该三棱锥体积的最大值为（）A.2 B. C.1 D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知的内角、、的对边分别为，，，则下列命题中正确的是（）A.若，则一定是等边三角形B.若，则一定是等边三角形C.若，则一定是等边三角形D.若，则一定是锐角三角形10.若过作的垂线，垂足为，则称向量在上的投影向量为．如图，已知四边形，均为正方形，则下列结论正确的是（）A.在上的投影向量为 B.在上的投影向量为C.在上的投影向量为 D.在上的投影向量为11.如图，在长方体中，，，，分别为棱，的中点，则下列说法中正确的有（）A.直线与为相交直线B.若是棱上一点，且，则，，，四点共面C.异面直线与所成角为D.平面截该长方体所得的截面是五边形三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知复数的共轭复数为，则__________．13.已知，是关于的一元二次方程的两根，若，则__________．14.已知是边长为1的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是___________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.今年五一期间兰州市成为了新的网红打卡城市，各地游客纷沓而至，到兰州品尝以兰州牛肉面为代表的兰州美食．某校学生开展社会实践活动，采用问卷的形式随机对来兰州旅游的100名游客进行了有关兰州旅游知识的调查，为了方便统计分析，调查问卷满分20分，得分情况制成如下频率分布直方图：（1）求的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名游客调查问卷得分的众数、平均数和中位数．（求平均数时同一组中的数据用该组区间的组中值作代表）16.（1）已知，求的值；（2）已知，求的值；（3）已知，且，求的值．17.已知三个顶点的坐标分别为，，，设为的中点，是线段上的点，且．（1）若，求的值；（2）当时，求证：．18.已知向量，，，函数．（1）求函数的解析式及最小正周期；（2）求函数的最大值、最小值及取得最大值、最小值时自变量的取值集合；（3）若，求函数的值域和单调区间．19.如图，是的直径，垂直于所在的平面，点是圆上的点且，，在线段上且，是的中点．（1）求直线与平面所成角的正弦值；（2）判断三棱锥是否有外接球，若有，求出外接球的表面积；若没有，说明理由；（3）线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．

数学满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据复数的乘法、除法运算法则，求得，结合复数模的计算公式，即可求解.解答过程：因为，所以，所以，则.故选：B.2.已知甲组数据，，，，，，，，，，的平均数为2，方差为1，则乙组数据，，，，，，，，，相对于甲组数据，以下说法正确的是（）A.平均数变大，方差变小 B.平均数不变，方差变小C.平均数不变，方差变大 D.平均数和方差都不变答案：C解析：解答过程：设的和为，根据题意，甲组共11个数据，平均数为2，则，乙组的平均数为和甲组平均数相等，因此平均数不变，甲组方差为1，则，乙组方差为，因此方差变大.3.下列命题正确的个数为（）①经过三点确定一个平面；②梯形可以确定一个平面；③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：分析：根据平面的基本的性质和平面的基本概念，即可作出判断.详解：因为①中，只有经过不共线的三点，才能唯一的确定一个平面，所以不正确；②中，梯形的上底和下底所在的直线互相平行，所以梯形是一个平面图象，所以是正确的；③中，当两两相交的三条直线，交于一点时，最多可以确定三个平面，所以是正确的；④中，当两个平面相交时，存在一条公共直线，当三点在这条直线上时，两个平面可以是相交的，所以不正确，所以正确命题的个数为两个，故选C.点睛：本题主要考查了平面的基本概念和平面的基本性质，熟记平面的基本性质和确定平面的依据是解答关键.4.已知向量＝（－1，2），＝（3，m），m∈R，则“m＝－6”是“∥”的（）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件答案：A解析：思路：由平面向量线性运算及共线的坐标表示运算可得解.解答过程：由题意得＝（2，2＋m），由，得－1×（2＋m）＝2×2，所以m＝－6.当m＝－6时，＝（2，－4）＝－2（－1，2），可得，则“m＝－6”是“”的充要条件.故选：A.5.已知正三棱台的体积为，，，则该正三棱台的高为（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：台体体积公式为，其中为台体的高，分别为上下底面积，下底边长，则，上底边长，则，已知，则，得.6.在中，若，，，则（）A. B. C.或 D.或答案：B解析：思路：利用正弦定理结合大边对大角定理可求得角的值.解答过程：由正弦定理得，所以，又，所以，所以.故选：B.7.将函数的图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度，得到的函数解析式为（）A. B.C. D.答案：D解析：解答过程：将的图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变可得，再向右平移个单位长度，得到的函数解析式为8.三棱锥中，平面，．若，，则该三棱锥体积的最大值为（）A.2 B. C.1 D.答案：D解析：思路：先利用线面垂直的判定定理与性质定理依次证得平面、与，从而利用基本不等式求得，进而得到，由此得解.解答过程：因为平面，平面，所以，又，，平面，所以平面，因为平面，所以，在中，，，则，因为平面，平面，所以，在中，不妨设，则由得，所以，当且仅当且，即时，等号成立，所以，所以该三棱锥体积的最大值为.故选：D..二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知的内角、、的对边分别为，，，则下列命题中正确的是（）A.若，则一定是等边三角形B.若，则一定是等边三角形C.若，则一定是等边三角形D.若，则一定是锐角三角形答案：AC解析：思路：根据正弦定理、余弦定理逐一判断即可.解答过程：A：由正弦定理可知：，因为，所以，因为，所以，所以一定是等边三角形，因此本选项命题正确；B：由正弦定理可知对于任意三角形都成立，因此本选项命题不正确；C：由正弦定理可知：，因为，所以，因为，所以，所以一定是等边三角形，因此本选项命题正确；D：，因为，所以，所以只能确定为锐角，不能确定都是锐角，所以不能确定是锐角三角形，所以本选项命题不正确.10.若过作的垂线，垂足为，则称向量在上的投影向量为．如图，已知四边形，均为正方形，则下列结论正确的是（）A.在上的投影向量为 B.在上的投影向量为C.在上的投影向量为 D.在上的投影向量为答案：ACD解析：思路：结合题意，根据投影向量定义依次求解.解答过程：对于A，过作于，连接，因为，，所以四边形为平行四边形，设，则，，由可得，所以，则，所以在上的投影向量为，故A正确；对于B，过点作于，因为，，，所以，，故，所以在上的投影向量为，故B错误；对于C，根据向量加法的平行四边形法则，得，所以在上的投影向量为，故C正确；对于D，，所以在上的投影向量为，故D正确.11.如图，在长方体中，，，，分别为棱，的中点，则下列说法中正确的有（）A.直线与为相交直线B.若是棱上一点，且，则，，，四点共面C.异面直线与所成角为D.平面截该长方体所得的截面是五边形答案：ABD解析：思路：对A，利用与平行且长度不等判定四边形是梯形，梯形两腰共面不平行，因此直线与相交；对B，根据结合是中点推出与方向一致互相平行，由一组对边平行判定、、、四点共面；对C，假设可得，验证可知与不垂直，由此判断异面直线​与所成角不是；对D，延展平面找出其与长方体所有棱的5个交点，顺次连接交点后判断所得截面为五边形.解答过程：在长方体中，，，且为中点，为中点，故，.逐一分析选项：对于A：因为，所以四点共面；又，四边形是梯形，梯形两腰和不平行，因此两条直线必相交，

A正确；对于B：若是棱​上一点，且，则，，，四点共面，由，是中点，得，且，所以的方向与方向一致，因此，一组对边平行的四边形必为平面图形，故四点共面，

B正确；对于C：因为底面，底面，所以，假设，则由，可知平面，所以.设与交于点，因为，所以，相似比为，因此​​，​​，在中，，而，显然，因此，即底面内与不垂直，假设不成立，

C错误；对于D：平面与长方体各棱的交点依次如下，为上的，上的、上的，上的，上的交点，共5个交点，依次连接后所得截面为五边形，

D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知复数的共轭复数为，则__________．答案：解析：思路：利用复数运算法则化简求解即可.解答过程：对化简，给分子分母同乘分母的共轭复数：，的共轭复数，所以.13.已知，是关于的一元二次方程的两根，若，则__________．答案：解析：解答过程：由题意得，，，因为，则，则，得.14.已知是边长为1的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是___________．答案：解析：思路：建立直角坐标系，结合向量数量积求解即可.解答过程：以线段的中点为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，设点，则，，，所以，则，当且仅当，时，取最小值．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.今年五一期间兰州市成为了新的网红打卡城市，各地游客纷沓而至，到兰州品尝以兰州牛肉面为代表的兰州美食．某校学生开展社会实践活动，采用问卷的形式随机对来兰州旅游的100名游客进行了有关兰州旅游知识的调查，为了方便统计分析，调查问卷满分20分，得分情况制成如下频率分布直方图：（1）求的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名游客调查问卷得分的众数、平均数和中位数．（求平均数时同一组中的数据用该组区间的组中值作代表）答案：（1）（2）众数为，平均数为，中位数为解析：思路：（1）根据各组频率之和为1即可求解；（2）根据众数定义，平均数、中位数的计算公式即可求解.（1）根据所有组的频率之和为1，组距为4，可得：，解得.（2）频率分布直方图中，众数为最高矩形的中点横坐标，最高矩形对应区间，中点为，因此众数为.设这100名游客调查问卷中得分的平均数为，则：，前两组频率和为：，前三组频率和为：，因此中位数在区间内，设中位数为，，解得.16.（1）已知，求的值；（2）已知，求的值；（3）已知，且，求的值．答案：（1）；（2）；（3）.解析：思路：（1）根据诱导公式，结合余弦二倍角公式进行求解即可；（2）根据同角的三角函数关系式，结合两角差的余弦公式进行求解即可；（3）根据两角和正弦公式、辅助角公式，结合同角的三角函数关系式、两角差的余弦公式进行求解即可.解答过程：（1）；（2）（3），因为，所以，所以，所以.17.已知三个顶点的坐标分别为，，，设为的中点，是线段上的点，且．（1）若，求的值；（2）当时，求证：．答案：（1）（2）因为，，

所以，解得，即.是中点，由中点坐标公式得；因为在上且，所以，设点的坐标为，则，所以，得，所以，所以，，

所以，因此，即，得证.解析：思路：（1）先计算各顶点的坐标，再利用数量积公式求出，最后结合同角三角函数的平方关系计算；（2）先根据列方程求出，再计算中点和分点的坐标，最后通过验证向量与的数量积为证明垂直.（1）当时，各点坐标为，，，向量，，角为与的夹角，因为​，，

，

所以，因此.（2）略18.已知向量，，，函数．（1）求函数的解析式及最小正周期；（2）求函数的最大值、最小值及取得最大值、最小值时自变量的取值集合；（3）若，求函数的值域和单调区间．答案：（1），最小正周期；（2）最大值为，此时的取值集合为；最小值为，此时的取值集合为；（3）值域为，单调增区间为，单调减区间为.解析：思路：（1）根据向量的数量积的运算结合三角恒等变换化简，可得的表达式，结合正弦函数性质，即可求得答案；（2）（3）根据正弦函数单调性以及最值求解即可.（1）由题意知，，故，则的最小正周期；（2）由于，当时，的最大值为，此时，故的取值集合为；当时，的最小值为，此时故的取值集合为；（3）当，令，，，故的值域为.在时单调递增，在时单调递减，由得，由得，故的单调增区间为，单调减区间为.19.如