甘肃省临洮中学、临洮县第二中学等校2025~2026学年高二下册期末联考数学试卷【附解析】

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合，，则（）A. B. C. D.2.复数的实部为（）A.11 B.12 C.13 D.3.已知函数的导函数为，且的部分图象如图所示，则（）A. B.C. D.4.根据表中数据，得到关于的线性回归方程为，则（）x34567y1012151618A.4.2 B.4.4 C.4.6 D.4.85.在等腰直角三角形中，，，则（）A.1 B.2 C. D.6.2026年美加墨世界杯首次扩至48支球队．小组赛阶段，48支参赛球队分为12个小组，每个小组内每支球队都必须和其他三支球队进行且只进行一场比赛，则小组赛阶段需进行比赛（）A.32场 B.40场 C.48场 D.72场7.从装有个红球和个白球的口袋中任取个小球，在其中个小球是红球的条件下，个小球都是红球的概率是（）A. B. C. D.8.如图，点A在函数的图象上，点B在线段上，，则的最大值为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.如图，二面角的大小为，点A在半平面内，点B，均在半平面内，于点C，于点C，于点D，，，则（）A. B.平面C. D.10.已知圆，直线l经过点P，且圆C上恰好有3个点到直线l的距离为1，则点P的坐标可能为（）A. B. C. D.11.已知的内角所对的边分别为，且，的面积为，则（）A.为直角三角形 B.C. D.的周长为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知，则__________.13.已知函数的导函数，且，则________．14.已知直线l是双曲线的一条渐近线，过C的右焦点且垂直于x轴的直线与C交于A，B两点，设点A，B到直线l的距离分别为，，且，则C的离心率为________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知是公差不为0的等差数列，其前n项和为，且，，，成等比数列．（1）求的通项公式；（2）求；（3）求数列的前n项和．16.已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）若恰有1个零点，求的取值范围；（3）若是增函数，求的取值范围．17.如图，在三棱柱中，平面，，二面角的大小为．（1）若是的中点，证明：平面．（2）若，，求直线与平面所成角的大小．18.已知椭圆：的离心率为，抛物线：的焦点为，椭圆与抛物线交于点，且．（1）求椭圆及抛物线的标准方程；（2）若直线与椭圆、抛物线都相切，求直线的方程．19.某同学进行投篮训练，投中1次记1分，未投中1次记分，n次投篮后累计得分为X，当或时，训练结束．设该同学每次投中的概率均为，各次投中与否相互独立．（1）当时，求；（2）求时训练结束的概率；（3）记该同学恰好经过m次投篮后训练结束，证明：．

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合，，则（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：集合是全体整数形成的集合，而中元素都不是整数平方，，所以.2.复数的实部为（）A.11 B.12 C.13 D.答案：C解析：解答过程：

，因此该复数的实部为.3.已知函数的导函数为，且的部分图象如图所示，则（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：根据导函数的图象判断其在区间上的符号，进而确定原函数的单调性，最后利用单调性比较函数值的大小.解答过程：由的图象可知，当时，的图象位于

轴下方，即在区间上恒成立，所以函数在区间上单调递减，因为，所以，故D正确.4.根据表中数据，得到关于的线性回归方程为，则（）x34567y1012151618A.4.2 B.4.4 C.4.6 D.4.8答案：A解析：思路：先求得样本中心点，代入线性回归方程，即可求解.解答过程：由题意，可得，，所以样本中心点为，代入线性回归方程，得，解得.5.在等腰直角三角形中，，，则（）A.1 B.2 C. D.答案：D解析：思路：将所求向量的模长平方，利用向量数量积运算律展开后代入已知的边长、夹角条件计算，再开方得到结果.解答过程：已知等腰直角中，，，因此，且与的夹角为，故.所以

，因此.6.2026年美加墨世界杯首次扩至48支球队．小组赛阶段，48支参赛球队分为12个小组，每个小组内每支球队都必须和其他三支球队进行且只进行一场比赛，则小组赛阶段需进行比赛（）A.32场 B.40场 C.48场 D.72场答案：D解析：解答过程：第一步，支球队分为个小组，故每个小组有支球队.第二步，组内为单循环赛，即任意两支球队仅进行场比赛，因此比赛场数为从支球队中任选支的组合数：

.第三步，个小组的总比赛场数为场.7.从装有个红球和个白球的口袋中任取个小球，在其中个小球是红球的条件下，个小球都是红球的概率是（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：通过条件概率公式即可求解.解答过程：设事件为“取出的个小球中至少有个是红球”，事件为“取出的个小球都是红球”，从个球中任取个，总取法为种，包含一红一白、两红两类情况，共种，故，两红的取法共种，故，由于，故，根据条件概率公式：

，故A正确.8.如图，点A在函数的图象上，点B在线段上，，则的最大值为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：设出点坐标，表示出，通过求导，利用单调性求最值.解答过程：设点，由，得，其中，即.令，，令，得，结合，解得，当时，，单调递增；当时，，单调递减.因此当时，取极大值，也是最大值，最大值为.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.如图，二面角的大小为，点A在半平面内，点B，均在半平面内，于点C，于点C，于点D，，，则（）A. B.平面C. D.答案：ABD解析：解答过程：以为原点，在平面内过作的垂线为轴，直线为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系.由题意得，，，；二面角的平面角为，，故.对选项A，，与方向一致，又且，由线面平行判定定理得，故A正确.对选项B，由，，，得平面，又，故平面，故B正确.对选项C，，平面的法向量为，因为与法向量不平行，故不垂直于，C错误.对选项D，，，即，故D正确.10.已知圆，直线l经过点P，且圆C上恰好有3个点到直线l的距离为1，则点P的坐标可能为（）A. B. C. D.答案：ABC解析：思路：先由圆上恰有个点到直线的距离为，推出圆心到直线的距离为，再结合直线过点，得出点到圆心的距离不小于，计算各选项点到圆心的距离即可判断.解答过程：圆的圆心为，半径,若圆上恰好有个点到直线的距离为，则圆心到直线的距离，即直线是圆心为、半径为的小圆的切线，要存在过点的直线满足条件，需点在该小圆上或小圆外，即点到的距离.对于A：点到的距离为，A正确；对于B：点到的距离为，B正确；对于C：点到的距离为，C正确；对于D：点到的距离为，D错误.11.已知的内角所对的边分别为，且，的面积为，则（）A.为直角三角形 B.C. D.的周长为答案：BD解析：思路：先由余弦定理与面积公式写出，利用同角平方关系建立等式，结合均值不等式得到含的四次不等式，由平方非负唯一解出，结合等号成立时，进而算出的值，再用余弦定理逐一验证四个选项对错．解答过程：由，得，所以，由，得所以整理得，由，当且仅当时，等号成立，得，所以，整理得，即，因为，所以，解得，所以，将，，代入，所以，对于A，，，任意两边平方和都不等于第三边平方，A错误；对于B，，B正确；对于C，，C错误；对于D，，D正确．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知，则__________.答案：解析：思路：根据题意，利用余弦的倍角公式，即可求解.解答过程：由二倍角的余弦公式，可得.故答案为：.13.已知函数的导函数，且，则________．答案：解析：思路：根据函数的导函数，求出函数的表达式，代入求解即可.解答过程：由函数的导函数，得（其中为常数），又，从而，得，从而，所以.14.已知直线l是双曲线的一条渐近线，过C的右焦点且垂直于x轴的直线与C交于A，B两点，设点A，B到直线l的距离分别为，，且，则C的离心率为________．答案：解析：思路：利用双曲线的对称性转化成焦点到渐近线的距离求解即可.解答过程：由双曲线的对称性可知不妨设直线l的表达式为，即，点A，B到直线l的距离分别为，，由题意可知A，B关于C的右焦点对称，，从而，得从而C的离心率为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知是公差不为0的等差数列，其前n项和为，且，，，成等比数列．（1）求的通项公式；（2）求；（3）求数列的前n项和．答案：（1）（2）（3）解析：（1）设等差数列的公差为（），由得，由成等比数列，得，即，展开整理得，因，故，联立，解得，，因此.（2）由等差数列前项和公式，得.（3）由，设数列的前项和为，则.16.已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）若恰有1个零点，求的取值范围；（3）若是增函数，求的取值范围．答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）根据导数的几何意义求解即可.（2）因式分解得到是的一个零点，根据二次因式无实根的条件求解的范围；（3）增函数等价于导函数在上恒非负，利用一元二次不等式恒成立求解的范围.（1）对求导得，又，，所以切线方程为，即.（2），显然是的一个零点.要使恰有1个零点，需二次方程无实根，所以，解得.故的取值范围为.（3）若是增函数，则对任意，恒成立.二次函数开口向上，故对应方程

，解得.故的取值范围为.17.如图，在三棱柱中，平面，，二面角的大小为．（1）若是的中点，证明：平面．（2）若，，求直线与平面所成角的大小．答案：（1）连接交于，在三棱柱中，侧面是平行四边形，所以是的中点，又因为是的中点，所以，因为平面，平面，所以平面；（2）解析：思路：（1）借助三棱柱侧面平行四边形对角线中点性质，结合三角形中位线得到线线平行，再用线面平行判定定理完成证明；（2）由侧棱垂直底面确定二面角平面角，建立空间直角坐标系求出所有点坐标，利用线段比例算出坐标，求出平面法向量后，套用线面角向量公式计算出角度．（1）略（2）因为平面，平面，平面，所以，，所以二面角的平面角，，，，在平面内作，因为平面，平面，所以，即两两垂直，以为原点，所在直线分别为轴、轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，，，即，，，设，，由，得，所以，解得，即，，，，设平面的法向量，所以，即，令，得，设直线与平面所成角为，所以，因为，所以，所以直线与平面所成角的大小为．18.已知椭圆：的离心率为，抛物线：的焦点为，椭圆与抛物线交于点，且．（1）求椭圆及抛物线的标准方程；（2）若直线与椭圆、抛物线都相切，求直线的方程．答案：（1）椭圆的标准方程为，抛物线的标准方程为.（2）直线的方程为或.解析：思路：（1）根据抛物线的定义即可求抛物线方程；根据点在抛物线上及椭圆离心率得到，，代入椭圆方程求解即可.（2）设出直线方程，与抛物线方程、椭圆方程联立，结合相切时求解即可.（1）抛物线：的焦点为，点在抛物线上，由抛物线定义得，代入得，解得，故抛物线方程为.点在抛物线上，则有.由椭圆离心率，得，即.椭圆方程可化为.将点代入椭圆方程得，解得.则.故椭圆方程为.（2）设直线：，当不存在时，若与抛物线相切，则，但与椭圆相切要求，矛盾，故斜率存在.

当直线与抛物线相切时，联立，整理得，由，得，化简得，即.

当直线与椭圆相切时，联立，整理得，由，得，代入，化简得，整理得，即，解得（负值舍去），所以，此时.故直线的方程为或，即或.19.某同学进行投篮训练，投中1次记1分，未投中1次记分，n次投篮后累计得分为X，当或时，训练结束．设该同学每次投中的概率均为，各次投中与否相互独立．（1）当时，求；（2）求时训练结束的概率；（3）记该同学恰好经过m次投篮后训练结束，证明：．答案：（1）（2）（3）