甘肃省陇南市成县第一中学、第二中学、成州中学2025~2026学年高二下册期末考试数学试卷【附解析】

数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合.1.设是实数集的一个非空子集，如果对于任意的（与可以相等，也可以不相等），且，则称是“和谐集”.则下列四个命题中为真命题个数为（）①存在一个集合，它既是“和谐集”，又是有限集；②集合是“和谐集”；③若，都是“和谐集”，则；④对任意两个不同的“和谐集”，，总有.A.1 B.2 C.3 D.42.已知是，平面内两个不共线向量，，，，若三点共线，则的值为（）A.2 B. C. D.33.设，若为实数，则的值为（）A. B. C.2 D.4.已知等差数列的前n项和为，若，则（）A. B. C.1 D.135.一个直角梯形的两底长分别为2和5，高为4，绕其较长的底旋转一周，所得的几何体的体积为（）A. B. C. D.6.如图，花坛内有五个花池，有五种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种同种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则最多有几种栽种方案()A.180种 B.240种 C.360种 D.420种7.已知函数，则的解集为（）A. B.C. D.8.已知，则（）A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知一组样本数据：4，5，6，8，9，10，则下列说法正确的是（）A.该组样本数据的极差为6 B.该组样本数据的平均数为7C.该组样本数据的第60百分位数为7 D.该组样本数据的标准差为10.已知抛物线与圆交于两点，则下列说法正确的是（）A.圆心坐标为 B.C.抛物线的准线与圆相切 D.过抛物线焦点的直线与圆相交11.已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，且，过点且斜率为的直线交于点，交的一条渐近线于点，则（）A.若以为直径的圆经过点，则的离心率为2B.若以为直径的圆经过点，则的离心率为C.若，则的渐近线方程为D.若点不在圆外，则的渐近线的斜率的绝对值不大于1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在平面直角坐标系中，已知抛物线的准线为，点在上，以为圆心的圆与相切且截轴所得的弦长为，则__________．13.已知定义在上的函数的图象如图所示，则不等式的解集为________．14.甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，则次传球后球在乙手中的概率为________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）求角C的大小；（2）若边，求的面积S的最大值．16.如图，在四棱锥中，与均为等腰直角三角形，，E为BC的中点．（1）若分别为的中点，求证：平面PAB；（2）若平面ABCD，，求直线AB与平面PCD所成角的正弦值．17.某儿童乐园提供两种家庭套餐服务产品，人们购买时每次只买其中一种服务，他们经过统计分析发现：第一次购买产品的人购买的概率为，购买B的概率为.第一次购买产品的人第二次购买产品的概率为，购买产品的概率为.第一次购买产品的人第二次购买产品的概率为，购买产品的概率也是.（1）求某家庭第二次来，购买的是产品的概率；（2）记第二次来购买产品的家中有家购买产品，求的分布列，均值和方差.（3）第(2)中的个家庭中有多少家选择产品的概率最大，最大概率是多少?18.若一个四面体三组对棱分别相等，我们称为“等腰四面体”．已知在等腰四面体中，分别为所在棱的中点，如图所示．（1）求证：平面；（2）若，求异面直线与所成的角的余弦值；（3）在空间直角坐标系中，平面内有椭圆，直线与交于两点．为空间中一点，若四面体为等腰四面体，求其外接球表面积的取值范围．19.已知函数，，当时，曲线在点处的切线为，曲线在点处的切线为．（1）当时，求证：与的交点位于轴右侧；（2）已知，与轴交于点，与轴交于点，若存在（为自然对数的底数），使得，求的最大值．

数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合.1.设是实数集的一个非空子集，如果对于任意的（与可以相等，也可以不相等），且，则称是“和谐集”.则下列四个命题中为真命题个数为（）①存在一个集合，它既是“和谐集”，又是有限集；②集合是“和谐集”；③若，都是“和谐集”，则；④对任意两个不同的“和谐集”，，总有.A.1 B.2 C.3 D.4答案：C解析：思路：利用和谐集的定义，判断集合中必有元素0，从而可判断①，利用和谐集的定义，可证明②，利用举例可证明③④.解答过程：对于①，存在，满足有限集，也满足和谐集，故①正确；对于②，当时，对于，总有所以且，即满足“和谐集”，故②正确；对于③，若都是“和谐集”，则当时，由可知，“和谐集”中必有元素0，即，故③正确；对于④，存在“和谐集”，此时，故④错误；故选：C2.已知是，平面内两个不共线向量，，，，若三点共线，则的值为（）A.2 B. C. D.3答案：A解析：思路：根据题意，分别求得，，根据三点共线，则存在实数，满足，列出方程组，即可求解.解答过程：由向量，，，可得，，因为三点共线，则存在实数，满足，即，可得，解得.故选：A.3.设，若为实数，则的值为（）A. B. C.2 D.答案：B解析：思路：先求出的共轭复数，再将分式复数分母实数化，利用实数的虚部为列方程求解参数.解答过程：首先根据共轭复数的定义，可得，，因为该复数为实数，故其虚部为，且恒成立，因此，解得.故选：B.4.已知等差数列的前n项和为，若，则（）A. B. C.1 D.13答案：C解析：解答过程：因为数列是等差数列，所以，所以.5.一个直角梯形的两底长分别为2和5，高为4，绕其较长的底旋转一周，所得的几何体的体积为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：先确定几何体的形状为圆锥与圆柱的组合体，根据已知条件所给数据，求出组合体的体积即可.解答过程：直角梯形绕其较长的底旋转一周后，所得的几何体是半径为4、高为2的圆柱和半径为4、高为3的圆锥组成，所以,体积，故选C.方法提示：本题考查旋转体的体积，考查空间想象能力，逻辑思维判断能力，计算能力，是基础题.6.如图，花坛内有五个花池，有五种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种同种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则最多有几种栽种方案()A.180种 B.240种 C.360种 D.420种答案：D解析：思路：若5个花池栽了5种颜色的花卉，方法有种，若5个花池栽了4种颜色的花卉，方法有2种，若5个花池栽了3种颜色的花卉，方法有种，相加即得所求．解答过程：若5个花池栽了5种颜色的花卉，方法有种，若5个花池栽了4种颜色的花卉，则2、4两个花池栽同一种颜色的花；或者3、5两个花池栽同一种颜色的花，方法有2种，若5个花池栽了3种颜色的花卉，方法有种，故最多有+2+=420种栽种方案，故选D．方法提示：解答排列、组合问题的角度：解答排列、组合应用题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手；(1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”；(2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有、无限制等；(3)“分类”就是将较复杂的应用题中的元素分成互相排斥的几类，然后逐类解决；(4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决．7.已知函数，则的解集为（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：求出函数的定义域，利用导数分析函数的单调性，由可得出关于的不等式组，由此可解得原不等式的解集．解答过程：函数的定义域为，则对任意的恒成立，所以，函数在上为增函数，由可得，解得或，因此，不等式的解集为．8.已知，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：由，利用三角恒等变换得到，再利用同角三角函数商数关系求解解答过程：因为，所以，所以.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知一组样本数据：4，5，6，8，9，10，则下列说法正确的是（）A.该组样本数据的极差为6 B.该组样本数据的平均数为7C.该组样本数据的第60百分位数为7 D.该组样本数据的标准差为答案：AB解析：解答过程：由题知，该组样本数据的极差为，A正确；平均数为，B正确；因为，故第60百分位数为第4个数据8，C错误；方差：，标准差：，D错误.10.已知抛物线与圆交于两点，则下列说法正确的是（）A.圆心坐标为 B.C.抛物线的准线与圆相切 D.过抛物线焦点的直线与圆相交答案：BCD解析：解答过程：A选项，由，故圆心为，A错误；B选项，联立抛物线与圆消去得，解得或，当时，，不合要求，舍去；当时，，解得，即，则，B正确；C选项，抛物线的准线为，圆心到的距离为2，等于圆的半径，故抛物线的准线与圆相切，C正确；D选项，抛物线焦点坐标为，此时直线过圆的圆心，则与圆一定相交，D正确.11.已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，且，过点且斜率为的直线交于点，交的一条渐近线于点，则（）A.若以为直径的圆经过点，则的离心率为2B.若以为直径的圆经过点，则的离心率为C.若，则的渐近线方程为D.若点不在圆外，则的渐近线的斜率的绝对值不大于1答案：ACD解析：思路：由题意写出直线的方程，与渐近线方程联立求出点的坐标,对于A，由圆的性质得，结合向量数量积坐标运算求得间的等量关系，结合离心率定义求出离心率，；对于B，由三角函数求出，，结合双曲线定义求得的值，由此可求离心率，对于C，由知为线段的中点，求出点的坐标，代入双曲线方程求得的值，由此可求渐近线方程；对于D，由双曲线的定义及余弦定理的推论求出，由条件建立不等式可求的取值范围，再求的取值范围.解答过程：如图，连接，由题意知直线的方程为，即，直线与双曲线的渐近线平行，所以，则，，联立方程，解得，即，对于A，因为以为直径的圆经过点，则，因为，，所以，解得，则的离心率，所以A正确；对于B，因为以为直径的圆经过点，则，则，，所以由双曲线的定义知，可得，所以的离心率，所以B不正确；对于C，若，则为线段的中点，所以，于是由在双曲线上，得，即，解得，所以，则的渐近线方程为，所以C正确；对于D，因为，所以，由余弦定理的推论得，即，解得，因为点不在圆外，所以，即，解得，所以的渐近线的斜率的绝对值不大于，所以D正确．故选：ACD．方法提示：方法点睛：求双曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：（1）求出，代入公式；（2）只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为关于的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以或转化为关于的方程（不等式），解方程（不等式）即可得（的取值范围）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在平面直角坐标系中，已知抛物线的准线为，点在上，以为圆心的圆与相切且截轴所得的弦长为，则__________．答案：4解析：解答过程：已知抛物线的准线为，则的方程为：，已知点在上，则，以为圆心的圆与相切，设圆的半径为，则，又圆与相切且截轴所得的弦长为，，解得，即，，解得．13.已知定义在上的函数的图象如图所示，则不等式的解集为________．答案：解析：解答过程：由图可知，函数的单调递增区间为：，，单调递减区间为：，即或；，又不等式等价为：或，得或，所以不等式的解集为．14.甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，则次传球后球在乙手中的概率为________.答案：解析：思路：设n次传球后球在乙手中的概率为，结合递推关系得出数列是等比数列即可求出.解答过程：设n次传球后球在乙手中的概率为，则有，必有，故数列是以为首项，为公比的等比数列，，故次传球后球在乙手中的概率为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）求角C的大小；（2）若边，求的面积S的最大值．答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦求解.（2）利用余弦定理及基本不等式求出的最大值，再利用三角形面积公式求解.（1）在中，由及正弦定理，得，则，而，因此，即，又，所以.（2）由（1）知，而，由余弦定理，得，则，当且仅当时取等号，，所以的面积S的最大值为.16.如图，在四棱锥中，与均为等腰直角三角形，，E为BC的中点．（1）若分别为的中点，求证：平面PAB；（2）若平面ABCD，，求直线AB与平面PCD所成角的正弦值．答案：（1）取PA的中点N，PB的中点M，连接FN、MN，与为等腰直角三角形且，不妨设，..E、F分别为BC、PD的中点，，且.，，，∴四边形FGMN为平行四边形，，平面PAB，平面PAB，平面PAB；（2）解析：思路：（1）取PA的中点N，PB的中点M，连接FN、MN，只需证明即可；（2）建立适当的空间直角坐标系，求出直线AB的方向向量与面PCD的法向量，根据向量夹角公式即可求解.（1）略（2）平面ABCD，以A为原点，AC、AB、AP所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，设平面PCD的一个法向量为，，，取，，.设AB与平面PCD所成角为，则，即AB与平面PCD所成角的正弦值为.17.某儿童乐园提供两种家庭套餐服务产品，人们购买时每次只买其中一种服务，他们经过统计分析发现：第一次购买产品的人购买的概率为，购买B的概率为.第一次购买产品的人第二次购买产品的概率为，购买产品的概率为.第一次购买产品的人第二次购买产品的概率为，购买产品的概率也是.（1）求某家庭第二次来，购买的是产品的概率；（2）记第二次来购买产品的家中有家购买产品，求的分布列，均值和方差.（3）第(2)中的个家庭中有多少家选择产品的概率最大，最大概率是多少?答案：（1）（2）；（3）有2家选择产品的概率最大，最大概率为解析：思路：（1）根据条件概率公式计算即可；（2）利用二项分布写出分布列求解期望和方差；（3）利用二项分布得到分布列求解事件概率.（1）设“第i次购买产品”，（i=1，2），则“第i次购买产品”，由题意，又为对立事件，故；（2）每家购买产品概率均为，故，分布列为；（3）设有家选择产品，则，设有家选择产品的概率最大，则，故可列即整理得，又，故，此时=故有家选择产品的概率最大，最大概率为.18.若一个四面体三组对棱分别相等，我们称为“等腰四面体”．已知在等腰四面体中，分别为所在棱的中点，如图所示．（1）求证：平面；（2）若，求异面直线与所成的角的余弦值；（3）在空间直角坐标系中，平面内有椭圆，直线与交于两点．为空间中一点，若四面体为等腰四面体，求其外接球表面积的取值范围．答案：（1）连接，因为，所以，四边形为平行四边形.又，所以，所以四边形为菱形，所以.同理，四边形为菱形，，又因为四边形为菱形，交于一点，所以平面．（2）（3）解析：思路：（1）利用中位