甘肃省平凉市静宁县部分校2025~2026学年高二下册期末质量检测数学试卷【附解析】

数学本试卷共4页，满分150分，时间120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.2.设函数，则（）A. B. C. D.3.已知等比数列的公比，若，，则公比（）A. B. C. D.4.设是直线的方向向量，是平面的法向量，则（）A. B.或C. D.与相交但不垂直5.某校高一年级学生的身高（单位：厘米）近似服从正态分布．若规定高一年级学生的身高至少要有160厘米才算达标，现从该校高一年级学生中随机抽取一名学生，则该学生身高达标的概率约为（）附：若随机变量服从正态分布，则．A.0.6827 B.0.9545 C.0.85135 D.0.841356.已知向量，，不共面，下列选项中的三个向量不共面的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，7.直线与圆相交于A，B两点，则（）A. B. C.2 D.48.已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.二、选择题：本题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分．9.已知等差数列的前项和是，公差是，且，，则下列说法正确的是（）A. B.C.当时，取得最小值 D.10.经验表明，一般树的胸径（树的主干在地面以上处的直径）越大，树就越高．在研究树高（单位：）与胸径（单位：）之间的关系时，某同学收集了某种树的组观测数据（如下表），假设树高与胸径满足的经验回归方程为，则（）胸径树高A.树高与胸径正相关B.胸径每增加，树高一定增加C.D.当胸径时，树高的残差为11.已知函数，其中是在处的导数值，则下列结论正确的有（）A. B.的单调递减区间为C.的极小值为1 D.在上的最大值为3三、填空题：本题共小题，每小题分，共分．12.若抛物线的焦点坐标为，则________．13.某项比赛期间需要安排名志愿者完成项工作，每人至少完成一项，每项工作由一人完成，则不同的安排方式共有________种．14.如图，二面角的大小为，其棱l上有两个点，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱l．若则两点间的距离为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.为加强素质教育，提升学生综合素养，某校为高一年级提供了“书法”和“剪纸”两门选修课．为了了解选择“书法”或“剪纸”是否与性别有关，该校调查了高一年级1500名学生的选择倾向，再从中随机抽取了100人，统计选择两门课程的人数，部分结果如下表：性别选择的课程合计书法剪纸男生40

50女生

合计

30

（1）补全列联表；（2）依据小概率值的独立性检验，能否认为选择“书法”或“剪纸”与性别有关？附：，其中．α0.1000.0500.0252.7063.8415.02416.已知椭圆的长轴长为，离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线与椭圆C有且只有一个公共点，求实数m的值．17.四棱锥中，底面为正方形，，平面，点为的中点.（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.18.随着信息技术的飞速进步，大数据的应用领域正日益扩大，它正成为推动社会进步的关键力量．某研究机构开发了一款数据分析软件，该软件能够精准地从海量数据中提取有价值的信息．在软件测试阶段，若输入的数据集质量高，则软件分析准确的概率为0.8；若数据集质量低，则软件分析准确的概率为0.3．已知每次输入的数据集质量低的概率为0.1．（1）求一次数据能被软件准确分析的概率；（2）在连续次测试中，每次输入一个数据集，每个数据集的分析结果相互独立．设软件准确分析的数据集个数为．（ⅰ）当时，求的分布列与数学期望；（ⅱ）当为何值时，的值最大？19.已知函数，其中.（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）求的单调区间；（3）当时，设的两个零点为，求证：.

数学本试卷共4页，满分150分，时间120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据直线的方程，求出斜率，再由，求出倾斜角.解答过程：设直线的斜率为，倾斜角为，则，因为倾斜角，所以.故选：C2.设函数，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：利用函数的导数除法运算法则，代入、及其导函数化简计算即可得到结果.解答过程：.3.已知等比数列的公比，若，，则公比（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：，可得，解得，又因为，所以.4.设是直线的方向向量，是平面的法向量，则（）A. B.或C. D.与相交但不垂直答案：B解析：思路：通过计算直线的方向向量与平面的法向量的数量积，判断直线与平面的位置关系.解答过程：因为，所以，所以或.5.某校高一年级学生的身高（单位：厘米）近似服从正态分布．若规定高一年级学生的身高至少要有160厘米才算达标，现从该校高一年级学生中随机抽取一名学生，则该学生身高达标的概率约为（）附：若随机变量服从正态分布，则．A.0.6827 B.0.9545 C.0.85135 D.0.84135答案：D解析：思路：应用正态分布概率计算求解.解答过程：由题意可知，身高Y近似服从正态分布N(165,5²)，所以，身高至少要有160厘米才算达标，即求，因为，所以，根据正态分布的对称性.6.已知向量，，不共面，下列选项中的三个向量不共面的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，答案：C解析：解答过程：已知不共面，逐一判断：A：，故，，共面.B：，故，，共面.C：假设，整理得.即，因不共面，不存在这样的，故，，不共面.D：，故，，共面.7.直线与圆相交于A，B两点，则（）A. B. C.2 D.4答案：B解析：思路：由圆的标准方程得到圆心和半径，再根据圆的半径、圆心到直线的距离、半弦长的关系求解.解答过程：由，可得标准方程：，则圆心坐标为，圆的半径.由直线的方程为，得圆心到直线的距离：，所以.8.已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：求导后令导数小于等于零，分离参数，结合恒成立问题求出最大值即可.解答过程：显然定义域,因为,因为函数在区间上单调递减，即内恒有,即变形可得,，设,求导,所以在上单调递增，因此,要使在内恒成立，只需,即.二、选择题：本题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分．9.已知等差数列的前项和是，公差是，且，，则下列说法正确的是（）A. B.C.当时，取得最小值 D.答案：BC解析：解答过程：，，，，故A错误，B正确；等差数列的前项小于零，第5项开始大于零，故当时，取得最小值，C正确；，故D错误．10.经验表明，一般树的胸径（树的主干在地面以上处的直径）越大，树就越高．在研究树高（单位：）与胸径（单位：）之间的关系时，某同学收集了某种树的组观测数据（如下表），假设树高与胸径满足的经验回归方程为，则（）胸径树高A.树高与胸径正相关B.胸径每增加，树高一定增加C.D.当胸径时，树高的残差为答案：ACD解析：思路：应用回归直线性质判断A，B，计算样本中心求参数判断C，计算预测判断D.解答过程：对于A：经验回归方程斜率为正，树高与胸径正相关，A正确；对于B：胸径每增加1cm，树高是平均增加1.32m，并非一定增加，不符合回归分析的统计意义，B错误；对于C：计算得样本均值，回归直线过样本中心点，代入回归方程得，所以，解得，C正确；对于D：时预测值，残差为，D正确，11.已知函数，其中是在处的导数值，则下列结论正确的有（）A. B.的单调递减区间为C.的极小值为1 D.在上的最大值为3答案：BCD解析：思路：先求出导函数得出判断A，进而得出函数单调性及极值判断B，C，最后得出最值判断D.解答过程：函数，，令，则，，故A错误；函数，则，所以函数的单调递减区间为，故B正确；函数，则或，所以函数的单调递增区间为或，所以函数的极小值为，故C正确；由上分析，时，函数单调递增，时，函数单调递减，时，函数单调递增，所以函数的极大值为，又，故在上的最大值为3，故D正确.三、填空题：本题共小题，每小题分，共分．12.若抛物线的焦点坐标为，则________．答案：2解析：解答过程：由题意得，，得.13.某项比赛期间需要安排名志愿者完成项工作，每人至少完成一项，每项工作由一人完成，则不同的安排方式共有________种．答案：36解析：解答过程：先将工作按照分好，再分给名志愿者，共有种安排方式.14.如图，二面角的大小为，其棱l上有两个点，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱l．若则两点间的距离为______．答案：解析：思路：利用向量的线性关系可得，两边平方可求的长度.解答过程：因为二面角的大小为，，.,即两点间的距离为.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.为加强素质教育，提升学生综合素养，某校为高一年级提供了“书法”和“剪纸”两门选修课．为了了解选择“书法”或“剪纸”是否与性别有关，该校调查了高一年级1500名学生的选择倾向，再从中随机抽取了100人，统计选择两门课程的人数，部分结果如下表：性别选择的课程合计书法剪纸男生40

50女生

合计

30

（1）补全列联表；（2）依据小概率值的独立性检验，能否认为选择“书法”或“剪纸”与性别有关？附：，其中．α0.1000.0500.0252.7063.8415.024答案：（1）性别选择的课程合计书法剪纸男生401050女生302050合计7030100（2）可以认为选择“书法”或“剪纸”与性别有关解析：（1）由题可知共选择学生100人，由表可知选择女生合计，剪纸的男生为人，则选择剪纸的女生为人，则选择书法的女生为人，则选择书法的学生为人，则补充后的表如下所示：性别选择的课程合计书法剪纸男生401050女生302050合计7030100（2）零假设为：选择“书法”或“剪纸”与性别无关．根据列联表中数据，得，根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为选择“书法”或“剪纸”与性别有关．16.已知椭圆的长轴长为，离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线与椭圆C有且只有一个公共点，求实数m的值．答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据条件，利用待定系数法求椭圆方程；（2）直线与椭圆方程联立，根据，求的取值.（1）由题意可得解得，，故椭圆C的方程为．（2）联立得．由题可得，解得，．17.四棱锥中，底面为正方形，，平面，点为的中点.（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.答案：（1）因为底面为正方形，平面，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，，，所以，所以.（2）解析：思路：（1）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出，即可证明；（2）求出平面的法向量，由线面角的向量公式求解即可.（1）略（2），设平面的一个法向量为，，则，令，则，则，直线与平面所成角为，，直线与平面所成角的正弦值为.18.随着信息技术的飞速进步，大数据的应用领域正日益扩大，它正成为推动社会进步的关键力量．某研究机构开发了一款数据分析软件，该软件能够精准地从海量数据中提取有价值的信息．在软件测试阶段，若输入的数据集质量高，则软件分析准确的概率为0.8；若数据集质量低，则软件分析准确的概率为0.3．已知每次输入的数据集质量低的概率为0.1．（1）求一次数据能被软件准确分析的概率；（2）在连续次测试中，每次输入一个数据集，每个数据集的分析结果相互独立．设软件准确分析的数据集个数为．（ⅰ）当时，求的分布列与数学期望；（ⅱ）当为何值时，的值最大？答案：（1）0.75．（2）（i）0123数学期望．（ⅱ）或4解析：思路：（1）根据全概率公式求解；（2）（ⅰ）根据二项分布概率公式求分布列和数学期望；（ⅱ）根据二项分布概率公式可知，判断数列的单调性，即可求最值.（1）记“输入的数据集质量高”为事件，“一次数据能被软件准确分析”为事件，由题意可知：，，，则，所以．所以一次数据能被软件准确分析的概率为0.75．（2）由（1）可知：，（i）当时，的可能取值为，，，，依题意，，，，，，，所以的分布列为：0123数学期望．（ⅱ），令，则，令，解得，可知当时，；令，解得，可知当时，；令，解得，可知当时，；于是．所以当或4时，最大，即或4时，的值最大．19.已知函数，其中.（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）求的单调区间；（3）当时，设的