广东省潮州市2025~2026学年高一下册期末教学质量监测数学试卷【附解析】

数学满分150分，考试时间120分钟.一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.若复数（i为虚数单位），则（）A. B. C.1 D.22.在中，已知为边上的中线，则（）A. B. C. D.3.抛掷一枚硬币100次，正面向上的次数为48次，下列说法正确的是（）A.正面向上的概率为0.48 B.反面向上的概率是0.48C.正面向上的频率为0.48 D.反面向上的频率是0.484.已知，是互不重合的直线，，是互不重合的平面，下列命题正确的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，，则5.已知一个圆锥的母线长与底面直径均为2，则圆锥的体积为（）A. B. C. D.6.甲、乙两人独立破译一个密码，甲独立破译密码的概率为，乙独立破译密码的概率为，则恰有一人破译密码的概率为（）A.0.4 B.0.6 C. D.0.767.已知，，则向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.8.“凤凰塔”是我市的古建筑之一，始建于明万历十三年（1585），塔有七层八面，第一、二层为石砌，第三层以上为砖砌，塔身中空，夹壁中有螺旋形台阶可登顶层，塔基须弥座分雕龙、凤、鹤、马、羊等各种祥禽瑞兽和精美的花卉，建造工程浩大，彰显我市古代人们的智慧.为了测量其高度，设凤凰塔高为，在与点同一水平面且共线的三点，，处分别测得顶点的仰角为，，，且，则凤凰塔的高约为（）（参考数据：）A. B. C. D.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.已知向量，，则下列结论正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则与夹角为 D.10.射击场，甲乙两人独立射击同一个靶子，击中靶子的概率分别为.记事件为“两人都击中”，事件为“至少1人击中”，事件为“无人击中”，则下列说法正确的是（）A.事件与是互斥事件 B.事件与是对立事件C.事件与相互独立 D.11.已知正方体的棱长为1，下列说法正确的是（）A.若点为线段上的任意一点，则B.若该正方体的所有顶点都在同一个球面上，则该球体的表面积为C.异面直线与所成角为D.若点为体对角线上的动点，则的最大值为三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12.某高中三个年级共有学生2000人，其中高一800人，高二600人，高三600人，该校为了解学生睡眠情况，准备从全校学生中抽取80人进行访谈，若采取按比例分配的分层抽样，且按年级来分层，则高一年级应抽取的人数是________.13.在中，若，，，则______．14.在复平面内，向量对应的复数绕点逆时针旋转后对应的复数为，则__________.四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知复数.（1）若是纯虚数，求；（2）在复平面内，对应的点位于第三象限，求的取值范围.16.如图，在中，是上的点，，，，.（1）求角的大小；（2）求的面积.17.为了提高学生安全意识，迪庆州某校利用自习课时间开展“防溺水”安全知识竞赛，加强对学生的安全教育，通过知识竞赛的形式，不仅帮助同学们发现自己对“防溺水”知识认知的不足之处，还教会了同学们溺水自救的方法，提高了应急脱险能力．现抽取了甲组20名同学的成绩记录如下：甲：92，96，99，103，104，105，113，114，117，117，121，123，124，126，129，132，134，136，141，142．抽取了乙组20名同学的成绩，将成绩分成五组，并画出了其频率分布直方图．（1）根据以上记录数据求甲组20名同学成绩的第80百分位数，并根据频率分布直方图估计乙组20名同学成绩的众数；（2）现从甲乙两组同学的不低于140分的成绩中任意取出2个人的成绩，求取出的2个人的成绩不在同一组的概率．18.如图，在四棱锥中，平面，分别为棱的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）求点到平面的距离.19.设平面内两个非零向量，的夹角为，定义一种运算“”：.试求解下列问题：（1）若向量，，，求的值；（2）设，，试用向量，的坐标表示的值；（3）设点，，，求的面积.

数学满分150分，考试时间120分钟.一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.若复数（i为虚数单位），则（）A. B. C.1 D.2答案：A解析：思路：利用复数除法运算求出复数z即可求出.解答过程：依题意，，所以.故选：A2.在中，已知为边上的中线，则（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：由向量加法的平行四边形法则可得，，所以.3.抛掷一枚硬币100次，正面向上的次数为48次，下列说法正确的是（）A.正面向上的概率为0.48 B.反面向上的概率是0.48C.正面向上的频率为0.48 D.反面向上的频率是0.48答案：C解析：思路：根据频率和概率的定义逐项判定可得答案.解答过程：对于A，正面向上的概率为0.5，是固定不变的，故错误；对于B，反面向上的概率也是0.5，是固定不变的，故错误；对于C，抛掷一枚硬币100次，正面向上的次数为48次，根据频率的定义可知，正面向上的频率为0.48，正确；对于D，抛掷一枚硬币100次，正面向上的次数为48次，反面向上的次数为52次，根据频率的定义可知，反面向上的频率是0.52，故错误.故选：C.4.已知，是互不重合的直线，，是互不重合的平面，下列命题正确的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，，则答案：B解析：解答过程：对于A：由，，得或，A错误；对于B：由，，得，B正确；对于C：由，，得或相交，C错误；对于D：在正四面体中，令平面、平面分别为平面，直线为直线，由线段的中点与点C确定的直线为，满足，，，而不垂直，D错误.5.已知一个圆锥的母线长与底面直径均为2，则圆锥的体积为（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：底面直径为，则半径.故高.所以体积.6.甲、乙两人独立破译一个密码，甲独立破译密码的概率为，乙独立破译密码的概率为，则恰有一人破译密码的概率为（）A.0.4 B.0.6 C. D.0.76答案：C解析：思路：设出事件，结合互斥事件，独立事件和对立事件的概率公式求解概率即可.解答过程：设甲独立破译密码为事件，乙独立破译密码为事件，则恰有一人破译密码为，而互斥，由互斥事件概率公式得，由题意得相互独立，相互独立，由独立事件概率公式得，，由题意得，，则，，得到，则恰有一人破译密码的概率为，故C正确.故选：C7.已知，，则向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：由题意得投影向量公式为，其中，，所以，故8.“凤凰塔”是我市的古建筑之一，始建于明万历十三年（1585），塔有七层八面，第一、二层为石砌，第三层以上为砖砌，塔身中空，夹壁中有螺旋形台阶可登顶层，塔基须弥座分雕龙、凤、鹤、马、羊等各种祥禽瑞兽和精美的花卉，建造工程浩大，彰显我市古代人们的智慧.为了测量其高度，设凤凰塔高为，在与点同一水平面且共线的三点，，处分别测得顶点的仰角为，，，且，则凤凰塔的高约为（）（参考数据：）A. B. C. D.答案：B解析：思路：利用邻补角余弦互为相反数，结合余弦定理列等式，消去角度直接解出塔高.解答过程：设塔高，则，在中，，因为，所以由余弦定理得，化简得，解得，故塔高约为.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.已知向量，，则下列结论正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则与夹角为 D.答案：AD解析：思路：A，利用向量垂直时数量积为的性质求解.B，通过向量平行性质求解.C，通过数量积和模求解向量夹角.D，用坐标表示出后利用坐标求模的范围.解答过程：选项A，因为，所以，，解得，A正确.选项B，因为，所以设，解得或，B错误.选项C，时，，，，，所以cosa→,选项D，，，函数为开口向上的二次函数，对称轴为，所以当时，，所以，D正确.10.射击场，甲乙两人独立射击同一个靶子，击中靶子的概率分别为.记事件为“两人都击中”，事件为“至少1人击中”，事件为“无人击中”，则下列说法正确的是（）A.事件与是互斥事件 B.事件与是对立事件C.事件与相互独立 D.答案：ABD解析：思路：根据事件之间的关系，以及互斥事件，对立事件的概念，相互独立事件的概率公式逐一判断即得.解答过程：依题意，，，.对于A，因“两人都击中”的对立事件为“至多1人击中”，即包括“无人击中”，“1人击中”，故事件与是互斥事件，即A正确；对于B，因“至少1人击中”包括“1人击中”，“2人击中”两种情况，故其对立事件即“无人击中”，即B正确；对于C，依题意，因，则，而，故事件与不相互独立，即C错误；对于D，因，故，故D正确.故选：ABD.11.已知正方体的棱长为1，下列说法正确的是（）A.若点为线段上的任意一点，则B.若该正方体的所有顶点都在同一个球面上，则该球体的表面积为C.异面直线与所成角为D.若点为体对角线上的动点，则的最大值为答案：ABD解析：思路：利用线面垂直性质定理即可证明，可得A正确；求出正方体外接球半径即可知球体的表面积为，即B正确；易知异面直线与所成角为即为或其补角，求得其大小为，即C错误；当时，取得最小值，利用余弦定理可求得的最大值为，可得D正确.解答过程：连接，如下图所示：对于A，由正方体性质可知平面，又平面，所以，又，且，平面，所以平面，显然，所以可得平面；又平面，所以，即点为线段上的任意一点时，总成立，即A正确；对于B，易知该正方体的外接球直径即为该正方体的体对角线，设该球半径为，则，所以该球体的表面积为，即B正确；对于C，连接，如下图所示：易知，所以异面直线与所成角为即为或其补角，在中，，所以，即异面直线与所成角为，所以C错误；对于D，连接，如下图所示：易知，当最小时，可使最大；当时，取得最小值为，由余弦定理可知，即可得；所以的最大值为，即D正确.故选：ABD三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12.某高中三个年级共有学生2000人，其中高一800人，高二600人，高三600人，该校为了解学生睡眠情况，准备从全校学生中抽取80人进行访谈，若采取按比例分配的分层抽样，且按年级来分层，则高一年级应抽取的人数是________.答案：32解析：解答过程：高一年级应抽取的人数是.13.在中，若，，，则______．答案：解析：思路：利用余弦定理列方程，化简求得.解答过程：依题意，，负根舍去.所以.故答案为：14.在复平面内，向量对应的复数绕点逆时针旋转后对应的复数为，则__________.答案：解析：思路：利用复数的几何意义结合复数的模相等求解即可.解答过程：由题意可设对应的向量为对应的向量为，由旋转性质得和模相等，且它们对应的向量垂直，则解得.故答案为：四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知复数.（1）若是纯虚数，求；（2）在复平面内，对应的点位于第三象限，求的取值范围.答案：（1）；（2）.解析：思路：（1）根据纯虚数的定义得到方程和不等式，求出；（2）根据复数对应的点所在象限，得到不等式，求出答案.（1）因为是纯虚数，所以，由，解得或，由得，且，故.（2）因为对应的点位于第三象限，所以，所以解得的取值范围是.16.如图，在中，是上的点，，，，.（1）求角的大小；（2）求的面积.答案：（1）；（2）.解析：思路：（1）在中，利用余弦定理即可求解.（2）由（1）可得，从而可得，，即，再利用三角形的面积公式即可求解.解答过程：解：（1）在中，又，所以.（2）由（1）知，，所以，又，所以，，由，知，所以17.为了提高学生安全意识，迪庆州某校利用自习课时间开展“防溺水”安全知识竞赛，加强对学生的安全教育，通过知识竞赛的形式，不仅帮助同学们发现自己对“防溺水”知识认知的不足之处，还教会了同学们溺水自救的方法，提高了应急脱险能力．现抽取了甲组20名同学的成绩记录如下：甲：92，96，99，103，104，105，113，114，117，117，121，123，124，126，129，132，134，136，141，142．抽取了乙组20名同学的成绩，将成绩分成五组，并画出了其频率分布直方图．（1）根据以上记录数据求甲组20名同学成绩的第80百分位数，并根据频率分布直方图估计乙组20名同学成绩的众数；（2）现从甲乙两组同学的不低于140分的成绩中任意取出2个人的成绩，求取出的2个人的成绩不在同一组的概率．答案：（1）第80百分位数为133，众数135（2）解析：思路：（1）根据百分位数、众数的定义计算即可；（2）根据古典概型公式计算即可．（1）∵，∴甲组20名同学成绩的第80百分位数为，众数为；（2）甲组20名同学的成绩不低于140分的有2个，乙组20名同学的成绩不低于140分的有个，记事件A为“取出的2个成绩不是同一组”，任意选出2个成绩的所有样本点共个，其