广东省广州市黄埔区2025~2026学年高一下册期末教学质量监测数学试卷【附解析】

数学本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数，则的虚部是（）A. B. C. D.2.抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第一枚硬币正面朝上”，事件B=“第二枚硬币反面朝上”，则A与B的关系为（）A.互斥 B.相互对立 C.相互独立 D.相等3.某快递公司的取件码由位数字组成，每一位置的数字随机选自，，...，，则取件码末位数字是偶数的概率是（）A. B. C. D.4.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米石（石为古代质量单位），检验出米内夹谷，抽样取米一把，数得粒内夹谷粒，假设一粒谷和一粒米的质量近似相同，则这批米内夹谷约为（）A.石 B.石 C.石 D.石5.已知复数，，且是非零复数，则下列结论正确的是（）A. B.若，则C.若，则 D.6.在中，为的中点，为的中点，设，，则=（）A. B. C. D.7.在棱长为的正方体中，，分别是，的中点，则与平面所成的角为（）A. B. C. D.8.我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中提出了从三角形三边长求三角形面积的“三斜求积”公式，设的三个内角，，的对边分别为，，，面积为，则“三斜求积”公式为．若，且，则面积的最大值为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知向量，，则下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则向量在上的投影向量为D.“向量与的夹角为钝角”的充要条件是“”10.下列说法中正确的是（）A.若样本数据，，...，的标准差为，则数据，，...，的标准差为B.数据，，，，，，，的第百分位数是C.若样本数据，，...，的方差，则这组样本数据的总和为D.已知一组样本的样本容量为，样本平均数为，方差为，现在该样本中加入一个新数据，则得到新样本的平均数为，新样本的方差小于11.正方体的棱长为，是的中点，则（）A.若是的中点，则B.平面截正方体所得截面的周长为C.与所成角的余弦值为D.三棱锥的外接球的表面积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若向量，且，则___________13.已知复数满足，则（是虚数单位）的最小值为___________14.已知矩形，沿将折起成.若点在平面上的射影落在的内部（不包括边界），则四面体的体积的取值范围是___________.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，矩形是圆柱的轴截面，，，为弧上异于点，的一点，为的中点．（1）求圆柱的表面积；（2）求证：平面．16.某学校高一年级筛选部分学生参加知识竞赛，现随机抽取名学生的考试成绩，分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，并绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第三、四、五组的频率之和为，第一组和第五组的频率相同.（1）求，的值；（2）根据频率分布直方图估计这名学生成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）在第四、第五两组学生中，按组别进行分层，采用比例分配的分层随机抽样方法从中抽取人，再从这人中选出人，求选出的人来自同一组的概率.17.已知的内角，，所对的边分别为，，，且.（1）求；（2）若，求的取值范围.18.如图，在直三棱柱中，底面是边长为的正三角形，，为的中点.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值.19.如图，在中，，，，且，延长，，分别交，，于，，.（1）求的余弦值；（2）求的长；（3）若，其中，，求满足条件的动点所覆盖区域的面积.

数学本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数，则的虚部是（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：由条件根据复数的运算法则求复数的代数形式，即可直接求解出虚部.解答过程：由已知得，，所以z的虚部为.2.抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第一枚硬币正面朝上”，事件B=“第二枚硬币反面朝上”，则A与B的关系为（）A.互斥 B.相互对立 C.相互独立 D.相等答案：C解析：思路：列举全部可能出现的结果，即可根据对立事件以及互斥事件以及相互独立事件的定义求解.解答过程：抛掷两枚质地均匀的硬币，按顺序共出现（正正）（正反）（反正）（反反）这4种情况，事件A包括（正正）（正反），事件B包括（正反）（反反），故不相等，故D错误，由于事件A与事件B能同时发生，所以不为互斥事件，也不为对立事件，故AB错误；因为事件A是否发生与事件B无关，事件B是否发生也与事件A无关，故事件A和事件B相互独立，故C正确.故选：C.3.某快递公司的取件码由位数字组成，每一位置的数字随机选自，，...，，则取件码末位数字是偶数的概率是（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：由题意，只需关注最后一位数字，这个数字中，偶数共5个，则取件码末位数字是偶数的概率是．4.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米石（石为古代质量单位），检验出米内夹谷，抽样取米一把，数得粒内夹谷粒，假设一粒谷和一粒米的质量近似相同，则这批米内夹谷约为（）A.石 B.石 C.石 D.石答案：A解析：思路：根据抽样取米一把，数得255粒内夹谷29粒，可计算出夹谷的频率，从而得解．解答过程：设这批米内夹谷约为石，根据样本的性质，得，即这批米内夹谷约为230石.5.已知复数，，且是非零复数，则下列结论正确的是（）A. B.若，则C.若，则 D.答案：B解析：思路：对各选项分别进行分析，利用复数的运算、性质及举反例的方法来判断命题的真假.解答过程：在A选项中，设（非零复数），则z1‾=1−计算可得：，因此A错误，在B选项中，已知​，移项得，因为是非零复数，复数域中乘积为则至少一个因子为，因此，即，因此B正确，在C选项中，若，则，z2=−z举例：若取，则，z2=−1≠不满足，因此C错误，在D选项中，令​，等式，而，等式成立仅当或为实数，不是对任意成立，举例：若取，左边，右边，，因此D错误.6.在中，为的中点，为的中点，设，，则=（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：如图，由为的中点，为的中点，．7.在棱长为的正方体中，，分别是，的中点，则与平面所成的角为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：连接，利用线面角的定义求解.解答过程：在棱长为的正方体中，连接，由分别是的中点，得，则与平面所成的角等于与平面所成的角，连接交于O，连接，由平面，平面，得，而，平面，因此平面，是与平面所成的角，在中，，则，所以与平面所成的角为.8.我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中提出了从三角形三边长求三角形面积的“三斜求积”公式，设的三个内角，，的对边分别为，，，面积为，则“三斜求积”公式为．若，且，则面积的最大值为（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：，由正弦定理，得，已知，则，令，则，函数开口向下，对称轴为，故当时取得最大值，最大值为，故．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知向量，，则下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则向量在上的投影向量为D.“向量与的夹角为钝角”的充要条件是“”答案：AC解析：思路：对于A：求出，利用模长公式求出答案；对于B：根据垂直得到方程，求出；对于C：根据投影向量公式求出答案；对于D：根据夹角为钝角得到不等式，求出的取值范围，作出判断.解答过程：对于选项A：若时，则，可得，所以，故A正确；对于选项B：若⊥，则，解得，故B错误；对于选项C：若时，则，可得，所以在上的投影向量为，故C正确；对于选项D：若与的夹角为钝角，则且与不共线，可得，解得且，显然是的真子集，所以“”是“与的夹角为钝角”的必要不充分条件，故D错误；10.下列说法中正确的是（）A.若样本数据，，...，的标准差为，则数据，，...，的标准差为B.数据，，，，，，，的第百分位数是C.若样本数据，，...，的方差，则这组样本数据的总和为D.已知一组样本的样本容量为，样本平均数为，方差为，现在该样本中加入一个新数据，则得到新样本的平均数为，新样本的方差小于答案：BCD解析：思路：A根据已知得方差为9，从而可得新数据的方差及标准差，即可判断；B根据百分位数的定义，求出第70百分位数，即可判断；C由题意可得样本容量为20，平均数是从而可得样本数据的总和，即可判断；D由题意可求得新数据的平均数及方差，即可判断.解答过程：A，已知样本数据的标准差为，则，数据的方差为，其标准差为，错误；B，数据共8个数，从小到大排列为，由于，故选择第6个数作为第70百分位数，即为，正确；C，因为样本的方差所以这个样本有20个数据，平均数是这组样本数据的总和为正确；D，某8个数的平均数为5，方差为2，现又加入一个新数据5，设此时这9个数的平均数为，方差为，则，正确.11.正方体的棱长为，是的中点，则（）A.若是的中点，则B.平面截正方体所得截面的周长为C.与所成角的余弦值为D.三棱锥的外接球的表面积为答案：ACD解析：思路：对于A：利用平移思想再证明平行四边形即可证出；对于B：需连接，则平面截正方体所得截面为四边形，求四边形的周长即可；对于C：需利用平行将线段平移至，然后求与所成角的余弦值；对于D：三棱锥的外接球即为三棱锥的外接球，符合侧棱垂直底面的三棱锥，利用勾股定理求解即可.解答过程：对于A：可将线段平移至线段，因为且，所以四边形为平行四边形，所以，所以，A正确；对于B：取中点为，连接和，因，所以平面截正方体所得截面为四边形，，，，，故所得截面的周长为，B错误；对于C：因，故与所成角即与所成角，在中，，，，，C正确；对于D：三棱锥的外接球即为三棱锥的外接球，在中，，，，，则，由正弦定理可知，，为三角形的外接圆半径，解得，，则三棱锥的外接球的表面积为，D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若向量，且，则___________答案：解析：思路：根据平面向量平行的坐标充要条件进行求解.解答过程：由题意可得：，，且，根据平面向量平行的坐标充要条件可得：

，求解可得：.13.已知复数满足，则（是虚数单位）的最小值为___________答案：##解析：思路：使用复数的模长公式与模长的几何意义求解.解答过程：设，由，知，，，则的最小值即圆上的点到点的距离最小值，的最小值为：.14.已知矩形，沿将折起成.若点在平面上的射影落在的内部（不包括边界），则四面体的体积的取值范围是___________.答案：解析：思路：由点在平面上的投影落在的内部，可知当在面上的投影在上时，四面体的体积最小，当当在面上的投影在上时，四面体的体积最大，从而求出四面体的体积的取值范围.解答过程：解：根据题意可知：点在平面上的射影落在的内部（不包括边界）所以当在面上的投影在上时，四面体的体积最大，由，设到面的距离为，则所以四面体的体积最大为：；当在面上的投影在上时，四面体的体积最小，如图：翻折前翻折后设到面的距离为，其中所以，所以所以四面体的体积最小为：，所以四面体的体积的取值范围为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，矩形是圆柱的轴截面，，，为弧上异于点，的一点，为的中点．（1）求圆柱的表面积；（2）求证：平面．答案：（1）（2）证明：证法一：取的中点，连接，，因为为的中点，所以，.又，，所以，所以四边形为平行四边形，所以.又平面，，所以平面.证法二：连接，因为为的中点，为的中点，所以为的中位线，所以，因为平面，平面，所以平面.又因为，平面，平面，所以平面.因为，平面，平面，所以平面平面.又平面，所以平面.解析：思路：（1）利用圆柱的侧面积公式求侧面积，再求底面积，相加可得表面积.（2）方法一：构造线线平行，利用线面平行的判定定理证明线面平行；方法二：构造面面平行，先利用面面平行的判定定理证明面面平行，再利用面面平行的性质证明线面平行.（1）因为，所以圆柱的母线长，底面半径，则圆柱的侧面积.所以圆柱的表面积.（2）略16.某学校高一年级筛选部分学生参加知识竞赛，现随机抽取名学生的考试成绩，分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，并绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第三、四、五组的频率之和为，第一组和第五组的频率相同.（1）求，的值；（2）根据频率分布直方图估计这名学生成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）在第四、第五两组学生中，按组别进行分层，采用比例分配的分层随机抽样方法从中抽取人，再从这人中选出人，求选出的人来自同一组的概率.答案：（1），（2）（3）解析：思路：（1）根据各组的频率和为1及已知的频率关系列式求值即可.（2）根据频率分布直方图和已知的方法估计平均数.（3）先利用分层抽样得到第四、第五两组学生抽取的人数，再利用列举法求古典概型的概率.（1）因为第三､四､五组的频率之和为，所以，解得.所以前两组的频率之和为，即，所以.（2）估计这名学生面试成绩的平均数为.（3）第四、第五两组学生分别有人、人按照分层抽样，抽得的第四组学生人数为，分别设为，第五组学生人数为，设为.从这人中选出人，所有可能结果有种，即，，，，，，，，，.其中选出的人来自同一组的共包含个可能结果，即，，，，，.故选出的人来自同一组的概率为.17.已知的内角，，所对的边分别为，，，且.（1）求；（2）若，求的取值范围.答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用正弦定理化边为角，结合，可化简为，利用辅助角公式，结合，即得解；（2）方法一：利用正弦定理可转化，又，故，可化简为，结合，即得解；方法二：由条件根据余弦定理可得，结合基本不等式和三角形三边关系可求结论.（1）在中，因为，由正弦定理可得，因为，所以，即，即，因为，所以化简得，因为，所以，所以，即.（2）解法一：由（1）知，且，根据正弦定理可得，所以，，所以，因为，所以，所以的取值范围为；解法二：由（1）知，且，根据余弦定理，得，所以，即，化简得，解得，当且仅当时取等号，又，即，所以的取值范围为.18.如图，在直三棱柱中，底面是边长为的正三角形，，为的中点.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值.答案：（1）在直三棱柱中，由平面，平面，得，由是边长为的正三角形，为的中点，得，又，平面，所以.（2）解析：思路：（1）根据给定条件，利用线面垂直的性质、判定推理得证.（2）作，利用二面角的定义求解.（1）略（2）过点作，垂足为，连接，在直三棱柱中