广东省揭阳市2025~2026学年高一下册期末教学质量测试数学试卷【附解析】

数学本试题共4页，考试时间120分钟，总分150分第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知，，则（）A.4 B.3 C.2 D.12.已知集合，集合，则（）A. B.C. D.3.设，则“”是的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.如图所示，已知在中，是边上的中点，则（）A. B.C. D.5.已知圆柱的底面直径和高都等于球的半径，则圆柱与球的体积之比为（）A. B. C. D.6.已知函数，则（）A. B.1C. D.7.已知函数，其中，则的最小值为（）A. B. C. D.8.定义是a，b中的较大者．已知函数，．若，且方程有个不同的解，则实数m的取值范围是（）A. B.C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.设函数，则下列结论正确的是（）A.的值域为 B.的图象关于直线对称C.的最小正周期为 D.是的一个零点10.一质地均匀正八面体,八个面分别标有数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，记事件“得到的点数为奇数”，事件“得到的点数不大于4”，事件“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是（）A.事件B与C互斥 B.C.事件A与C相互独立 D.事件与相互独立11.已知函数的定义域为，且满足为奇函数，为偶函数，且，则下列说法正确的是（）A.为偶函数 B.2是的一个周期C.图象关于对称 D.第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若复数z满足，则_________．13.甲、乙、丙、丁四人各掷骰子次（骰子每次出现的点数等可能为），并分别记录每次出现的点数，四人根据统计结果对各自的试验数据分别做了如下描述：①中位数为，众数为；②中位数为，极差为；③中位数为，平均数为；④平均数为，方差为；可以判断一定没有出现点的描述序号是_________．（错选或漏选不给分）14.2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848．86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一，如图是三角高程测量法的一个示意图，现有、、三点，且、、在同一水平面上的投影、、满足，，由点测得点的仰角为，与的差为100；由点测得点的仰角为，则、两点到水平面的高度差约为___________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，分别是棱的中点．（1）证明：；（2）证明：平面．16.揭阳古城底蕴深厚，进贤门、揭阳学宫等历史建筑屹立千年，特色美食、传统非遗更是潮汕文化中亮眼的瑰宝．基于此，某中学积极响应，举行了一次古城文化知识竞赛．学校在竞赛后，随机抽查了100人的成绩整理后得到如图所示的频率分布直方图．（1）求a的值并估计样本的平均数；（2）若本次竞赛中，分数排名前的参赛人员为获奖人员，试估计获奖分数线（精确到0.1）；（3）现采用样本量按比例分配的分层随机抽样，从和两组中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行座谈，求抽取的2人中至少有1人的分数在这一组的概率．17.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，且的外接圆的周长为．（1）求角A；（2）求边的长；（3）若为边上的高，且，求的面积．18.如图，是圆的直径，与圆所在的平面垂直，且，为圆周上不与点，重合的动点，，分别为点在线段，上的投影．（1）证明：平面；（2）求三棱锥外接球的表面积；（3）当的面积最大时，求二面角的平面角的大小．19.已知函数．（1）证明：对，都有；（2）求不等式的解集；（3）是否存在实数，对任意一个整数，关于x的方程在区间内至少有3个互不相等的实数解？若存在，求出m的最小值；若不存在，说明理由．

数学本试题共4页，考试时间120分钟，总分150分第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知，，则（）A.4 B.3 C.2 D.1答案：B解析：解答过程：由题可得.2.已知集合，集合，则（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：先化简集合，再由交集的定义计算可得。解答过程：因为集合，又集合，所以.3.设，则“”是的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：B解析：思路：先解出分式不等式的解，再判断充分性和必要性即可.解答过程：由，得到，解得或，又“或”是“”的必要不充分条件，即“”是“”的必要不充分条件.故选：B4.如图所示，已知在中，是边上的中点，则（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：由题意得，再由，即可得到答案.解答过程：由于是边上的中点，则..故选：B.5.已知圆柱的底面直径和高都等于球的半径，则圆柱与球的体积之比为（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：设球的半径为，则球的体积，又圆柱的底面直径和高都等于球的半径，所以圆柱的体积，所以圆柱与球的体积之比为．6.已知函数，则（）A. B.1C. D.答案：A解析：解答过程：因为，所以，因为，所以，即，故选项A正确.7.已知函数，其中，则的最小值为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：先由辅助角公式将函数化简为，再由正弦函数的性质可得最小值.解答过程：因为函数，其中.由，令.因为，所以，.所以函数在上单调递增，在单调递减.因此函数在区间的左端点或右端点取得最小值.当时，即，；当时，即，.因为，所以当时，函数有最小值.8.定义是a，b中的较大者．已知函数，．若，且方程有个不同的解，则实数m的取值范围是（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：结合题意，由进行求解．解答过程：因为，由方程有个不同的解，所以在内有两个零点，则，得，得，得．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.设函数，则下列结论正确的是（）A.的值域为 B.的图象关于直线对称C.的最小正周期为 D.是的一个零点答案：ACD解析：解答过程：因为对,，故的值域为，即A正确；，故不是的对称轴，故B错误；的最小正周期为，故C正确；因，故D正确.10.一质地均匀正八面体,八个面分别标有数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，记事件“得到的点数为奇数”，事件“得到的点数不大于4”，事件“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是（）A.事件B与C互斥 B.C.事件A与C相互独立 D.事件与相互独立答案：BD解析：解答过程：由题意：事件，事件，事件，由于，所以事件B与C不互斥，A错误；由于，所以，B正确；由于，即，即，所以事件A与C不独立，C错误；由于，即，即，所以事件与相互独立，D正确.11.已知函数的定义域为，且满足为奇函数，为偶函数，且，则下列说法正确的是（）A.为偶函数 B.2是的一个周期C.图象关于对称 D.答案：ACD解析：思路：选项A，由与，得，是偶函数，A正确.选项B，由，推出，周期为，不是，B错误.选项C，有对称中心，周期为，半个周期平移后得到对称中心，C正确.选项D，每项函数值之和为，前项和为，剩余两项得；除以余，故，D正确.解答过程：令，因为为奇函数，所以，即，令，解得，即，

得到，即，所以关于点中心对称.因为为偶函数，所以，即，关于直线轴对称.由轴对称得，

由中心对称得，

联立得，把换成得到，

则，所以的周期，故B错误.因为的对称中心为，所以，

又周期，

，，由，令得到，即，即，

所以图象关于对称，C正确.由，则，

又，则，

则，对比，

得到，即，

所以是偶函数，A正确.周期，先看一个周期内，

由，令得到，

由为奇函数，令得到，

又都是对称中心，故，一个周期：，

中，有项，包含个完整周期加上，

个周期的和为，

又，，故，

所以每项之和为，前项和为，

余下两项，因为，所以，解得，则，D正确.第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若复数z满足，则_________．答案：解析：思路：利用复数的乘除法即可求解.解答过程：.13.甲、乙、丙、丁四人各掷骰子次（骰子每次出现的点数等可能为），并分别记录每次出现的点数，四人根据统计结果对各自的试验数据分别做了如下描述：①中位数为，众数为；②中位数为，极差为；③中位数为，平均数为；④平均数为，方差为；可以判断一定没有出现点的描述序号是_________．（错选或漏选不给分）答案：①④解析：思路：根据中位数，极差，平均数，方差，众数等定义分别判断计算各个选项即可.解答过程：①由于中位数为，众数为，故出现两次，又中位数为，则数据从小到大为，一定没有；②中位数为3，极差为3，则数据从小到大为符合题意，故可能出现；③中位数为，平均数为，则设数据从小到大为符合题意，故可能出现6；④平均数为，方差为，则设满足要求且含的数据从小到大为，故且，那么且，，平方和不可能为负数，不存在满足条件的正整数数据，故一定没有.综上，①④一定没有.14.2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848．86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一，如图是三角高程测量法的一个示意图，现有、、三点，且、、在同一水平面上的投影、、满足，，由点测得点的仰角为，与的差为100；由点测得点的仰角为，则、两点到水平面的高度差约为___________．答案：解析：思路：过C作，过B作，由已知条件求出BD、AE，所求高度差即为解答过程：过C作，过B作，如图所示，已知与的差为，则，又，则，因则，又，，则，由正弦定理，则，因，即，又，所以，则，两点到水平面的高度差（米）.故答案为：．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，分别是棱的中点．（1）证明：；（2）证明：平面．答案：（1）如图，连接交于点，由四边形是正方形，可得，因平面，平面，则，又，平面，所以平面，又平面，所以．（2）如图，取的中点，连接，由分别是棱的中点．可得，又，则，即得，所以因平面，平面，所以平面．解析：思路：（1）先证和，再由线线垂直证明线面垂直，易得；（2）取的中点，易证，得到，则得，由线线平行即得线面平行.（1）略（2）略16.揭阳古城底蕴深厚，进贤门、揭阳学宫等历史建筑屹立千年，特色美食、传统非遗更是潮汕文化中亮眼的瑰宝．基于此，某中学积极响应，举行了一次古城文化知识竞赛．学校在竞赛后，随机抽查了100人的成绩整理后得到如图所示的频率分布直方图．（1）求a的值并估计样本的平均数；（2）若本次竞赛中，分数排名前的参赛人员为获奖人员，试估计获奖分数线（精确到0.1）；（3）现采用样本量按比例分配的分层随机抽样，从和两组中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行座谈，求抽取的2人中至少有1人的分数在这一组的概率．答案：（1），68.5（2）78.6（3）解析：思路：（1）利用所有矩形面积（频率）之和为1，列方程求出；每组用区间中点代表本组数据，用“中点×本组频率”再求和，得到样本平均数.（2）从低分段向上累加频率，得到分数线落在这一组，利用分位数公式列方程求解，最后精确到0.1.（3）两组分别抽取4人和2人；给6个人编号，列举法求出概率.（1）因为小长方形面积和为1，所以，解得，则平均数为；（2）由题意可得：本次竞赛中，分数排名前的参赛人员为获奖人员，即求第80百分位数，又，，则分数线在内，且设分数线为x，可得，解得，即获奖分数线为78.6.（3）由题意得两组的频率之比为，现从两组中用分层抽样的方法抽取6人，则从中抽取4人，记为，从中抽取2人，记为，所有可能的情况为，，，，，，，，，，，，，，，共15种，其中至少有1人的分数在的情况有，，，，，，，，，共9种，故所求概率.17.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，且的外接圆的周长为．（1）求角A；（2）求边的长；（3）若为边上的高，且，求的面积．答案：（1）（2）3（3）解析：思路：（1）根据三角恒等变换化简计算可得；（2）先求外接圆的半径，利用正弦定理求解；（3）根据题意得结合数量积可得，再利用余弦定理即可求出的面积.（1），又，，，，，又，，，；（2）设的外接圆的半径为r，则由正弦定理可得：；（3）由余弦定理可得：，，，，又，，即：，结合：，解得：，，．18.如图，是圆的直径，与圆所在的平面垂直，且，为圆周上不与点，重合的动点，，分别为点在线段，上的投影．（1）证明：平面；（2）求三棱锥外接球的表面积；（3）当的面积最大时，求二面角的平面角的大小．答案：（1）因为点在圆的圆周上，为圆O的直径，所以，因为平面，平面，所以，因为，平面，，所以平面，因为平面，所以，因为，，平面，，所以平面．（2）（3）解析：思路：（1）由为直径，可得，再由平面，从而得平面，则，再结合利用线面垂直的判定定理可证得结论；（2）通过线面垂直得到线线垂直，再根据投影可知为的中点，进而得到外接球的半径从而求出外接球的表面积；（3）通过线面垂直得到线线垂直，从而找到二面角，再根据基本不等式得到三角形为等腰直角三角形，从而得出二面角的大小.（1）略（2）因为平面，平面，所以，因为平面，平面，所以，因为为点在上的投影且，所以为的中点，因此，所以三棱锥外接球的半径为，则外接球的表面积为