广东省茂名市2025~2026学年高一下册期末质量抽测数学试卷【附解析】

数学本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数（）A. B. C. D.2.函数的最小正周期为（）A. B. C. D.3.在中，，，，则（）A.135° B.60° C.45° D.30°4.已知平面向量，满足，，且，则（）A. B. C. D.5.已知圆锥的侧面展开图是一个半径为6，圆心角为的扇形，则该圆锥的高为（）A. B.4 C. D.36.已知复数，满足，，则（）A.2 B. C. D.7.已知函数向左平移个单位长度后得到函数，则在区间上的值域为（）A. B. C. D.8.在中，点D满足，且线段DB上存在一点E，使得，则的取值范围为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.设，则（）A. B.C.的虚部是4i D.z在复平面内对应的点位于第三象限10.在直三棱柱中，，M为的中点，则（）A. B.AM与异面C.平面平面 D.平面与平面ABC的交线平行于BC11.声音由物体振动产生的声波形成，日常听到的是复合音．定义n阶复合音函数为，例如，1阶复合音函数为，2阶复合音函数为．结合材料及所学知识，下列说法正确的是（）A.2阶复合音函数的图象关于对称B.3阶复合音函数在区间上单调递增C.，使得D.，，．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知平面向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为______．13.在复平面内，O为坐标原点，点在第二象限，点所对应的复数，是以为斜边的等腰直角三角形，则点所对应的复数______．14.在正四棱台中，，，，M为的三等分点（靠近），则过点M且与直线，BC都平行的平面截棱台所得截面周长为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．15.在平行四边形中，，，，为的中点，点满足．（1）用和表示；（2）求．16.如图，在四棱柱中，底面ABCD为菱形，，，且E，F分别为AB，的中点．（1）求证：平面；（2）求直线EF与平面ABCD所成角的正弦值．17.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．（1）求A；（2）若D为BC的中点，，且外接圆的半径为．（i）求内切圆的半径；（ii）的平分线与BC交于点E，求．18.如图，弹簧挂着一个不考虑半径的小球做上下振动，最高可到达点P，最低可到达点Q，且．开始观察的时间点记为（单位：s），小球相对于参照面l的高度h（单位：cm）与t的相关数据如下表：04693-3069（1）现有以下2个函数模型：模型①：（，，）；模型②：．请选出你认为最符合实际的函数模型（不用说明理由），并求出相应的函数解析式；（2）根据（1）中所选的函数模型，解决下列问题：（i）每分钟小球能往复振动多少次？（ii）从开始观察计时起的前6s内，小球相对于参照面l的高度h不低于6cm的时间有多少s？19.如图1，在三棱锥中，平面ABC，，，S为DC的中点，点P在线段BS上且．（1）求证：平面ABP；（2）如图2，空间O点满足，，且为锐角．（i）求证：；（ii）当θ变化时，求二面角的取值范围．

数学本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据复数的乘法运算化简即可.解答过程：.故选：D2.函数的最小正周期为（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：由，所以最小正周期．3.在中，，，，则（）A.135° B.60° C.45° D.30°答案：C解析：解答过程：由正弦定理得：，代入数据可得，在中，，则，所以．4.已知平面向量，满足，，且，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：由两向量垂直则数量积为展开式子求出，再代入向量夹角余弦公式算出夹角余弦值.解答过程：因为，所以，即，所以．5.已知圆锥的侧面展开图是一个半径为6，圆心角为的扇形，则该圆锥的高为（）A. B.4 C. D.3答案：A解析：解答过程：该圆锥母线长为，扇形弧长（即圆锥底面周长）为，设圆锥底面半径为，则，解得，于是圆锥的高．6.已知复数，满足，，则（）A.2 B. C. D.答案：B解析：思路：法1：由复数模的平方展开关系求；法2：也可利用复数的几何意义，将，及分别表示为平行四边形的两条邻边和一条对角线．解答过程：法1：由题意，由平行四边形恒等式，所以从而，B正确．法2：在复平面内，设复数，对应的点分别为，，以，为邻边作平行四边形．由可得．因此四边形为菱形．又且，所以，该菱形为正方形．因此B正确．7.已知函数向左平移个单位长度后得到函数，则在区间上的值域为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：先根据三角函数的平移变化，得到的表达式，再结合正弦函数的图象性质，即可求得在区间上的值域.解答过程：由题意，，又函数向左平移个单位长度后得到函数，所以，又，所以，根据正弦函数的性质，可得，所以在区间上的值域为．8.在中，点D满足，且线段DB上存在一点E，使得，则的取值范围为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：设，，，结合平面向量基本定理得到，再由二次函数单调性即可求解.解答过程：不妨设，，，则，则，即，则，由平面向量基本定理得：则，由二次函数性质可知，其在单调递减，∴．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.设，则（）A. B.C.的虚部是4i D.z在复平面内对应的点位于第三象限答案：AB解析：解答过程：，对于A，，故A正确；对于B，，故B正确；对于C，，虚部是4，故C错误；对于D，z在复平面内对应的点是，位于第一象限，故D错误.10.在直三棱柱中，，M为的中点，则（）A. B.AM与异面C.平面平面 D.平面与平面ABC的交线平行于BC答案：BCD解析：思路：对于选项A、B判断两条直线异面即可；对于选项C利用面面垂直判定定理判断即可；对于选项D，利用线面平行的性质定理判断即可.解答过程：对于A，在平面内，A不在这个平面内，M在该平面内，因此AM与平面相交，不可能平行，A错误；对于B，如图，平面，平面，，平面，故AM与异面直线，B正确；对于C，在直三棱柱中，，由，得，而平面，则平面，又平面，因此平面平面，C正确；对于D，在直三棱柱中，，平面，不在平面内，则平面，平面ABC，故平面与平面ABC的交线平行于BC，D正确．11.声音由物体振动产生的声波形成，日常听到的是复合音．定义n阶复合音函数为，例如，1阶复合音函数为，2阶复合音函数为．结合材料及所学知识，下列说法正确的是（）A.2阶复合音函数的图象关于对称B.3阶复合音函数在区间上单调递增C.，使得D.，，．答案：ABD解析：思路：选项A，利用对称中心的定义判定即可；选项B，可根据三个基础函数在上单调递增，那么这三个函数的和函数在上也单调递增；选项C，构造函数，求函数的值域即可；选项D，利用不等式放缩即可.解答过程：对于A选项：，则2阶复合音函数的图象关于对称，A正确；对于B选项：由于在上单调递增，在上单调递增，在上单调递增，故在上单调递增，B正确；对于C选项,，令，，平方可得：，代入上式得，而，由二次函数性质得到，即恒成立，C错误；对于D选项：对于，注意到，故仅考虑的情形，此时，即，故，D正确．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知平面向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为______．答案：解析：思路：由投影向量的计算公式即可求解.解答过程：向量在向量上的投影向量的坐标为：．13.在复平面内，O为坐标原点，点在第二象限，点所对应的复数，是以为斜边的等腰直角三角形，则点所对应的复数______．答案：解析：思路：设，因在第二象限，故，再根据，解方程即可求得答案.解答过程：如图，由知，由是以为斜边的等腰直角三角形得，设，因在第二象限，故，所以，，将代入得：，解得(舍去负根)，则，所以，14.在正四棱台中，，，，M为的三等分点（靠近），则过点M且与直线，BC都平行的平面截棱台所得截面周长为______．答案：解析：思路：先根据平行关系作出截面，再利用相似关系求截面的两条底边，并在侧面等腰梯形中求角，最后由余弦定理求截面的腰长．解答过程：连接．过点作∥，交于点；过点作∥，交于点；过点作∥，交于点，连接．因为∥，∥∥∥，且，是平面内的两条相交直线，所以平面∥平面．平面内含直线，且∥，故平面与直线，都平行，四边形即为所求截面．点为上靠近的三等分点，所以在三角形中，∥，所以，从而由，得在等腰梯形中，∥，且，所以又因为∥，且，分别在正方形的边，上，所以设等腰梯形的高为，则因此因为为锐角，所以，进而正四棱台的相邻侧面全等，故在三角形中，由余弦定理，代入，，得所以由正四棱台的对称性，．因此截面周长为四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．15.在平行四边形中，，，，为的中点，点满足．（1）用和表示；（2）求．答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据题意得，，再根据求解即可；（2）由题知，再结合已知条件，根据向量数量积的运算律求解即可.（1）解：在平行四边形中，∵E为CD的中点，∴．∵，∴，∴．（2）解：由题意知，结合（1）得因为，，，所以，，，所以．16.如图，在四棱柱中，底面ABCD为菱形，，，且E，F分别为AB，的中点．（1）求证：平面；（2）求直线EF与平面ABCD所成角的正弦值．答案：（1）证明：连接，，由条件可知四边形为平行四边形，而F为的中点，故F为的中点．∵E为AB的中点，∴EF为的中位线，即．∵平面，平面，∴平面．（2）解析：思路：（1）运用三角形中位线，找到相应的平行线，即可证明；（2）过F作于点N，证明是底面垂线，然后结合条件求解即得.（1）略．（2）连接DE，，，过F作于点N．设，则由条件及余弦定理可得，故，均为等边三角形．∵E为AB的中点，∴，．∵，∴平面．∵平面，∴，∵，∴平面ABD，∴为直线EF与平面ABCD所成角．由于，故为等腰三角形，即，而，则，故，则直线EF与平面ABCD所成角的正弦值为．17.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．（1）求A；（2）若D为BC的中点，，且外接圆的半径为．（i）求内切圆的半径；（ii）的平分线与BC交于点E，求．答案：（1）（2）（i）；（ii）解析：思路：（1）先利用三角形内角和将转化为，再展开两角和差正弦公式化简，提取后由求出，结合角范围得到角的值；（2）（i）先由正弦定理求出边长，分别借助余弦定理、邻补角余弦互为相反数建立关于的方程组解出与，再结合三角形面积两种表达形式算出内切圆半径；（ii）法1，先用面积法求出角平分线长度，由角平分线分对边比例公式得到长，算出，最后在中用余弦定理求出；法2，先由、得到、两组解并设，利用角平分线面积比推出与的长度比，算出和中线的长度，相减得，最后在中用余弦定理求出.（1）因为且，所以，展开得，即．因为，所以，因为，所以．（2）（2）（i）设三角形外接圆的半径为R，内切圆的半径为r，由正弦定理可知，因为外接圆的半径为，，可得，由余弦定理可得．①因为，且，所以，即．②联立①②，可得，，由，可得．（ii）因为，AE为的平分线，所以，所以．因为AE为的平分线，所以，故，即，，，因为，，所以或，所以，所以在中，由余弦定理得，因为，所以．另法：因为，，所以或，假设，则，因为AE为的平分线，所以，故，所以，，所以，所以在中，由余弦定理得，因为，所以.18.如图，弹簧挂着一个不考虑半径的小球做上下振动，最高可到达点P，最低可到达点Q，且．开始观察的时间点记为（单位：s），小球相对于参照面l的高度h（单位：cm）与t的相关数据如下表：04693-3069（1）现有以下2个函数模型：模型①：（，，）；模型②：．请选出你认为最符合实际的函数模型（不用说明理由），并求出相应的函数解析式；（2）根据（1）中所选的函数模型，解决下列问题：（i）每分钟小球能往复振动多少次？（ii）从开始观察计时起的前6s内，小球相对于参照面l的高度h不低于6cm的时间有多少s？答案：（1）选择模型①，．（2）（i）15次；（ii）.解析：思路：（1）结合小球运动形式及初始位置可得函数可以更好地刻画与之间的对应关系，再利用所给数据表格计算即可得函数解析式；（2）（i）计算出周期后，利用周期与频率关系计算即可得；（ii）令，利用正弦函数性质求解即可.（1）选择模型①，．由于，则，又根据数据可知，且，故，所以，由，，得，所以．（2）（i）因为，所以每分钟小球能往复振动次．（ii）从开始观察计时起的前6s内，小球相对于参照面l的高度h不低于6cm，即时，，所以，故，，故，，又，故，1，则，所以持续时间为．19.如图1，在三棱锥中，平面ABC，，，S为DC的中点，点P在线段BS上且．（1）求证：平面ABP；（2）如图2，空间O点满足，，且为锐角．（i）求证：；（ii）当θ变化时，求二面角的取值范围．答案：（1）证明：连接AS，由平面ABC，则，．由且，可得为等腰直角三角形．又S为DC的中点，故．而，且，又平面，平面，所以平面DAC，又平面，故，又，平面，平面，所以平面，即平面.（2）（i）证明：由（1）可知，而，，于是，故．同理可得，即．而，又，，所以平面DAC，于是，即O在平面ABS内且，在中，由于，且，则，而，则，因此．（ii）解析：思路：（1）根据线面平行证明平面DAC，得到，即平面ABP得证；（2）（i）由勾股定理得和，故平面DAC，因，即，根据与三角形面积公式化简得，则，即可证得．（ii）方法一：根据线面垂直判定定理得平面OHS，故二面角C－AD－O的平面角γ为，则，则．记二面角P－AD－O、二面角P－AD－C的平面角分别为α，β，由条件可知．过P作于点I，过I作于点K