广东省梅州市梅县区2025~2026学年高二下册普通高中供题训练数学试卷【附解析】

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.学校社团招新，其中有5个不同的文艺类社团、7个不同的体育类社团和6个不同的科技类社团．甲同学从这些社团中选择一个加入，不同的选法有（）A.3种 B.7种 C.18种 D.210种2.由甲、乙两个车间生产的一批产品中，甲车间出品占70%，次品率为4%，乙车间出品占30%，次品率为2%，从这批产品中任取1件，取到次品的概率为（）A.0.034 B.0.03 C.0.036 D.0.0323.根据4对数据，，，绘制的散点图显示，样本点呈直线趋势，且经验回归方程为，则（）A.2 B.3 C. D.44.已知随机变量，且，则（）A.0.1 B.0.2 C.0.4 D.0.85.已知函数的图象如图所示，是的导函数，则不等式的解集为（）A. B.C. D.6.若关于x的不等式的解集中恰有4个整数，则a的取值范围为（）A. B. C. D.7.从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数中任取三个不同的数，记事件“至少有一个数为3的倍数”，事件“这三个数之和为3的倍数”，则（）A. B. C. D.8.已知函数与满足，，，现有下列四个结论：①；②；③；④．其中一定成立的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.4二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列命题为真命题的是（）A.若，则B.若，，则C.若，，则D.若，，则10.已知二项式展开式中的二项式系数之和是64，则（）A. B.C.展开式中含的项的系数为 D.展开式中系数最大的项是第5项11.设函数，则下列结论正确的是（）A.若，则在上单调递增B.若在上单调递增，则C.若，则D.若，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.一个质点P在水平路径上运动，其位移y（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为，则在这段时间里，质点P的平均速度为_______m/s．13.已知是函数图象上的点，是函数图象上的点，且轴，则的最小值为_______．14.某公交车乘车路线途经A，B，C三站，已知共有6名乘客在这三站中随机选择一站下车，另共有其他4名乘客在这三站中随机选择一站上车，若在这三站中每一站都有上车的乘客和下车的乘客，且每站下车的乘客数不少于上车的乘客数，则这10名乘客在这三站中不同的上、下车的乘车种数为_______（用数字作答）．四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.为研究学生参加艺术兴趣班和审美素养的关系，某学校随机调查了200名学生，得到如下的列联表：单位：人艺术兴趣班审美素养合计良好一般参加7030100未参加4555100合计11585200（1）记参加艺术兴趣班的学生审美素养良好的概率为p，求p的估计值；（2）依据小概率值的独立性检验，判断学生的审美素养是否与参加艺术兴趣班有关．附：，0.0500.0100.0013.8416.63510.82816.已知（且）是定义域内的奇函数.（1）求的值；（2）若，求不等式的解集.17.已知函数．（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）讨论的单调性；（3）若有3个零点，求a的取值范围．18.已知函数．（1）当时，求的极值；（2）若，，求a的取值范围；（3）当时，证明：．19.现有两箱零件，第一箱共12件，含2件次品；第二箱共24件，含3件次品．（1）若从第一箱中取出3件零件，记取出的次品件数为，求的分布列和数学期望．（2）规定游戏规则：每次从箱子中有放回地抽取1件零件；初始时，等可能选择第一箱、第二箱；抽取过程中，若本次抽到次品，下一次就更换箱子进行抽取；若本次抽到正品，下一次继续在当前箱子中抽取．①求第一次抽取时，抽到次品的概率；②设表示第次抽取时抽到次品的概率，求．

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.学校社团招新，其中有5个不同的文艺类社团、7个不同的体育类社团和6个不同的科技类社团．甲同学从这些社团中选择一个加入，不同的选法有（）A.3种 B.7种 C.18种 D.210种答案：C解析：解答过程：，故不同的选法有种.2.由甲、乙两个车间生产的一批产品中，甲车间出品占70%，次品率为4%，乙车间出品占30%，次品率为2%，从这批产品中任取1件，取到次品的概率为（）A.0.034 B.0.03 C.0.036 D.0.032答案：A解析：解答过程：任取1件，这件产品来自甲车间为事件A，这件产品为次品为事件B，则，，，，可得，故取到次品的概率为.3.根据4对数据，，，绘制的散点图显示，样本点呈直线趋势，且经验回归方程为，则（）A.2 B.3 C. D.4答案：B解析：思路：借助经验回归直线必过样本中心点即可得.解答过程：因为，，故，解得.4.已知随机变量，且，则（）A.0.1 B.0.2 C.0.4 D.0.8答案：D解析：思路：借助正态分布的对称性计算即可得.解答过程：由，得.5.已知函数的图象如图所示，是的导函数，则不等式的解集为（）A. B.C. D.答案：C解析：解答过程：由图象可知，在和上单调递减，在上单调递增，则当时，，当时，，因此表示与同号，当时，只有时，，当时，只有时，，则的解集为.6.若关于x的不等式的解集中恰有4个整数，则a的取值范围为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据题意讨论的符号，结合整数解个数构造不等式，解不等式求a的取值范围．解答过程：若时，不等式，解集为，有无数个整数解，不符合题意；若时，开口向下，的解集为两侧无限区间，有无穷多个整数解，不符合题意；故，开口向上，，对应方程两根为：，由得，故不等式解集为：，则4个整数解为，故，解得，故a的取值范围为．7.从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数中任取三个不同的数，记事件“至少有一个数为3的倍数”，事件“这三个数之和为3的倍数”，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：对按除以3余数分3类，分别求出满足事件的样本数，满足的样本数，进而求出．解答过程：按除以3余数分3类，余数0：3，6，9，共3个；余数1：1，4，7，共3个；余数2：2，5，8，共3个，事件“至少有一个数为3的倍数”，总选法为种；“这三个数都不是3的倍数”，选法为种；则满足事件的样本数为，事件：“至少有一个3的倍数，且3个数之和为3的倍数”：三个同余，共种；三个余数各不同，共种；其中无3的倍数且和为3的倍数的情况为“都余1”和“都余2”，共2种，故满足的样本数为，故．8.已知函数与满足，，，现有下列四个结论：①；②；③；④．其中一定成立的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.4答案：C解析：思路：借助赋值法，令可得①；举出反例可得②；令可得③；令，结合③中所得可得，则，计算可得，即可得④.解答过程：对①：令，则，由，故，故①正确；对②：取，，此时符合题意，但，故②错误；对③：令，则，当时，有，当时，有，符合，综上可得，故③正确；对④：令，可得，则，又，则，即，则，则，故，故④正确；综上可得：①、③、④正确，②错误，故其中一定成立的个数是个.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列命题为真命题的是（）A.若，则B.若，，则C.若，，则D.若，，则答案：BC解析：解答过程：对于Ａ选项，取，，则，A不正确.对于Ｂ选项，因为，所以，因为，所以，B正确.对于Ｃ选项，因为，，所以，则正确.对于Ｄ选项，取，，，则，故D不正确.10.已知二项式展开式中的二项式系数之和是64，则（）A. B.C.展开式中含的项的系数为 D.展开式中系数最大的项是第5项答案：BCD解析：思路：先根据二项式系数之和的性质求出的值，再利用二项展开式的通项公式计算指定项的系数，最后利用作商法求出展开式中系数的增减性，即可判断系数最大的项.解答过程：对A、B：由题意可得，解得，故A错误，B正确；对C：对有，有，即展开式中含的项的系数为，故C正确；对D：展开式中第项的系数，，令，解得，即，故且，即展开式中系数最大的项是第项，故D正确.11.设函数，则下列结论正确的是（）A.若，则在上单调递增B.若在上单调递增，则C.若，则D.若，则答案：BC解析：思路：对于A选项，代入对应参数，根据指数函数本身单调性性质即可判断；对于B选项，对函数进行求导，结合函数单调性与函数导数性质，即可求解参数范围；对于C选项，将函数不等式问题，转化为函数单调性问题，即可求解参数值；对于D选项，结合函数单调性与函数值间的联系即可判断；解答过程：对于A选项，因为的定义域为，由，得在上单调递增，A不正确.对于B选项，，由在上单调递增，得在上恒成立，则在上恒成立.令，则在上恒成立，则在上单调递增，从而，B正确.对于C选项，可知函数在上单调递增，若，则，则在上单调递增.由，可得当时，，不符合题意.若，则存在，使得，此时在上单调递减，在上单调递增，由，可得，则，解得，C正确.对于D选项，由，可得，则在上单调递减，在上单调递增.取，则，即在上单调递减，在上单调递增，则，D不正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.一个质点P在水平路径上运动，其位移y（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为，则在这段时间里，质点P的平均速度为_______m/s．答案：解析：解答过程：，即质点P的平均速度为.13.已知是函数图象上的点，是函数图象上的点，且轴，则的最小值为_______．答案：解析：思路：由轴得、两点纵坐标相等，将、用公共纵坐标表示，结合对数运算性质化简后利用基本不等式求最小值.解答过程：由题意可得、两点纵坐标相等，设，则，，故，，则，当且仅当时，等号成立，即的最小值为.14.某公交车乘车路线途经A，B，C三站，已知共有6名乘客在这三站中随机选择一站下车，另共有其他4名乘客在这三站中随机选择一站上车，若在这三站中每一站都有上车的乘客和下车的乘客，且每站下车的乘客数不少于上车的乘客数，则这10名乘客在这三站中不同的上、下车的乘车种数为_______（用数字作答）．答案：12960解析：思路：首先根据已知条件确定上车人数分布为一站上车2人其余两站各上车1人，然后计算单种上车站位对应的下车方案数，根据乘法原理相乘，最后再根据对称性汇总所有乘车种数.解答过程：设第i站下车人数为，上车人数为，则：，且，，且，，因为，且，所以只有2,1,1一种分布类型，即一站上车2人其余两站各上车1人，若A站上车2人，B站、C站各上车1人，则上车共有种分配方式，下车人数的约束条件为，，且，令，，，则当下车人数分布为时，下车种数为；当下车人数分布为3,2,1、3,1,2、2,3,1、2,1,3时，下车种数为；当下车人数分布为2,2,2时，下车种数共有，所以下车共有种方案，此时A站上车2人，B站、C站各上车1人的总方案数为.因为可以在A站、B站、C站任意一站上车2人，共3种选择，由对称性知每种情况均为4320种，总乘车种数为.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.为研究学生参加艺术兴趣班和审美素养的关系，某学校随机调查了200名学生，得到如下的列联表：单位：人艺术兴趣班审美素养合计良好一般参加7030100未参加4555100合计11585200（1）记参加艺术兴趣班的学生审美素养良好的概率为p，求p的估计值；（2）依据小概率值的独立性检验，判断学生的审美素养是否与参加艺术兴趣班有关．附：，0.0500.0100.0013.8416.63510.828答案：（1）（2）有关解析：思路：（1）用参加艺术兴趣班且审美素养良好的频率作为概率的估计值；（2）代入卡方公式计算统计量，与对应的临界值比较，判断是否拒绝零假设.（1）；（2）提出零假设：学生的审美素养与参加艺术兴趣班无关，则，故拒绝零假设，即依据小概率值α=0.001的独立性检验，推断学生的审美素养与参加艺术兴趣班有关.16.已知（且）是定义域内的奇函数.（1）求的值；（2）若，求不等式的解集.答案：（1）（2）.解析：思路：（1）根据奇函数定义，即可求解参数值；（2）利用函数单调性，将函数不等式问题转化为自变量大小关系问题，即可求解；（1）（方法一）易知的定义域为，关于原点对称.因为是定义域内的奇函数，所以，则，得.（方法二）易知的定义域为，关于原点对称.因为是定义域内的奇函数，所以，解得.经检验，当时，是奇函数，故.（2）由（1）可知，.由，，解得，则是上的增函数.由，得.因为是上的增函数，所以，即.令，易得是上的增函数，且，所以由可得，则原不等式的解集为.17.已知函数．（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）讨论的单调性；（3）若有3个零点，求a的取值范围．答案：（1）（2）当时，时，，单调递增；时，，单调递减；当时，时，，单调递减；时，，单调递增；当时，时，，单调递增；时，，单调递减；当时，在上单调递增；当时，时，，单调递增；时，，单调递减．（3）解析：思路：（1）求导，利用导数的几何意义求出切线斜率，进而求出切线方程；（2）求导，求出零点，按分情况讨论，求出单调区间；（3）时，，得出为1个零点，则，等价于有两个不等于1的实根，进而结合零点个数求出的范围．（1）当时，，，故切点为，求导得，切线斜率，故切线方程为．（2）求导得，令，得零点和，当时，，零点为，时，，单调递增；时，，单调递减；当时，二次函数开口向下，且，时，，单调递减；时，，单调递增；当时，二次函数开口向上，且，时，，单调递增；时，，单调递减；当时，恒成立，在上单调递增；当时，二次函数开口向上，且，时，，单调递增；时，，单调递减．（3）时，，故恒为零点，故，有3个零点，等价于有两个不等于1的实根，则，且，解得，将代入二次方程，则，解得，综上，a的取值范围为．18.已知函数．（1）当时，求的极值；（2）若，，求a的取值范围；（3）当时，证明：．答案：（1）极小值，；无极大值（2）（3）要证，时，，即证，由（1）知，；则需证明，即，令，求导得，令，则，故单调递增，又，故时，，单调递减；时，，单调递增；故，即，故，故，即，命题得证．解析：思路：（1）求导，利用导数分析函数单调性和极值点，进而求出极值；（2）利用已知条件构造不等式，利用换元法，分