广东省汕头市潮阳区棉城中学2025~2026学年高三上册期初考试数学试卷【附解析】

数学考试时间：120分钟第I卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.不等式的解集为（）A. B.C.或 D.或4.设命题，则为（）A. B.C. D.5.已知，，且，则的最大值为（）A. B. C.1 D.6.已知，，是空间中的三条直线，且，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件7.为了得到函数的图象，只需将函数的图象上各点（）A.向右平移个单位长度 B.向左平移个单位长度C.向右平移个单位长度 D.向左平移个单位长度8.已知函数，令，则下列说法正确的是（）A.函数的增区间为B.当有3个零点时，C.当时，的所有零点之和为D.当时，有1个零点二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.某汽车4S店在周末举行新车发布会，并向所有到场的观众发放了一份相关的问卷．该发布会结束后，共收回问卷300份．据统计，这300份问卷的得分（满分为100分）近似服从正态分布，下列说法正确的是（）附：若，则，，．A.这300份问卷得分数据的期望是82，标准差是36B.这300份问卷中得分超过88分的约有48份C.D.若在其他4S店举行该发布会并发放问卷，得到的问卷得分数据也服从正态分布10.如图所示，棱长为3的正方体中，E，F分别在，上，且则（）A.B.C.D.与是异面直线11.设函数，则（）A.是的极小值点 B.当时，C.当时， D.当时，第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分.12.已知，则________．13.已知数列为公差为的等差数列，且、、依次成等比数列，则__________．14.的展开式中，含项的系数为__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，在中，是边上一点，.（1）求的大小；（2）求的长.16.为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1000人，得到如下列联表：超声波检查结果组别正常不正常合计患该疾病20180200未患该疾病78020800合计8002001000（1）记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为p，求p的估计值；（2）根据小概率值的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关.附，0.0500.0100.0013.8416.63510.82817.如图，三棱锥中，，，，．（1）求证：；（2）求侧面与底面所成二面角的正切值．18.记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．（1）求的通项公式；（2）证明：．19.已知和为椭圆上两点.（1）求C的离心率;（2）若过P的直线交C于另一点B，且的面积为9，求的方程．

数学考试时间：120分钟第I卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：由交集的概念即可得解.解答过程：已知集合，，则.故选：A.2.在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案：D解析：思路：先求出复数的共轭复数，然后可求出共轭复数对应的点所在的象限.解答过程：因为，所以，所以在复平面对应的点位于第四象限.故选：D3.不等式的解集为（）A. B.C.或 D.或答案：C解析：思路：把原不等式两边同时乘以，把二次项系数化为正值，因式分解后可求得一元二次不等式的解集．解答过程：由得，即，解得或，所以不等式的解集为或．故选：C4.设命题，则为（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：根据全称命题的否定可得出命题的否定.解答过程：命题，则．故选：C．5.已知，，且，则的最大值为（）A. B. C.1 D.答案：A解析：思路：根据基本不等式即可求得的最大值.解答过程：因为，，根据基本不等式可得，所以.当时，取最大值.故选：A.6.已知，，是空间中的三条直线，且，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：B解析：思路：根据空间中垂直和平行的性质及充分条件、必要条件、充要条件的定义分析判断即可.解答过程：若，，则，可以异面、平行或相交，故由推不出，若，，根据平行线的性质，则，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B.7.为了得到函数的图象，只需将函数的图象上各点（）A.向右平移个单位长度 B.向左平移个单位长度C.向右平移个单位长度 D.向左平移个单位长度答案：C解析：思路：运用函数图象平移规律“左加右减”即可解决.解答过程：因为，所以只需将函数的图象上各点向右平移个单位长度，即可得到函数的图象.故选：C8.已知函数，令，则下列说法正确的是（）A.函数的增区间为B.当有3个零点时，C.当时，的所有零点之和为D.当时，有1个零点答案：D解析：思路：作出函数图象，数形结合判断函数单调区间和零点个数.解答过程：函数，结合二次函数和对数函数的图像和性质，作函数的图象如图所示，由图象可知，函数的增区间为和，A选项错误；的零点，是函数和图象交点的横坐标，由图象可知，当有3个零点时，，B选项错误；解方程可知，当时，有两个零点，和，所有零点之和为，C选项错误；当时，函数和的图象有1个交点，即有1个零点，D选项正确.故选：D二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.某汽车4S店在周末举行新车发布会，并向所有到场的观众发放了一份相关的问卷．该发布会结束后，共收回问卷300份．据统计，这300份问卷的得分（满分为100分）近似服从正态分布，下列说法正确的是（）附：若，则，，．A.这300份问卷得分数据的期望是82，标准差是36B.这300份问卷中得分超过88分的约有48份C.D.若在其他4S店举行该发布会并发放问卷，得到的问卷得分数据也服从正态分布答案：BC解析：思路：根据正态分布可得期望和方差，利用参考数据及对称性可判断其它选项.解答过程：由题意知，该问卷得分数据服从正态分布，可得数据的期望是，方差是，标准差是，所以A错误；由，可得300×0.1585≈48，所以该问卷中得分超过88分的约有48份，所以B正确；由正态分布概率密度曲线的对称性，可得，所以C正确；由同一份问卷发放到不同4S店，得到的数据不一定相同，所以D错误．故选：BC．10.如图所示，棱长为3的正方体中，E，F分别在，上，且则（）A.B.C.D.与是异面直线答案：AC解析：思路：建立空间直角坐标系，应用空间向量判断位置关系.解答过程：如图，以为原点所在直线为轴建立空间直角坐标系，则，对A，，即，A正确；对B，，B错误；对C，，则C正确，D错误.故选：AC11.设函数，则（）A.是的极小值点 B.当时，C.当时， D.当时，答案：ACD解析：思路：求出函数的导数，得到极值点，即可判断A；利用函数的单调性可判断B；根据函数在上的值域即可判断C；直接作差可判断D.解答过程：对A，因为函数的定义域为R，而，易知当时，，当或时，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故是函数的极小值点，正确；对B，当时，，所以，而由上可知，函数在上单调递增，所以，错误；对C，当时，，而由上可知，函数在上单调递减，所以，即，正确；对D，当时，，所以，正确；故选：ACD.第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分.12.已知，则________．答案：##0.5解析：思路：利用指数函数，对数函数的运算性质求解即可．解答过程：因为，所以，则.故答案为：.13.已知数列为公差为的等差数列，且、、依次成等比数列，则__________．答案：解析：思路：根据题意得出，结合题意可得出关于的方程，求出的值，即可得出的值.解答过程：因为数列为公差为的等差数列，由题意可得，即，解得，故.故答案为：.14.的展开式中，含项的系数为__________.答案：55解析：思路：将原式拆解成两个二项式的和，借助于通项的分析即得.解答过程：，因二项式的通项为，则的展开式中含项的系数为；对于，只需求其中的展开式含项的系数，即.故的展开式中，含项的系数为.故答案为：55.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，在中，是边上一点，.（1）求的大小；（2）求的长.答案：（1）；（2）8.解析：思路：（1）直接根据余弦定理可求得结果；（2）根据正弦定理可求得结果.解答过程：（1）在中，，由余弦定理可得：..（2），在中，由正弦定理，得，即，解得.16.为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1000人，得到如下列联表：超声波检查结果组别正常不正常合计患该疾病20180200未患该疾病78020800合计8002001000（1）记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为p，求p的估计值；（2）根据小概率值的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关.附，0.0500.0100.0013.8416.63510.828答案：（1）（2）有关解析：思路：（1）根据古典概型的概率公式即可求出；（2）根据独立性检验的基本思想,求出,然后与小概率值对应的临界值比较,即可判断.（1）根据表格可知，检查结果不正常的人中有人患病，所以的估计值为；（2）零假设为：超声波检查结果与患病无关，根据表中数据可得，，根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为超声波检查结果与患该病有关，该推断犯错误的概率不超过.17.如图，三棱锥中，，，，．（1）求证：；（2）求侧面与底面所成二面角的正切值．答案：（1），,又，且平面平面，又平面,（2）.解析：思路：（1）由线面垂直的判定定理证得平面，再根据线面垂直的性质即可得证；（2）作，连接，证得为平面与平面所成角，再求的正切值即可.（1）略（2）作，连接，，，,平面平面，又平面,平面平面，为平面与平面所成角，在中，，，，根据勾股定理可得：，由三角形面积公式，可得，，所以侧面与底面所成二面角的正切值为.18.记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．（1）求的通项公式；（2）证明：．答案：（1）（2）证明：∴解析：思路：（1）利用等差数列的通项公式求得，得到，利用和与项的关系得到当时，,进而得：，利用累乘法求得，检验对于也成立，得到的通项公式；（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到，进而证得.（1）∵，∴,∴,又∵是公差为的等差数列，∴,∴,∴当时，，∴,整理得：,即,∴，显然对于也成立，∴的通项公式；（2）略19.已知和为椭圆上两点.（1）求C的离心率;（2）若过P的直线交C于另一点B，且的面积为9，求的方程．答案：（1）（2）直线的方程为或.解析：思路：（1）代入两点得到关于的方程，解出即可；（2）方法一：以为底，求出三角形的高，即点到直线的距离，再利用平行线距离公式得到平移后的直线方程，联立椭圆方程得到点坐标，则得到直线的方程；方法二：同法一得到点到直线的距离，再设，根据点到直线距离和点在椭圆上得到方程组，解出即可；法三：同法一得到点到直线的距离，利用椭圆的参数方程即可求解；法四：首先验证直线斜率不存在的情况，再设直线，联立椭圆方程，得到点坐标，再利用点到直线距离公式即可；法五：首先考虑直线斜率不存在的情况，再设，利用弦长公式和点到直线的距离公式即可得到答案；法六：设线法与法五一致，利用水平宽乘铅垂高乘表达面积即可.（1）由题意得，解得，所以.（2）法一：，则直线的方程为，即，，由（1）知，设点到直线的距离为，则，则将直线沿着与垂直的方向平移单位即可，此时该平行线与椭圆的交点即为点，设该平行线的方程为：，则，解得或，当时，联立，解得或，即或，当时，此时，直线的方程为，即，当时，此时，直线的方程为，即，当时，联立得，，此时该直线与椭圆无交点.综上直线的方程为或.法二：同法一得到直线的方程为，点到直线的距离，设，则，解得或，即或，以下同法一.法三：同法一得到直线的方程为，点到直线的距离，设，其中，则有，联立，解得或，即或，以下同法一