广东省汕尾市2025~2026学年高一下册期末教学质量监测数学试卷【附解析】

数学本试题共4页，考试时间120分钟，满分150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.函数的定义域为（）A. B.C.R D.2.下列各组物理量中，全部为向量的是（）A.质量、位移、温度 B.速度、弹力、加速度C.路程、重力、压强 D.功、速率、摩擦力3.对任意的，都有恒成立，则复数是（）A.实数 B.纯虚数C.实部与虚部相等的复数 D.零4.全集，集合，，若，则（）A. B.C. D.5.已知直线l，m，平面，，下列命题正确的是（）A.若，，则B.若，，，则C.若，，则D.若，，则6.已知，且，则（）A. B.C.2 D.7.已知定义域为的函数满足，且当时，，，若与在的图象有且仅有一个公共点，则以下可以满足要求的k值为（）A.1 B.C.2 D.8.若实数x，y，z满足，则x，y，z的大小关系不可能是（）A. B.C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.复数，，复数，在复平面内对应的向量分别为，，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.对应的点在第二象限10.如图，在四边形中，E，F分别为，的中点，．设，，则下列命题正确的是（）A. B.C. D.11.已知函数，设，则下列选项中正确的是（）A.的最小正周期为 B.在上单调递增C.在上有4个零点 D.的最大值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.在中，，，，则_________．13.某长方体工件用斜二测画法得到的水平放置的直观图如图所示．已知在直观图中，，，现要在工件外表面开浅表通槽（槽深忽略不计，槽线贴合工件表面），槽道连通一条体对角线的两个顶点，则槽道的最短长度为_________．14.平面内不共线的三点O，A，B满足，，且，则的面积为________.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（1）已知，，求及的值．（2）在中，已知，是关于x的方程的两个实根，求C．16.（1）已知函数，，判断的奇偶性．（2）是奇函数，求的值，并判断函数的单调性．17.如图，已知a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，且．（1）求A．（2）若，且，求的面积．（3）在（2）的条件下，设D为的中点，求的长度．18.如图，一个密封长方体形状的容器中盛有水，E为容器上底面内任意一点，在平面内过点E画一条直线l，使得．（1）为使得，请简要写出作图步骤，并证明所作直线．（2）已知，．若点E在上，且，点M在上，且．现将容器倾斜，此时容器内水面恰好同时经过点和M，且水面与直线l平行．设水面与平面的交线为m，求异面直线l与m所成角的余弦值．19.如图，设，是平面内相交角为的两条射线，，分别为，同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记．（1）向量在方向上的投影为，在方向上投影为2，求．（2）已知，，存在实数，满足．①求，．②记，求证：，不可能与垂直．（3）若，在正半轴上，在正半轴上，，，F为的中点，M为的中点，N为的中点，求的最大值．

数学本试题共4页，考试时间120分钟，满分150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.函数的定义域为（）A. B.C.R D.答案：C解析：思路：根据根式有意义及一元二次不等式的解法求解即可.解答过程：由题意知，，又恒成立，所以函数的定义域为.2.下列各组物理量中，全部为向量的是（）A.质量、位移、温度 B.速度、弹力、加速度C.路程、重力、压强 D.功、速率、摩擦力答案：B解析：解答过程：对于A，质量和温度只有大小没有方向，属于标量，故A错误；对于B，速度、弹力、加速度均同时具有大小和方向，属于向量，故B正确；对于C，路程和压强只有大小没有方向，属于标量，故C错误；对于D，功和速率只有大小没有方向，属于标量，故D错误.3.对任意的，都有恒成立，则复数是（）A.实数 B.纯虚数C.实部与虚部相等的复数 D.零答案：A解析：解答过程：设，则，若，则，即，化简得，所以，所以且，因为对任意的，都有恒成立，所以时，且，所以，所以复数是实数.4.全集，集合，，若，则（）A. B.C. D.答案：B解析：解答过程：，集合是全体实数集，即所有虚部为0的复数构成的集合；就是所有虚部不为0的复数构成的集合.，，，解得.5.已知直线l，m，平面，，下列命题正确的是（）A.若，，则B.若，，，则C.若，，则D.若，，则答案：C解析：解答过程：对于选项A，若，，根据面面平行的性质，可以推出，而不是，故选项A错误；因为，所以两个平面没有公共点，又，，所以直线与直线平行或异面，故选项B错误；对于选项C，根据两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面，故选项C正确；对于选项D，若，，则或，故选项D错误.6.已知，且，则（）A. B.C.2 D.答案：A解析：解答过程：已知，因为余弦函数是偶函数，则，又根据诱导公式：，则，又，则，由半角公式可得：，根据诱导公式并代入数值得：，A正确.7.已知定义域为的函数满足，且当时，，，若与在的图象有且仅有一个公共点，则以下可以满足要求的k值为（）A.1 B.C.2 D.答案：C解析：思路：根据题意分析可知，，，令，，可得与在的图象有且仅有一个公共点，结合图象分析求解即可.解答过程：由题意可知：，，令，可得，即；令，可得，即，可知函数为定义域为的奇函数，可得，，，依次类推：可得，，又因为，，综上所述：，，当时，令，可得，即，对任意有理数，，且，可得，所以，.因为与在的图象有且仅有一个公共点，令，，可得与在的图象有且仅有一个公共点，令，即，令，解得，此时的解为，即与切于点，由图象可知：，结合选项可知ABD错误，C正确.8.若实数x，y，z满足，则x，y，z的大小关系不可能是（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：根据对数的运算、指数与对数的互化、单调性，结合赋值法判断即可.解答过程：设，则，，.对于A，当时，，，，则，A有可能.对于B，当时，，，，则，B有可能.对于C，要满足，即，同时取对数得，则.当时，会非常小；当足够小时，比衰减慢，会出现；如时，，，，因为，，，所以，易得，，所以，故，C可能.对于D，若，则必有和．由，得若，则，从而，矛盾，所以．由，得若，则矛盾，所以．这与矛盾，因此不可能出现．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.复数，，复数，在复平面内对应的向量分别为，，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.对应的点在第二象限答案：AB解析：解答过程：由题意得，，则，故A正确；，故B正确；，故C错误；，对应的点在第四象限，故D错误.10.如图，在四边形中，E，F分别为，的中点，．设，，则下列命题正确的是（）A. B.C. D.答案：BC解析：思路：由图形结合向量加减法结合题设可判断选项正误.解答过程：对于A，，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，如图取中点为，连接，则，故C正确；对于D，，题目条件中未提及，则选项所涉等式不一定相等，故D错误.11.已知函数，设，则下列选项中正确的是（）A.的最小正周期为 B.在上单调递增C.在上有4个零点 D.的最大值为答案：ACD解析：思路：先求出，再利用积化和差公式对展开化简，利用余弦函数周期性判断选项A；利用函数单调性，判断选项B；根据零点的性质，判断选项C；利用余弦函数值域判断选项D．解答过程：，则，，选项A：的周期为，故A正确；选项B：当时，，则在递减，在递增，故在内先单调递减，后单调递增，故B错误；选项C：令，则，解得，在上有，共4个零点，故C正确；选项D：的最大值为，故D正确．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.在中，，，，则_________．答案：2解析：解答过程：由余弦定理得：，即，化简得：，解得（舍去）.13.某长方体工件用斜二测画法得到的水平放置的直观图如图所示．已知在直观图中，，，现要在工件外表面开浅表通槽（槽深忽略不计，槽线贴合工件表面），槽道连通一条体对角线的两个顶点，则槽道的最短长度为_________．答案：解析：思路：根据斜二测画法还原长方体实际尺寸，要找体对角线顶点在表面的最短距离，需将长方体表面展开，计算三种展开方式的直线距离，比较即可.解答过程：根据斜二测画法可知，长方体实际长度，实际宽度，实际高度.将长和宽所在面展开：，将长和高所在面展开：，将宽和高所在面展开：，因为，所以槽道的最短长度为.14.平面内不共线的三点O，A，B满足，，且，则的面积为________.答案：解析：思路：首先利用向量运算法则变形模长等式，两边平方，结合的条件，可求出的值.利用已知的，结合点积公式，求出，再通过同角三角函数的基本关系求.最后使用三角形面积公式计算的面积.解答过程：设的夹角为，由得：.可得，化简得，解得.又因为，所以，可得，所以.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（1）已知，，求及的值．（2）在中，已知，是关于x的方程的两个实根，求C．答案：（1），；（2）解析：思路：（1）利用两角和与差的正弦公式即可求解；（2）由韦达定理，结合两角和的正切公式即可求解.解答过程：（1）由题意得，由①②得，由①②得；（2）依题意得，，由两角和的正切公式得，因为，所以，又因为，所以．16.（1）已知函数，，判断的奇偶性．（2）是奇函数，求的值，并判断函数的单调性．答案：（1）为偶函数；（2），在上单调递增解析：思路：（1）利用函数奇偶性的判断方法直接判断即可；（2）根据奇函数性质即可求出参数的值，然后利用定义法判断函数单调性.解答过程：（1）依题意，得，解得，故的定义域为，令，即，则，所以为偶函数，即为偶函数．（2）因为，所以函数的定义域为，又因为为奇函数，所以，即，解得.，且，则．因为，所以，，，故，即，所以在上单调递增．17.如图，已知a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，且．（1）求A．（2）若，且，求的面积．（3）在（2）的条件下，设D为的中点，求的长度．答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得，结合角A的范围运算求解；（2）利用余弦定理可得，即可得三角形面积；（3）解法一：可得，可知为等边三角形，即可得结果；解法二：可得，根据数量积求模长即可；解法三：可得，利用余弦定理运算求解；解法四：根据中线长定理可得，直接代入求解即可.（1）因为，由正弦定理可得，又因为，即，可得，又因为，则，可得，即，因为，则，可得，所以．（2）由余弦定理可得，即，可得，所以的面积．（3）解法一：因为，解得，可知为等边三角形，又因为D为的中点，则；解法二：因为，则，所以，即；解法三：因为，即，整理可得，所以；解法四：根据中线长定理可得，即，解得．18.如图，一个密封长方体形状的容器中盛有水，E为容器上底面内任意一点，在平面内过点E画一条直线l，使得．（1）为使得，请简要写出作图步骤，并证明所作直线．（2）已知，．若点E在上，且，点M在上，且．现将容器倾斜，此时容器内水面恰好同时经过点和M，且水面与直线l平行．设水面与平面的交线为m，求异面直线l与m所成角的余弦值．答案：（1）如图，连接，在平面内过点E作直线l垂直于（或作直线），l即为所求证明：在长方体中，平面，因为平面，所以，因为，且，平面，平面，所以平面，又因为平面，所以（2）解析：思路：（1）连接，在平面中过点作直线垂直于，然后应用线面垂直判定定理证明平面，进而得出；（2）应用向量平行得出异面直线所成角，再结合相似三角形得出边长应用余弦定理计算求解.（1）略（2）记水面所在的平面为平面．由E是上的点，且，故直线l即为的中位线所在的直线．如图，令，因为点M在上，且，则有，故平面即为平面，延长交延长线于点P，连接，，故直线即为平面与侧面的交线m，所以直线与直线所成的角，即为异面直线l与m所成的角．由，，可得，，由，得，所以，由，得，所以，又因为，可得，，所以，，连接，，